Dernier multiplicateur et légalité en mécanique quantique

Dernier multiplicateur et l´egalit´e en m´ecanique
quantique
Ren´e Dugas
To cite this version:
Ren´e Dugas. Dernier multiplicateur et l´egalit´e en m´ecanique quantique. J. Phys. Radium,
1938, 9 (7), pp.287-290. <10.1051/jphysrad:0193800907028700>.<jpa-00233591>
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DERNIER
MULTIPLICATEUR
ET LÉGALITÉ
EN
MÉCANIQUE
QUANTIQUE
Par RENÉ DUGAS.
Ingénieur
au
Corps
des Mines.
Sommaire. 2014
Le
présent
mémoire
part
de
l’interprétation
du
dernier
multiplicateur
comme
densité de
probabilité
et
en donne
l’expression
en
mécanique
ondulatoire
et
en
mécanique
de Dirac
en
précisant
les
systèmes
différentiels
correspondants.
Ces
systèmes
jouent
un
rôle
direct
dans
le
raccordement
statistique
des
nouvelles
mécaniques à
l’ancienne. Le
rappel
de certains travaux de Poincaré montre
que
si l’on
admet
la
loi de
Planck tout
en
conservant la définition
copernicienne
de
l’état
d’un
système
(point
de vue
de
l’ancienne théorie des
quanta)
on aboutit
nécessairement
à un
dernier
multiplicateur
essentiellement
discontinu. La nouvelle
définition
quantique
de l’état
permet
au contraire de
«
régulariser
»
le dernier
multiplicateur.
1.
-
Considérons,
avec Poincaré
(1),
un
système
différentiel
du
premier
ordre :
Soit
J4"d la
probabilité
de
présence
du
point
repré-
sentatif
de l’état du
système
dans
un
volume élémen-
taire d t de
l’espace
(x.).
Dans
un
volume
V
du
même
espace,
la
probabilité
de
présence
de
ce
point
sera :
Poincaré subordonne cette définition
à
la restriction
suivante :
«
Par une
pareille
probabilité
j’entends
le
rapport
il,
T
étant
une
très
longue
durée
depuis
l’époque
e
jusqu’à l’époque
8
-~--
T et t le
temps pendant
lequel,
entre ces deux mêmes
époques,
le
point
repré-
sentatif est trouvé
dans
le volume
V
considéré.
Cette
probabilité
n’a aucun sens si
t
ne
peut
être
considéré
comme
indépendant
de
6
et de
T
pourvu
que t
soit très
grand.
Si
cette
condition
est
remplie
et
si
W
peut
être
définie,
elle devra
satisfaire à
l’équation
aux
dérivées
partielles :
I~’ sera
donc
un
dernier
multiplicateur
des
équa-
tions
(1)
o .
2.
-
Pour les
équations
canoniques
d’Hamilton en
mécanique
classique :
(1)
H. POINCARÉ. Journal
de
Physique,
5e
série,
t.
II,
janvier
19~12,
p.
1.
l’identité
entre les dérivées de
l’hamiltonien
H,
livre
immédiate-
ment
-
L’unité est donc un dernier
multiplicateur,
au sens
de
Jacobi,
des
équations
d’Hamilton.
Ce
résultat
-
di-
rectement lié suivant J.-H.
Jeans,
au
théorème
de
Liou-
ville
-
traduit une
homogénéité
complète
des
possibilités
de
localisation, du
point
figuratif
de
l’état
du
système
dans
l’espace
d’extension en
phase
(qk’ Pk).
On
peut
encore observer
qu’à
partir
d’un ensemble
d’états
initiaux
possibles,
il existe
en
dynamique
ordi-
naire
des
suites
d’états
également
probables.
Si cet
ensemble
d’états
initiaux
détermine
une
multiplicité
dans
l’espace
d’extension en
phase,
l’ensemble
des
états
atteints
au
bout
du
temps t
définira une
multipli-
cité
homologue
du même
espace.
L’existence
d’inva-
riants
intégraux
des divers ordres
précise
la nature de
ces
correspondances.
