Groupes finis engendrés par des symétries

Séminaire Claude Chevalley
P. C ARTIER
Groupes finis engendrés par des symétries
Séminaire Claude Chevalley, tome 2 (1956-1958), exp. no 14, p. 1-12
<http://www.numdam.org/item?id=SCC_1956-1958__2__A1_0>
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Séminaire C. CHEV ALIEY
E.NoS., 1956/57
Exposé
.. é.. ~.. ~..
n° 14
ENGENDRÉS PAR DES SYMÉTRIES
(Exposé de P. CARTIER, le 1.4.57)
GROUPES FINIS
1.-
Symétries.
Soit
Si
S
nous
V
est
espace de dimension finie
un
E
poserons
(S
=
et
E~
+
1 ) /2 , E
=
(1 - S)/2 ;
et
V
V_ ;
t
x~
De
si l’on
a
donné
un
produit
défini par la formule
(2)
scalaire
soit
1,
une
décomposition
de
V
alors
.
plus,
=
alors
on a
on a
S2
cest-à-dire si
V ,
E~.. Les éléments de E+ sont caractérisés
S (x) = ± x . Invers ement, si V est somme directe dea
la formule (2) définit un opérateur involutif.
pour
le corps des nombres réels.
sur
projecteurs associés. à
sont les
E-
directe de sous-espaces
en Somme
,
> 0
transformation linéaire involutive de
une
et par suite
n
par la
condition
sous-espaces
(x )t y)
sur
V~.
et
V~ ~
V , pour
que
il faut et il suffit
orthogonal,
que l’ on ait
(x~ )1
soit
et
V de
x_ ) =0
V
sont
V"!.
pour
ce
qui signifie que
’
appellerons symétrie un opé ra teur liné aire
dont l’ensemble des points fixes est un hyperplan.
Si l’on s’est donné
un
scalaire
produit
(x ) y)
S
dans
V ,
involutif et
défini positif
droite
1.e.
R.a
a 6 V
nul
il existe
non
sur
(x - À a| a)
=
Hl . Or
0 ,
sir Ex = 03BBa ,
d’où
en
et
une
on
une
seule
V ,
sur
symétrie Sa
nul,
qui
transformation orthogonale et qui applique a sur - a . En effet, soit
et v- = R.a et
l’hyperplan orthogonal à a ; on devra avoir
trie cherchée sera de la forme 1 - 2E , E étant le projecteur de V
pour tout
V
orthogonaux.
Nous
.
les sous-espaces
soit
H
la
sur
doit avoir
résolvant par rapport
à 03BB ,
une
la formule
syméla
14-02
Il est clair que la formule
(3) définit
est la seule transformation
orthogonale ~
2.-
Systèmes
1
à la
induise l’identité
qui
S
question.
H .
sur
de racines.
L’espace
Nous
symétrie répondant
une
restera fixé
V
vectoriel
appellerons système
de racines
un
exposé.
la fin de cet
jusqu’à
ensemble fini ~
contenu dans
V
à
a
vérifiant les conditions suivantes :
1) L’espace
engendré par 0394 .
est
-a f
on a
peut
V
vectoriel
t:J ,
mais
aucun
autre vecteur
proportionnel
ne
appartenir à 0394
3)
Pour tout
a ’6 L ,
il existe
symétrie
une
appliquant
a
sur
-a
et
telle que
Il résulte immédiatement de
d’opérateurs
nit
sur
Par
dualité,
sur
en
de
un
produit
scalaire défini
tJ
il
positif
(x1 y)
produit scalaire
plus,
on
Sa
G
défi-
par la formule :
défini positif
opérateur linéaire dans V conservant
est la symétrie orthogonale changeant
invariant par tout
En particulier
l’unique transformation linéaire dans V changeant
On en déduit gS
S
pour toute
goa
a
a
=
g
Les éléments de 0394 seront
/(aÎ a)
un
et que le groupe
est fini. De
symétries S
sera
-a , et c Zest donc
-a
et
linéaire
V
0 1-!J.
conditions que
par les
définit donc aussi
on
V , qui
engendré
V
V*
le dual
l’ensemble
en
dans
ces
pour tout
de racines
couple
(5)
appelés racines ;
u(a , a)
a, b ;
=
-
2
=
b
+
on
on
posera
aura
u(a , b) = -2(a )1 b)
donc :
°
(6)
,
Sab
u(a , b)a
3 o - Racines fondamentales.
