Nouvelle–Calédonie novembre 2004

Nouvelle–Calédonie novembre 2004
Dans cet exercice, a et b désignent des entiers strictement positifs.
1° a) Démontrer que s'il existe deux entiers relatifs u et v tels que a u + b v = 1 alors les nombres a et b sont
premiers entre eux.
b) En déduire que si (a2 + a b – b2)2 = 1, alors a et b sont premiers entre eux.
2° On se propose de déterminer les couples d'entiers strictement positifs (a ; b) tels que :
(a2 + a b – b2)2 = 1. Un tel couple sera appelé solution.
a) Déterminer a lorsque a = b.
b) Vérifier que (1 ; 1), (2 ; 3) et (5 ; 8) sont trois solutions particulières.
c) Montrer que si (a ; b) est solution et si a  b , alors a2 – b2 < 0.
3° a) Montrer que si (x ; y) est une solution différente de (1 ; 1) alors (y – x ; x) et (y ; y + x) sont aussi des
solutions.
b) Déduire de 2° b) trois nouvelles solutions.
4° On considère la suite de nombres entiers strictement positifs (an)n définie par a0 = a1 = 1 et pour tout entier n,
n > 0, an+2 = an+1 + an.
Démontrer que pour tout entier n > 0, (an ; an+1) est solution.
En déduire que les nombres an et an+1 sont premiers entre eux.
CORRECTION
Dans cet exercice, a et b désignent des entiers strictement positifs. 1° a) Démontrer que s'il existe deux entiers relatifs u et v tels
que a u + b v = 1 alors les nombres a et b sont premiers entre eux.
Soit a et b deux entier naturel tels qu'il existe deux entiers relatifs u et v tels que a u + b v = 1.
Soit p un diviseur premier de a et de b alors p divise aussi a u + b v et donc p divisible 1 ce qui est impossible.
b) En déduire que si (a2 + a b – b2)2 = 1, alors a et b sont premiers entre eux.
(a2 + a b – b2)2 = 1  a2 + a b – b2 = 1 ou a2 + a b – b2 = – 1  a (a + b) – b  b ou – a (a + b) + b  b = 1.
Dans les deux cas on peut dire qu'il existe deux entiers relatifs u et v tel que u a + b v = 1 et donc a et b sont donc
premier entre eux.
2° On se propose de déterminer les couples d’entiers strictement positifs (a ; b) tels que (a 2 + a b – b2)2 = 1. Un tel couple sera
appelé solution. a) Déterminer a lorsque a = b.
Si a = b on a :
(a2 + a b – b2)2 = 1  (a2 + a2 – a2) = 1  a4 = 1  a2 = 1 ou a2 = – 1  a2 = 1  a = 1 ou a = – 1.
b) Vérifier que (1 ; 1), (2 ; 3) et (5 ; 8) sont trois solutions particulières.
(12 + 1  1 – 12)2 = 12 = 1 donc (1 ; 1) est solution.
(22 + 2  3 – 32)2 = (4 + 6 – 9)2 = 12 = 1 donc (2 ; 3) est solution
(52 + 5  8 – 82)2 = (25 + 40 – 64)2 = (65 – 64)2 = 12 = 1 donc (5 ; 8) est solution.
c) Montrer que si (a ; b) est solution et si a  b , alors a2 – b2 < 0.
Si (a ; b) est solution alors (a2 + a b – b2)2 = 1
Si a2 > b2 alors a2 – b2 > 0 et a b > 0 donc a2 + a b – b2  1 et a2 + a b – b2  – 1 et (a ; b) ne peut pas être solution .
Remarque si a2 < b2 alors a < b car a et b sont positifs.
3° a) Montrer que si (x ; y) est une solution différente de (1 ; 1) alors (y – x ; x) et (y ; y + x) sont aussi des solutions.
Si (x ; y) est une solution avec x  y alors x < y.
En effet dans le cas contraire 0 < y < x et donc y2 < x2 ce qui est contraire avec le résultat trouvé à la question 2° c)
y – x > 0 et x > 0 donc (y – x ; x) solution si et seulement si ((y – x)2 + (y – x) x – x2)2 = 1
y > 0 et x + y > 0 donc (y ; y + x) solution si et seulement si (y2 + y (y + x) – x2)2 = 1
((y – x)2 + (y – x) x – x2)2 = (x2 – 2 y x + y2 + y x – x2 – x2)2 = (y2 – x y – x2)2 = (x2 + x y – y2)2 = 1.
(y2 + y (y + x) – (y + x)2)2 = (y2 + y2 + x y – y2 – 2 x y – x2)2 = (y2 – x y – x2)2 = 1
b) Déduire de 2° b) trois nouvelles solutions.
(2 ; 3) solution donc (3 – 2 ; 2) = (1 ; 2) solution et (3 ; 2 + 3) = (3 ; 8) sont aussi solutions.
(3 ; 8) est solution donc (8 – 3 ; 3) = (5 ; 3) et (8 ; 8 + 3) = (8 ; 11) sont solutions
4° On considère la suite de nombres entiers strictement positifs (an)n définie par a0 = a1 = 1 et pour tout entier n, n > 0,
an+2 = an+1 + an. Démontrer que pour tout entier n > 0, (an ; an+1) est solution.
Initialisation : (a0 ; a1) = (1 ; 1) est solution
a2 = 2 donc (a1 ;a2) est solution.
Hérédité : Soit k > 1 un entier naturel tel que (ak ; ak+1) est solution avec ak  ak+1.
(ak ; ak+1) est solution donc, d'après la question précédente, (ak+1 ; ak + ak+1) = (ak+1 ; ak+2) est solution et ak+1  ak+2
Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et elle est héréditaire elle est donc vraie pour tout entier naturel n.
En déduire que les nombres an et an+1 sont premiers entre eux.
On a vu que si (a ;b) est solution alors (a2 + a b – b2)2 = 1, alors a et b sont premiers entre eux.
(an ; an+1) est solution. an et an+1 sont donc premiers entre eux.