énoncé

Exercice (5 pts)
(Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité).
Dans cet exercice, a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs.
 1. a) Démontrer que, s’il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1, alors les
nombres a et b sont premiers entre eux. (0,5 pt)
b) En déduire que, si (a2 + ab − b2)2 = 1, alors les nombre a et b sont premiers entre eux.(0,75 pt)
 2. On se propose de déterminer les couples de nombres entiers strictement positifs (a ; b) tels
que (a2 + ab − b2)2 = 1. Un tel couple sera appelé « solution ».
a) Déterminer a lorsque b = a. (0,25 pt)
b) Vérifier que (1 ; 1), (2 ; 3) et (5 ; 8) sont trois solutions particulières. (0,5 pt)
c) Montrer que si (a ; b) est solution et si a ∫ b, alors a2 − b2 < 0. (0,75 pt)
 3. a) Montrer que si (x ; y) est une solution particulière différente de (1 ; 1), alors (y
− x ; x) et
(y ; y + x) sont deux autres solutions. (1 pt)
b) Déduire de 2.b) trois nouvelles solutions. (0,5 pt)
 4. On considère la suite de nombres entiers strictement positifs (an)n œ  définie par a0 = a1 = 1
et, pour tout entier n, n r 0, an + 2 = an + 1 + an .
Démontrer que, pour tout entier n, (an ; an + 1) est solution. En déduire que les nombre an et an + 1
sont premiers entre eux. (0,75 pt)
Exercice (5 pts)
(Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité).
Dans cet exercice, a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs.
 1. a) Démontrer que, s’il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1, alors les
nombres a et b sont premiers entre eux. (0,5 pt)
b) En déduire que, si (a2 + ab − b2)2 = 1, alors les nombre a et b sont premiers entre eux.(0,75 pt)
 2. On se propose de déterminer les couples de nombres entiers strictement positifs (a ; b) tels
que (a2 + ab − b2)2 = 1. Un tel couple sera appelé « solution ».
a) Déterminer a lorsque b = a. (0,25 pt)
b) Vérifier que (1 ; 1), (2 ; 3) et (5 ; 8) sont trois solutions particulières. (0,5 pt)
c) Montrer que si (a ; b) est solution et si a ∫ b, alors a2 − b2 < 0. (0,75 pt)
 3. a) Montrer que si (x ; y) est une solution particulière différente de (1 ; 1), alors (y − x ; x) et
(y ; y + x) sont deux autres solutions. (1 pt)
b) Déduire de 2.b) trois nouvelles solutions. (0,5 pt)
 4. On considère la suite de nombres entiers strictement positifs (an)n œ  définie par a0 = a1 = 1
et, pour tout entier n, n r 0, an + 2 = an + 1 + an .
Démontrer que, pour tout entier n, (an ; an + 1) est solution. En déduire que les nombre an et an + 1
sont premiers entre eux. (0,75 pt)