Comme l’ensemble à
(x )B a ) ~
est
f ini,
il existe
x E
V
tel que
ait
noterons 1 l’ensemble des racines a
telles que
0 . Les ensembles H et - Z forment donc une partition
de A . Nous munirons V de la relation d’ordre (partielle) compatible avec sa
structure d’espace vectoriel réel pour laquelle les éléments positifs sont les
0
pour toute racine
a ;
nous
"
combinaisons linéaires à c oe f f ic ients ~ 0
E
est l’ensemble des racines
positives.
d’éléments de n . Il est
que
14-03
Considérons l’ensemble
I
P
des
I
de
F
parties
soit combinaison linéaire a coefficients ~ 0
telles que tout élément de
d’éléments de
F
et soit
7
élément minimal de l’ensemble P ordonné par inclusion, On supposera numérotés
=
les éléments de TT sous la forme a1 ,
a2 , ..., am et l’on posera Si S ai
un
.
On
a
alors la
proposition
PROPOSITION 1 :
a)
.
est
TT
fondamentale suivante :
L’ensemble 03C0 jouit
V
une base de
(donc
Toute racine est de la forme ~
c)
Les scalaires
u.. == u(ai ,
b) résulte
de la définition
A
avoir
dans
ce
A.
.a. -
cas A_i
a. = À .
=
n)
a.
~ ~
avec
0 .
sont $. 0
a.)
remarquons ensuite que l’on ne peut
> 0 et i~j ; on aurait en effet
de 03C0 ;
avec ~ . ~ ~ .
0
en
ne
a. +
avoir ~ ~
pourrait
~j ~
car on
a~ > 0 ~ ~. ~0 et ~. > 0 ~ ce qui est contracar il en résulterait
non plus avoir
~. ~
avec 03C0k 0 , et par suite a. serait combinaison
avec
dictoire ;
(03BBi - i)ai
on ne
==
peut
Y
0
linéaire à coefficients
caractère minimal de
Comme
c)
m
b)
Le
propriétés suivantes :
des
de
ce
a,
k~ i,
pour
ce
> 0
ou
-
S.a.
0y
et que
=
a.
on
+
déduit
qui précède .
Comme 0394
engendre V ,
il
en
est de même
de 03C0 , d’après b) .
donc pour prouver a) de montrer que les ai ~ TT
sont linéairement
Dans le cas contraire~ on aurait une relation de la forme
avec
le
qui contredirait
T~ .
S.a.
on a
des
l r’B J = ~ , .À i ’
i E l
l, J -1: ~ .
et
1
et par suite de
À i = fl.J = 0 ,
ce
qui
On
a
donc
aj) =
qu’elle ne
positives.
indépendants.
(ai1
0
(u 1 u)~ 0 ,
on
pour
déduit
est contradictoire.
"
COROLLAIRE l : Pour
Il suffit
C.Q.F.D.
qu’une
racine
a
> 0
appartienne à
soit pas combinaison linéaire à coefficients> 0
il faut et il suffit
~
r ~ 2
racines,
14-04
En
de
effet,
2
r ~.
racines
des
des racines
systèmes
~1 A Db
forme ~
TI .
