Nombres relatifs I) Somme algébrique 1°) Rappels – Un nombre relatif est composé d'un signe (+ ou -) et d'une partie entière qu'on appelle aussi la distance à zéro. – Une somme est le résultat d'une addition. – Une somme algébrique est un calcul qui mélange des additions et des soustractions. 2°) Méthode de calcul Soit a et b deux distances à zéro. On a 4 modèles de calculs : (1) + a + b (2) - a – b (3) + a – b (4) - a + b – le signe du résultat est celui qui est placé devant la plus grande distance à zéro. – pour les modèles (1) et (2) (même signes), on additionne a et b. – pour les modèles (3) et (4) (signes différents), on calcule le plus grand moins le plus petit entre a et b. Exemples : A=-5–3 B = - 6,2 + 7,8 Le signe du résultat est celui devant 5, donc C'est le modèle (2) (même signes), on fait donc 5+3 Ce qui donne - 5 – 3 = - 8 Le signe du résultat est celui devant 7,8 donc + C'est le modèle (4) (signes différents), on fait donc 7,8 – 6,2 Ce qui donne - 6,2 + 7,8 = + 1,6 Remarque : on peut ne pas écrire le + au début d'un calcul ou d'un résultat. • + 13 – 7 peut s'écrire 13 – 7 • + 8,5 peut s'écrire 8,5 3°) Simplifier une écriture Pour tout nombre a : - ( + a) = + ( - a) = - a et - ( - a) = + ( + a) = + a ou a Exemple : calculer C = - ( - 8) - (+ 13) on simplifie : C = 8 – 13 et on calcule : C = - 5 4°) Propriété Dans une somme algébrique, on peut changer l'ordre à condition de garder le signe à gauche de chaque nombre. Ex : D = + 5 – 8 + 4 = + 5 + 4 – 8 = + 1 II) Produit de nombres relatifs Un produit est le résultat d'une multiplication. Les choses qu'on multiplie dans un produit s'appellent des facteurs. 1°) Produit de deux nombres relatifs Pour effectuer un produit de deux nombres relatifs, on détermine : • son signe – positif quand les deux nombres sont de même signe, – négatif quand les deux nombres sont de signe différents. • sa distance à zéro : en multipliant les deux distances à zéro des nombres. Exemple 1 : calculer (-3) x (+8) les deux nombres sont de signes différents, donc le résultat est négatif on calcule que 3 x 8 = 24 donc (-3) x (+8) = -24 Exemple 2 : calculer (-2) x (-3) les deux nombres sont de même signe, donc le résultat est positif on calcule que 2 x 3 = 6 donc (-2) x (-3) = +6 2°) Produit de plusieurs facteurs Pour déterminer un produit de plusieurs nombres relatifs, on détermine : • son signe : – si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit est positif, – si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit est négatif. • sa distance à zéro : on multiplie toutes les distances à zéro. Exemple : calculer G = (-4)x(+3)x(-2)x(-5) Il y a 3 facteurs négatifs, 3 est impair, donc le résultat est négatif. On calcule que 4x3x2x5 = 120 Donc (-4)x(+3)x(-2)x(-5) = -120 3°) Priorité de calcul Les priorités restent les mêmes : – les parenthèses – les multiplications et les divisions – les additions et les soustractions Exemple : Calculer -2 + 3 x (-4) On commence par la multiplication : -2 + 3 x (-4) = -2 - 12 (c'est une somme algébrique, on prend le signe de 12) = -14 III) Quotient de nombres relatifs 1°) Méthode La méthode est la même que pour la multiplication, sauf qu'on divise. -6 ÷ (-2) = +3 -8 ÷ 4 = -2 Remarque : -7 ÷ 5 est négatif 7 ÷ (-5) est négatif -(7 ÷ 5) est négatif −5 5 5 5 = =− Mais on évitera d'écrire Donc 7 −7 7 −7 2°) Valeur approchée Pour un nombre comme e=2,718281... on peut donner une valeur approchée de plusieurs façons. Troncature : on coupe le nombre à la précision voulue. Arrondi : on donne le nombre le plus proche avec la précision voulue. Par défaut : la valeur approchée est plus petite que le nombre. Par excès : la valeur approchée est plus grande que le nombre. Précision : à l'unité → pas de chiffre après la virgule au dixième → 1 chiffre après la virgule au centième → 2 chiffres après la virgule Exemples avec e=2,718281... a) troncature au dixième : e=2,718281 //////... donc e ≈ 2,7 au dixième (par défaut) b) arrondi au centième : e=2,718 //281 ////... je dois choisir entre 2,71 et 2,72 : c'est le chiffre suivant qui me permettra de décider. Donc e ≈ 2,72 au centième (par excès)