Si
l’on
veut
encore,
le résultat
(4)
résume
à
la
fois
la
légalité,
la continuité
et
l’homogénéité
des solutions
qui
caractérisent
la
dynamique
classique,
ces attributs
se
définissant,
je
dois
y
insirter,
dans l’extension en
phase
(qà,
}) k).
3.
-
En
mécanique
quantique
(’),
les
équations
du
mouvement
sous
la
forme
d’Heisenberg-Dirac
(1)
René
DUGAS.
Coinptes
rendus de
l’Académie des
Sciences,1937,
204,
p.
149.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:0193800907028700

288
s’identifient
aux
équations
ordinaires
d’Hamilton
(3)
à
l’aide
des définitions.
...
Devant
cette identité
de
forme,
il ne
serait
pas
absurde a
priori
de se demander si les
équations
quan-
tiques
(5)
(6)
admettent encore l’unité comme
dernier
multiplicateur
au sens
de
Jacobi.
La
réponse
à cette
question
est
négative :
ceci cons-
tituerait,
s’il
en était
besoin,
une
preuve
nouvelle
de la
fragilité
de
l’identité formelle
que je
viens de
rappeler.
On
pourrait
établir
cette
réponse
par
voie
analy-
tique ;
mais
un
tel
calcul est
ici
inutile.
Il
devient en
effet
évident,
avec
l’interprétation
que
nous
en
avons
donnée
au §
2,
que
le
résultat
W = 1
ne
peut
s’étendre
à
la
mécanique quantique.
En
vertu
même de la
définition d’un
état
quantique
par
une
fonction
~’,
solution de
l’équation
des
ondes,
c’est seulement dans un élément
d6
de
l’espace
de
confi-
guration
(qk)
que
se laisse
définir la
probabilité
de
pré-
sence
du
point représentatif
de l’état d’un
système.
Cette
probabilité
s’écrit 1VBItff de conformément au
«
principe
des
interférences
»
de Born.
L’intégrale :
,
’
étendue
à tout
l’espace
de
configuration
est,
en
vertu
de
l’équation
des
ondes et des
conditions
imposées
aux
fonctions
~’,
invariante
par
rapport
au
temps.
L’équa-
tion :
qui
traduit
cette invariance montre
que
Tut"
est
un
dernier
multiplicateur
au sens de
Jacobi
du
système
J’ai
écrite pour simplifier,
ce
système
à
l’aide de
coor-
données
cartésiennes,
pour
un
système
composé
de A
particules
de
masse
m,
(1
=
i,2...
IV).
Ce
qui
précède
permet
de
comparer
les
interpréta-
tions
probabilistes
des
mécaniques
classique
et
quan-
tique.
Remarquons,
en
premier
lieu,
que
le
système (8)
est
vrai
dans le
détail : les
éléments
qk
qui
y
figurent
con-
cernent
la
localisation du
système
à
l’instant t dans
l’espace
de
configuration.
En
outre,
le
système
(8)
joue
en
mécanique
quantique,
devant
la théorie
du dcrnier
multiplicateur,
le rôle
des
équations
d’Hamilton
en
mécanique
ordinaire. Il
entraîne
valeur
moyenne
i
Une
nouvelle
dérivation,
compte
tenu de
l’équation
des
ondes,
donnerait
le théorème
d’Ehrenfest
expri-
mant
le
raccordement
statistique
aux
équations
clas-
siques
du mouvement sous
leur forme ordinaire :
où
U est la
fonction
des
forces.
L’analyse
qui
précède
s’applique
à
la
mécanique
ondulatoire
simple.
Elle
s’étend
à la
mécanique
de
Dirac de la
façon
suivante
(1) :
La densité
de
probabilité
s’écrit,
en
mécanique
de
Dirac,
4rk * T,
(avec
sommation
de 1
à 4
pour
l’indice
muet
k).
Les
«ï
introduits
ci-dessous
sont
les
opérateurs
connus.