~o ~ 0 ,
avec
In condition est suffisante
à
d’après
car
racine
une
cients
0 ,
en
de la
définition
a
a
d t après
le
b)
de la
T!~ ~
racine
une
= 03A303BBjaj ,
d’où
donc lui est
égale.
positive ;
si a ~
1T
if
fonction des
doivent être de même
a, J
ils sont tous > 0
et
signe ;
proportionnelle
S .a > 0 .
on a
03BBjaj
S.a =
est
.
elle est
proposition 1 ;
a.
soit de la
a
il f aut e t il suf f it que
(Ài" P )a.
+
; mais
pour j #
a
0
>
2)
proportionnelle
2014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014
n’est pas proportionnelle à
ai , les scalaires
et 1"un au moins n’est pas nul. Comme Sia est une
comme
est
la condition
le corollaire 1 toute racine
appartenant à
COROLLAIRE 3 ; Soit
Pos ons
pas une telle combi-
pour que toute racine
partie
une
z
nécessaire,
~ 0
de racines.
COROLLAIRE 2 : Soit
201420142014
qu’il ne soit
signifie donc que a
a, 1 d’après b) . Ceci
a, donc lui est égale , d’après
.
une
il faut et suffit
positives ,
naison de racines
à
soit pas combinaison linéaire à c oef f icients
ne
a
pour que
racine,
comme
i
sont
tous ses coeffi-
l’un d’eux est
0 .
,
On notera
que
la transformée par
Siai = - ai 0 , donc
s oit
Si
est la
a. 1
seule racine
>
dont
0
0 .
.
D’après
le corollaire
que les éléments de
un
système
Tf
de racines
la
2,
if de ~
partie
sont les racines
simples.
ne
dépend
fondamentales
ou
que
de E ;
simples
et que
peut caractériser ainsi le’s systèmes
On
simples :
dit
TI est
de racines
,
PROPOSITION 2 : Soient
c ontienne
on
un
positives),
sys tème
b1 , ..., b
de rac i.ne s
de s
racines ; pour que
simples (pour
un
ensemble 1
1T 1 = ) b.1 1 .
c onvenable de racines
il faut et il suffit que toute racine soit de la forme
avec
Aj~ 0 .
En
suite,
effet, comme à engendre V ,
il existe
de la
la
x
E V
telle que
avec
proposition résulte
0
b.
(x )1 bi) >
forment
0
au
une
base de
proposition
V
et par
les racines
pour
sont caractérisées par la formule
alors du corollaire 2 de la
Nous caractériserons
positives.
03BBj
les
a
(x1 a) >
1.
numéro suivant les ensembles possibles de racines
0;
14-05
4.- Relation d’ordre dans
V .
toujours fixe l’ensemble F des racines positives. A côté de
l’ordre déj à introduit dans V , nous considérerons l’ordre lexicographique dans
une
V par rapport à la base
(a. ~ ... ~ a ) que nous noterons x ~ y .
relation d’ordre total dans V compatible avec la structure d’espace vectoriel
Nous supposons
sont par définition les éléments de la forme
03BBk > 0 . Notons aussi que la relation x y
réel et les éléments x 0
x = 03BBkak + 5"*" X .a.
avec
la relation
ne
et que pour
PROPOSITION 3 : Soit
1
entre
et
n
> 0
x >
(x [
ai)
équivaut
û ~
élément de
un
tel que
Si l’on avait
(x )( y) ~
x
ae
V ; il existe
W
que
racine
il existe
donc
S.a
i
et
donc
a ~ W
et si
S.W
S....
~1
d’où
.
on a
si
a~a~ ~
i . Soit
une
a
b ~a ;
positives
on a
a ~ W . De là résulte par
aussi
on a
; il est clair
S.~p a."p~l
pour tout
C W
~a ; si
S.a
a = ai ,
déplus
S.a.p+1
...
contienne toutes les racines
W
et supposer que
récurrence que
-
Si l
et que
simples
tel que
~ W
0
>
(3) .
contient les racines
positive
(x )( a~)
tel que
i
l’ensemble des racines de la forme
W
compris
racine simple ai , on en déduirait
particulier . (x )( x) ~ 0 ~ ce qui contre-
COROLLAIRE : Toute racine est de la forme
Soit
i
entier
pour toute
0
0
par la formule
S~x
à
S.x .
pour tout
0 ~ d’ou en
dit la condition x ~ 0 ; il y a donc un entier
x ~
un
entraî-
aussi - a ~ W
car
donc
S....S. a. =S.... S. S. a..
