Exercice (5 pts) (Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité). Dans cet exercice, a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs. 1. a) Démontrer que, s’il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1, alors les nombres a et b sont premiers entre eux. (0,5 pt) b) En déduire que, si (a2 + ab − b2)2 = 1, alors les nombre a et b sont premiers entre eux.(0,75 pt) 2. On se propose de déterminer les couples de nombres entiers strictement positifs (a ; b) tels que (a2 + ab − b2)2 = 1. Un tel couple sera appelé « solution ». a) Déterminer a lorsque b = a. (0,25 pt) b) Vérifier que (1 ; 1), (2 ; 3) et (5 ; 8) sont trois solutions particulières. (0,5 pt) c) Montrer que si (a ; b) est solution et si a ∫ b, alors a2 − b2 < 0. (0,75 pt) 3. a) Montrer que si (x ; y) est une solution particulière différente de (1 ; 1), alors (y − x ; x) et (y ; y + x) sont deux autres solutions. (1 pt) b) Déduire de 2.b) trois nouvelles solutions. (0,5 pt) 4. On considère la suite de nombres entiers strictement positifs (an)n œ définie par a0 = a1 = 1 et, pour tout entier n, n r 0, an + 2 = an + 1 + an . Démontrer que, pour tout entier n, (an ; an + 1) est solution. En déduire que les nombre an et an + 1 sont premiers entre eux. (0,75 pt) Exercice (5 pts) (Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité). Dans cet exercice, a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs. 1. a) Démontrer que, s’il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1, alors les nombres a et b sont premiers entre eux. (0,5 pt) b) En déduire que, si (a2 + ab − b2)2 = 1, alors les nombre a et b sont premiers entre eux.(0,75 pt) 2. On se propose de déterminer les couples de nombres entiers strictement positifs (a ; b) tels que (a2 + ab − b2)2 = 1. Un tel couple sera appelé « solution ». a) Déterminer a lorsque b = a. (0,25 pt) b) Vérifier que (1 ; 1), (2 ; 3) et (5 ; 8) sont trois solutions particulières. (0,5 pt) c) Montrer que si (a ; b) est solution et si a ∫ b, alors a2 − b2 < 0. (0,75 pt) 3. a) Montrer que si (x ; y) est une solution particulière différente de (1 ; 1), alors (y − x ; x) et (y ; y + x) sont deux autres solutions. (1 pt) b) Déduire de 2.b) trois nouvelles solutions. (0,5 pt) 4. On considère la suite de nombres entiers strictement positifs (an)n œ définie par a0 = a1 = 1 et, pour tout entier n, n r 0, an + 2 = an + 1 + an . Démontrer que, pour tout entier n, (an ; an + 1) est solution. En déduire que les nombre an et an + 1 sont premiers entre eux. (0,75 pt)