L’intégrale :
étendue
à tout
l’espace
de
configuration
(qi, q2, q3)
est
invariante
par
rapport
au
temps.
L’équation :
qui
traduit cette invariance
montre
que
TA*WK
est un ’
"
dernier
multiplicateur
au
sens
de Jacobi
du
système :
Ce
système
entraîne
le
suivant : -.
’
qui
donne encore
le mouvement
du
centre de
gravité G
de la
probabilité.
Mais,
contrairement
à
ce
qui
se
passe
en
mécanique
ondulatoire
simple,
le
théorème
d’Ehrenfest
tombe
ici
en défaut.
En
particulier,
en
l’absence
de
champ,
on ne retombe
plus
statistiquement
sur le
principe
de
l’inertie : au
lieu
d’être
animé d’un
mouvement
rectiligne
et
uniforme,
G oscille autour
d’un tel mouvement
en vertu
du «
trernblenlent
de
Schrôdinger
»
conséquence
directe
de
l’équation (13).
Notons
encore
que
la densité
de
probabilité
~’k*~’k
(1)
René DUGAS.
mécanique
de
Dirac
et dernier
multiplicateur
au
sens
de Jacobi.
Comptes
rendus
de
l’Académie
des
Sciencos,
i93 i,
204,
p.
1104.

289
de
la
mécanique
de
Dirac
peut
se réduire à
la
forme
W*V dans
l’espace
à
quatre
dimensions
(~i,
q,, q3,~)
où
~
est
la
variable discontinue de
spin susceptible
des
valeurs
1,
2,
3,
4.
4.
-
Revenons au mémoire de
Poincaré
déjà
cité
au§1.
Poincaré
y
fait la
théorie des
chocs entre
électrons
libres
et
résonateurs
de
Planck. Il
définit
encore l’état
d’un
système
à
la manière
classique,
dans
l’espace
d’extension
en
phase (qk,
~k),
mais il
cherche
la
proba-
bilité
de
présence
W d1"
du
point
représentatif
de l’état
du
système
dans
un élément
de
cet
espace -
ou,
plus
exactement,
par
un
changement
de
variables,
dans un
élément
de
l’espace
des
énergies-phases (Y1k,
’Pk)
-
qui
conduise à la
loi de
Planck
et non à la loi
d’équiparti-
tion
ou loi de
Rayleigh-Jeans.
W
contient des facteurs tels
que 1£
(rk)
nuls
si l’éner-
gie
YJk
diffère
d’un
multiple
du
quantum
E. De
façon
précise
une
intégrale
telle
que
est
égale
au nombre de
multiples
de e
compris
entre
les
limites
r,i
et
"ti2.
W est un
dernier
multiplicateur
au
sens de
Jacobi
d’un
système que
Poincaré n’a
pas
cherché
à former
explicitement :
«
Après
avoir formé
le dernier
multipli-
cateur,
il
conviendrait
de chercher des
équations
diffé-
rentielles
qui
admettent ce dernier
multiplicateur,
ou
de
voir
quelles
sont les
équations
à
sauts
brusques qui
pourraient
jouer
le rôle
de
ces
équations
différentielles
quand
le dernier
multiplicateur
n’est
pas
continu.
C’est
là un
problème
qui
ne serait sans doute
pas
sans
diffi-
culté. Je ne
m’en
occuperai pas...
».
Cette
recherche est rendue
aujourd’hui
inutile,
la
mécanique quantique
ayant
ouvert une
voie
nouvelle
dans une direction
nettement différente. Ce
qui
reste
de
l’analyse
de
Poincaré,
c’est la démonstration
qu’il
a
donnée
du fait
que,
quelle
que
soit la
loi du
rayonne-
ment
du
corps
noir,
si l’on
suppose que
le
rayonnement
total est
fini
-
et en
bon sens
il
ne
peut
en
être
autre-
ment -
on est
obligatoirement
conduit à une
fonction
présentant
des discontinuités
analogues
à celle
des
quanta.