1
PROPOSITION 4 : Soient
pour
symétries
S
a
F
une
6
F ;
partie
si
H
on a
pour
de
ÏT
et
x 6
V
G
est le sous-groupe de
Sx
engendré par
x >
’
Supposons démontrée l’inégalité
x >
g ,x
(resp
x
~.
pour
g
=
.
~ 1 quelle
que soit la suite
h= S.... S,
les
g ~H
pour tout
x > g ,x
différent de 1 .
.
tels que
~1
avec
(a. y
...,
b. ~F . Posons h = h’Sbp
a)
de
q
p
S~ 1
...
S
q
éléments de F et soit
d’où
14-06
À) 0
avec
>
~b
0 ,
h.x ( h ’ ,x
conditions,
si
l’hypothèse
de récurrence.
Si
h’bp
h’,b
p
0 ,
p
Soient
Il exis te
un
nous
bl’
indice
Posons
>
0 ;
k > 0
on a
le corollaire 3 de la
x)
5
par
et que
p
et soit
plus petit indice tel que
le
k
P
d’après l’hypothèse
faite et
Sbk ck
ceci
implique
bk
=
S
=
proposition 1 ,
(10) puisque
formule
permet
k
b
Sb
...
J
ck
1
tel que
h.x f h ’ ,x
ces
simples telles que
àes racines
bp
(resp
: x
Dans
le lemme suivant:
appliquerons
... ,
k
on aura
0) .
P = x - ~bp .x > 0
0) puisque
formule
=
~k-l "0 ;
diaprés
c’est-à-dire la
pour
g
de déduire la formule
déduit immédiatement de là.
Revenant à la démonstration de la
et la formule
Comme
on a
est le
h
0 ,
x >
>
x
produit
(resp
(resp
h.x
x #
proposition 4,
ce
’lemme montre que si
p-2 symétries associées
de
h.x) résulte
pour
a e
la
F,
de récurrence.
l’hypothèse
alors de
F ,
à des éléments de
proposition 4
est bien
démontrée par récurrence.
COROLLAIRE : Soit
de 1 ,
En
x :>
Six
pour
que l’on ait
il faut et suffit que l’on ait
effet,
et
comme on a
(x )1 ai) .>
0
x -
Six
sont
=
+
(x )1 ai)
2 (x1
équivalentes.
x >
>
0
pour tout
g.x
1 ~ is
pour
1
ai) ,
g ~ G
différent
n .
les conditions
14-07
(x }
On remarquera que la condition
(x ) a)
condition
(x )( y)
~0
> 0
pour tout
a.)
pour toute racine
a
>
>
0
0~
ou encore
a)~ b.~
racine
b)
Si
et
~03A3o
de
racine~ cette
a
II o
~
E
o
~
-a
ou
2014-
IcgJE
.
vérifie les conditions a) et b) ci-dessus, il.en est de même de
g ~ G ; il suffit donc de prouver que si 03A3
éléments,
r
éléments
1
il existe
une
symétrie
Io
et si
I
telle que
S.
Eo
moins ; or~ comme E ~ Z ~ il existe une racine simple
~ puisque toute racine positive est combinaison linéaire à coefficients
racines simples et
que 03A3o satisfait à a .
Si
E
au
1~
est
3 de la proposition
1);
b ~
condition
bien
on a
tel que
g~G
possède
r +
racine,
une
il existe
I~o
>
positives.
