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• Deux équations sont dites équivalentes si elles ont les mêmes solutions.
1 – Équation affine
Définition : Une équation affine d’inconnue x est équivalente à l’équation ax + b = 0.
Propriété : Si a 0, la solution de l’équation affine ax + b = 0 est –
.
Si a = 0, l’équation ax + b = 0 a une infinité de solutions si et seulement si b = 0.
Exemples :
• Résoudre l’équation 5x – 7 = 3x + 2.
5x – 7 = 3x + 2
5x – 7 – (3x + 2) = 0
5x – 7 – 3x – 2 = 0
2x – 9 = 0
La solution de l’équation 5x – 7 = 3x + 2 est
.
On conclut S = {
}.
• Résoudre l’équation x² – 5x + 3 = (2 – x)².
x² – 5x + 3 = (2 – x)²
x² – 5x + 3 = 4 – 4x + x²
x² – 5x + 3 – (4 – 4x + x²) = 0
x² – 5x + 3 – 4 + 4x – x² = 0
– x – 1 = 0
La solution de l’équation x² – 5x + 3 = (2 – x)²
est – 1. On conclut S = { – 1 }.
2 – Équation produit
Définition : Toute équation du type A × B = 0, où A et B sont des expressions algébriques, est
appelée équation produit.
Propriété : Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.
Exemple : Résoudre l’équation (3x + 5)² – (3x + 5)(2x + 4) = 0.
(3x + 5)² – (3x + 5)(2x + 4) = 0
(3x + 5)(3x + 5) – (3x + 5)(2x + 4) = 0
(3x + 5)(3x + 5) – (3x + 5)(2x + 4) = 0
(3x + 5)[3x + 5 – (2x + 4)] = 0
(3x + 5)(3x + 5 – 2x – 4) = 0
(3x + 5)(x + 1) = 0
3x + 5 = 0 ou x + 1 = 0
Les solutions de l’équation (3x + 5)² – (3x + 5)(2x + 4) = 0 sont –
et – 1.
On conclut S = { –
; – 1 }.
3 – Équation de la forme x² = a
Propriété : a désigne un nombre relatif.
• Si a < 0, alors l’équation x² = a n’admet pas de solution.
• Si a = 0, alors l’équation x² = a admet une solution unique 0.
• Si a > 0, alors l’équation x² = a admet deux solutions et – .
Exemple : Résoudre l’équation x² = 5.
5 est positif donc l’équation x² = 5 admet deux solutions : et – .
4 – Équation quotient
Définition : Toute équation du type
= 0, où A et B sont des expressions algébriques (avec B 0),
est appelée équation quotient.
Propriétés :