’
Il
y
a donc antinomie entre
la
continuité et
l’homo-
généité
des
états de la
dynamique
classique,
traduite
par l’équation
W
=
1 et
l’existence
d’un
rayonnement
total
fini. C’est
ce
que
Poincaré traduit
ainsi :
«
Vous
savez
pourquoi
les
théories
anciennes
nous
conduisent
forcément à
la
loi
de
l’équipartition
en-
traînant
un
rayonnement
total infini et absolument
contredite
par l’expérience;
c’est
parce
qu’elles
sup-
posent que
toutes
les
équations
de la
mécanique
sont
de la
forme de Hamilton et
que par
conséquent
elles
admettent
l’unité comme un
dernier
multiplicateur
au
sens
de
Jacobi. On doit alors
supposer
que
les
lois du
choc
entre
un
électron
libre et
un
résonateur ne
sont
pas
de
la même forme
et
que
les
équations
qui
les
régissent
admettent
un
dernier
multiplicateur
autre
que
l’unité. Il faut
bien
qu’elles
aient un
dernier multi-
plicateur
unciforme,
sans
quoi
le second
principe
de
la
thermodynamique
ne serait
pas
vrai,
mais
il
ne faut
pas que
ce
multiplicateur
soit l’unité
1’). »
Sous une autre
forme,
Poincaré
soulignait
encore,
en
interprétant
la
pensée
de Planck :
«
La
probabilité
d’une
variable continue s’obtient en
envisageant
des domaines
élémentaires
indépendants,
d’égale
probabilité.
Dans la
dynamique
classique,
on
se
sert,
pour
trouver ces
domaines
élémentaires,
de ce
théorème
que
deux états
physiques
dont
l’un
est l’effet
nécessaire
de
l’autre
sont
également
probables.
Dans
un
système physique,
si
on
représente
par q
une des
coordonnées
généralisées,
par p
le moment
correspon-
dant,
d’après
le
théorème de
Liouville,
le
domaine
~~dp
dq
considéré
à
un instant
quelconque
est
un
invariant
par
rapport
au
temps,
si q et p
varient confor-
mément
aux
équations
de
Hamilton.
D’autre
part,
q
et p
peuvent,
à un
instant
donné,
prendre
toutes
les
valeurs
possibles indépendamment
l’un de
l’autre. D’où
il suit
que
le domaine de
probabilité
est infiniment
petit
de
la
grandeur
dp
dq...
La
nouvelle
hypothèse
doit avoir
pour
but de restreindre la
variabilité
de p
et q,
de telle
façon
que
ces variables
ne varient
plus
que par
sauts ou
qu’elles
soient
regardés
comme
liées
en
partie
l’une
à l’autre
(2).
On arrive
ainsi à
réduire
le
nombre
des domaines
élémentaires
de
probabilité,
de
sorte
que
l’étendue
de chacun
d’eux se trouve
aug-
mentée.
L’hypothèse
des
quanta
d’action consiste à
supposer
que
ces
domaines,
tous
égaux
entre
eux,
ne
sont
plus
infiniment
petits,
mais finis et
que
l’on a
pour
chacun
d’eux :
h
étant
une constante
»
(3).
Je
rappelle
seulement,
sans
y
insister,
que
la
pre-
mière théorie
des
quanta (Bohr-Sommerfeld)
adoptait
intégralement
ce
point
de
vue,
en
pratiquant
dans
l’infinité
des
trajectoires classiquement possibles
une
sélection fondée sur l’atomicité de
l’action.
5.
-
L’interprétation que
j’ai
donnée ici de
la den-
sité de
probabilité
WW* de la
mécanique quantique
révèle
une
singularité (mise
en défaut de
l’équation
classique
W
= 1)
et une
régularité (existence
d’un
der-
nier
multiplicateur
uniforme)
conformes aux vues de
Poincaré,
mais
sous les
distinctions
essentielles
sui-
vantes :
a)
Les
équations
canoniques
d’Hamilton
se conser-
vent
(il y
aidentité de
forme
avec
les
équations
quan-
tiques)
mais
on
ne saurait
y
introduire
de
conditions
(1)
Dernières
Pensées, Flammarion,
éd.,
Paris,
p.