B.~ 0
avec
20142014-20142014-2014-~-2014~~-201420142014.
pour tout
0
de racines
ensemble de racines vérifiant les deux conditions :
un
1~
est
a
20142014
Si E
ait
E
II
appartient à
Alors,
Z
à la condition
y >0 .
Venons-en à la caractérisation des ensembles
PROPOSITION 5 : Soit
à la
équivaut
pour
b)
n
différente de
mais
et par suite
a~ ~
a~ ~
comme
1o
a~~
prouvé
S.b
on a
on
~
a
~
E ~
-a.
~
comme
possède
au
moins
r +
1
(corollaire
S. II
Ho
d’après
si
b>0 ~
la
on a
éléments . Ceci achève la
démonstration.
COROLLAIRE : Pour qu’un ensemble
positives, il faut
et
de racines soit un ensemble de racines
vérifie les conditions a) et b) ci-dessus
H
il suffit
et la condition
c)
Si
est
a
20142014201420142014
.
De
plus,
une
racine,
on ne
si
ces
conditions sont
Les conditions énoncées sont
sance
de la dernière
Si l’on avait
peut avoir
20142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014S-20142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014
assertion,
03A3 ~ 03A3o ,
aurait alors -
a
6 ~
c
remplies,
ce
il existe
et
20142014201420142014
-acZ
Q
g cG
tel
que 03A3
évidemment
on
nécessaires ; pour montrer la suffipeut supposer E C Z d’après la proposition 5.
il existerait
E ~
Q
racine
non
qui contredirait
la condition
une
positive ;
c) .
on
14-08
5.- Génération du groupe
G .
THEOREME 1 : le groupe
est l’ordre
les
S.
Introduisons le
1
et
On notera que
Si .
sur
==
=1 ,
G
)"
S.
..
"p ~
engendré
est
induit
T.
un
isomorphisme
7ï(H..) =H.. ;
de
plus
et
Il
H..
=
engendré
G ~ qui
(S.S.)~
contient
T~1
pour
Hij
de
S.
et
Um
A toute racine
par les
S..
7f est
Comme
surjectif.
engendré
on aura
U =1
T.U~ = U"~ .
forment
un sous-
H...Or les éléments
2014ij
sont tous distincts et de déterminant 1 ~ tandis
et
T.
j
égal
donc est
à
distincts et de déterminant
résulte bien que la restriction de Tf
positive
p.
par T_ et
S. : il est clair que
G
et
=
en
Ti
(S.... S. )S.
et par récurrence
(U~T.) (S.S.) S. sont tous
il
pour
S.=
et k = aij ,
U"~T.
et les
qui applique
b==S.... S.
bien montré que
par
si
1 .
engendré
G
si
2014
que les éléments
c)
on a
rés-ulte immédiatement que les éléments
groupe de
==
que
g.a
G
dans
du sous-groupe
G
de
T.U =
en
S. ~
(l.in)
générateurs T.
sous-groupe de
symétries
le sous-groupe
sur
au
=S
Si (1in) ;
toutes les relations entre
toute racine est de la forme
appartient
par les
G ,
(T.)
donc que
déduit par la formule
(S_
~1
de
l’homomorphisme 03C0 de G
a_.
surjectif :
symétries
par les
défini par les
groupe ~
(TiTj)aij
relations
engendré
est
(fini) de l’élément S.S.
conséquences des relations :
a..
sont
G
on
a
peut associer
un
élément
à
est
Hij
T
~.
G
-1
injective .
de manière
à vérifier les conditions :
Les
Ta
seront construits par récurrence
supposons donc construits des
T
a
pour
0
--
a
au
J,
moyen de 1’ordre
b
lexicographique ;
de telle sorte que les
14-09
(15)
formules
Tb
Ti ;
=
ai b) .
et
a b
0
dans le
=
Si
choisirons
un
h.b
racines
b
cas
sont
0
>
b . De
donc
b > S.b :
J
on a
plus,
0
avec
U
l
b
T.
Tout
h ~
P
sur
W
P
°
le
(T~T.)~
Nous
d’où
H~,Pi
a..
W ;
de
déduit alors
(T~)
et
=
1 . On
bien
a
n-2
h.b
a_. ~
et
a.
P .
=
b
et
=
b’
de
b
pour
h coïnci,,
on
v,=(S.S.)~S.
b
par
à
orthogonal
déduit que
b ~
V
de
elles
de
h.b
Posant
engendré
V
=
on
plus de
projection orthogonale b’
Les conditions
°
on a
on
~
donc aussi que la
S..
et
(15) ,
1
=
équivalentes puisque b - b’ ~ W ;
avec la symétrie associée à un vecteur
k ,
i ~ j .
où
et
de dimension
sur
u.=S.(S.S.)~S.
1 ~t
au cas
racines sont
ces
ce cas.
sous-espace
induit l’identité
donc
S..
dans
1
sont
H..
sur
h~
b . De la formule
puisque
T.
=
~
orthogonal à a.
j
est orthogonale à
est
limiter
le sous-espace de dimension 2 de
P
S.b : soit
et soit
a.
4 que
proposition
se
1 que les
proposition
et les rac ine s
k = aij
sont toutes
k-1
J
et
équivalentes).
’
=
=
évidemment
h.b ~ b po’ur
alors
notre assertion dans
prouvé
notera que les
résultera alors des formules
et de la
H..
f
peut
on
b’>
tel que
cas :
avec
pour
h
pour
alors deux
distinguerons
(on
il résulte du corollaire 3 de la
contraire,
poserons
récurrence de vérifier que pour
sont
0
b.) ~
précédente
b) qui précède .
et de l’assertion
Dans le
(b )
et
la formule
Hij ,
i
indice
=
b
nous
b ,
Sio’
et nous poserons
ai
et il suffira pour continuer la
S.b ,
Si
de
nous
(0 ~
un sens
b = ai ,
tel
relations
h 6
b
puisque
S.
tout
b
lorsqu’elles
est simple, soit
contraire,
cas
h 0
b’"
donc
ont
soient vérifiées
(17)
à
signifient que
P
orthogonal à
H~_
=
S_b
différent
pour
1
SÙ4 k ,
et
non
et de
comme
=
août différentes de
b
b’
1
et
d’où
S.
~
en
pour
appliquant
14-10
(15 )
la formule
et
un
certain nombre de fois
on
achevé la démonstration
d)
Si l’on
a
g
que pour
1 ~
=
et
T.... T. =1
supposons que l’on
et
n
a. ~p
soit
négatif
re 3 de la
pour
on
~
k
ceci
a
g= 1
(i~ ,
E=L implientre
a ~ 0 .
pour toute racine
P
1
existe
Siq .
...
... ,
S.... S...a > 0
voit
’
S~ ...S~ Pa~ P
tel que
un
~
m
p
mais que
>
a_
S,
S....
k
p p
conclut que
0 . Utilisant le corollai-
S....S. a, ;
)"
implique
T. (T.... T_ )T_ (Tj....
proposition 1.
d’après c) ,
ait
on
cas.
l’égalité Si1
p ,
q
pour toute suite
que
premier
dans le
E ~ e~ T-(g).Z
Supposons démontré
1
comme
on en
a.
=
mais
,
=
d’où
’
T.
T....
~k
’-p-l
T.... T.
et finalement
=T.... T.
~1
’p
D’après l’hypothèse de récurrence,
’P
on en
déduit bien
Le théorème résulte alors immédiatement de
=
~
Ti, 1
T.... T.
~-1 Tik-1
1
TiP
...
=
...T.p
1 .
d) .
6.- Chambre s .
Soit
Une chambre
conserve un
chambre
hyperplans H~ (a~~) ~
est une partie convexe maximale de V ; comme une forme linéaire
signe constant sur une partie convexe, on voit immédiatement qu’une
V
C
le
complémentaire
de la réunion des
V
est définie par les conditions :
e(a)(x )( a)
e (a) étant
dans
un
scalaire
égal
pour tout
>0
à
+1
ou
-1
et tel que
e (a)
e (a)
a
=
~~
-e(-a) .