213.
(2)
Noter ici ce
qu’on pourrait appeler
une
sorte
de
prédiction
de
la loi d’incertitude
d’Heisenberg.
(3) Ibid.,
p.
183.
20.

290
initiales
précises
pk
en
raison
de
l’incertitude
k
k
z
heisenbergienne :
l’axiome
copernicien
des conditions
initiales
est
détruit.
,
b)
Le
dernier
multiplicateur
W 1l"*,
le
système
diffé-
rentiel
correspondant (8)
et
l’état
d’un
système
ne se
situent
plus
dans
l’espace
d’extension en
phase,
mais
dans
l’espace
de
configuration.
Dans la
quantification,
au sens de
Schrôdinger,
d’un
système
placé
dans un
champ statique, l’amplitude a
de
l’onde
est
supposée
continue, uniforme,
finie
et
nulle
aux
limites
du
domaine
considéré
de
l’espace
de
configuration
(’).
En vertu de
a* a
=
W*W
ces
régula-
rités
s’étendent
à
la
densité de
probabilité qu’exprime
le dernier
multiplicateur.
Des
discontinuités
quan-
tiques
corrélatives s’introduisent alors dans le
spectre
des
valeurs
propres
de
l’énergie.
C’est
la
définition
quantique
de l’état d’un
système
qui
permet
de
régula-
riser
ainsi
le
dernier
multiplicateur,
alors
que
la défi-
nition
classique
de
l’état d’un
système
dans l’extension
en
phase
obligeait
Poincaré,
pour
sauver la
loi
de
Planck,
à
adopter
une densité
de
probabilité
-
et
par-
tant un
dernier
multiplicateur
essentiellement discon-
tinu.
Le
raccordement
statistique
avec l’ancienne méca-
nique
s’obtient immédiatement à
l’aide du
système
différentiel dont
~’~~°
est
un dernier
multiplicateur.
Nous
avons noté au
passage
dans
quelle
mesure ce
raccordement
statistique
subsiste,
au tremblement
de
Schrôdinger
près,
en
mécanique
de Dirac.
(’)
Certaines
généralisations
supposent,
il est
vrai,
seulement
que
les
fonctions d’ondes sont uniformes et de carré sommable.
Conclusion. -
En
conclusion,
notre
analyse
offre
un
parallèle
entre les
interprétations
probabilistes-ou
entre
la
légalité
respective
-
des différentes
dyna-
miques :
Dernier
multiplicateur
Légalité classique .
W 1
j
(dansl’espace d’ex-
ega 1
e
classique.
= i ...
tension en phase).
Légalité
de l’an-
fonction W
_
cienne
dynamique
dePoincaré
-
dd8
quanta.
(
Légalité
de la mé-
-
T.
(dans
l’espace
de
c an i q u e
ondula-
configuration).
toire
simple.
,
,
J
-
Légalité
de
la me-
ou
T
h -*
ns
k
(dans
l’espace
de
canlque de DIrac. ,
T,J7 - *" }
configuration
et
rJ’ - W
T
J
variable
de spin).
Il
est
permis
de
souligner que
les fonctions
W des
nouvelles
mécaniques
sont
beaucoup plus
faciles
à
exprimer que
celle de l’ancienne
dynamique
des
quanta,
car
je
n’ai
donné ici
qu’une
analyse
fort
incomplète
de
la difficulté du
mémoire
de
Poincaré.
La
présente
analyse
part
d’un
point
de
vue
global
où
les conditions
initiales
sont
supposées
quelconques.
J’ai
tenté
auparavant (1)
en
suivant M.
J.-L.
Destouches,
de
préciser
les caractères de la
légalité
de
la
mécanique
quantique
lorsqu’on part
au contraire d’un état initial
spécifié
W 0 :
ces
deux
points
de vue se
complètent.
(1)
René
Bulletin
de
Royale
de
Belgique, i936,
22,
p.
1318.
Manuscrit
reçu
le
20
février 1938.