Il est
ou ce qui
+ 1
~
E o des racines a telles que
revient au même~
(x )( a) > 0 pour x ~ C ~ vérifie les conditions a) b) et c)
du corollaire de la proposition 5 ~ donc est de la forme g.E avec g ~ G .
De plus, la chambre G définie par les conditions
(x )( a) > 0 pour toute-racine
clair que l’ensemble
=
(x ) a~)
> 0 pour
a ~ est aussi définie par les conditions
Utilisant le corollaire de la proposition 4 et le d) de la démonstration du
positive
théorème du numéro 5 ~
on en
conclut :
14-11
PROPOSITION 6 : L’ensemble
racine
complémentaire
partie
convexe
forme
g.C .
7.-
V’
V’
de
des
V
x E
tels
(x a)
que
chambre ; les ensembles
est une
tion du
C
est contenue dans
pour toute
forment
g.C
de la réunion des
dans V
0
>
une
parti-
H . Toute
hyperplans
chambre et les chambres sont de la
une
Remarques finales.
1) Soit G
des symétries
Soit
S(x)
=
groupe fini de transformations linéaires dans
.1.m
et
ne
S 6 G
g E G
1
que
aucun
symétrie
une
-x ; si
peut induire
laissant
de toutes les droites
D
-1
D
et
sur
non
D
D ;
par
nul fixe.
la droite de
la droite
conserve
ou
vecteur
engendré
V
V
formée des
il est d’ordre
comme
~ V
x
tels que
fini,
il
ne
par suite si l’on considère l’ensemble
ainsi définies et
P
’
une
partition
m
P
=
Ù G.D 1. , prenant
un
élément
~1
a.1 ~
0
chaque droite
dans
D.
et
les
conditions 1)
~
posant
m
~= U
2)
on
définit
ensemble 6. vérifiant
un
3) du numéro 2 . Par suite le théorème du numéro 5 s’applique à tout groupe
P
fini engendré par des symétries. Problème : Existe-t-il un sous-ensemble P’
stable par G et tel que les symétries correspondantes engendrent G ?
et
-
2) Soit 0394
système de racines dans V tel que le sous-groupe de V engendré par ~ soit discret, ou ce qui revient au même, soit de rang n sur
l’anneau des entiers , ou bien supposons que A soit un sous-ensemble d’un espace
vectoriel sur le corps des nombres rationnels vérifiant les conditions 1) à 3) du
numéro 2 . Remplaçant au besoin les éléments de D, par des multiples entiers
Convenables , on peut toujours supposer que les nombres u(a , b) sont entiers ;
un
il résulte alors immédiatement du corollaire de la
est de la
forme 1
avec
3) Les racines simples o.. 1.
j quelconques , l’angle de a.i
entier ~ 2 ;
on
peut,
par
une
m.
entier ~.
a.
J
toute racine
0 0
forment
et
proposition 3 que
est de la
une
base de
forme 03C0 -
méthode analogue à celle
de
V
et
TI/n..
J.J
pour
avec
l’exposé 13
i
et
n..
ij
du
Séminaire S. LIE 1954/55 classer les systèmes de vecteurs
ai d’un espace euclidien linéairement indépendant dont les angles deux à deux sont la forme
entier ~ 2) .En dehors des
cas
n
=
2,
on
trouve sauf erreur, trois
cas
systèmes
étudiés dans
nouveaux.
et du
14-12
Problème :
de vecteur
symétries
ser une
classification, que pour un tel système
groupe de transf ormations orthogonales engendré par les
fini (si l’on avait la proposition 6 , il suffirait d’util!-
Démontrer,
a ,
S
le
est
sans
utiliser la
considération simple de
volume).