III Probabilités conditionnelles

ESPACES PROBABILISES FINIS
III
III Probabilités conditionnelles
Probabilités conditionnelles
Dans toute cette partie, (Ω, P (Ω), P ) est un espace probabilisé fini.
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Probabilité « sachant »
Théorème – définition : Rappel
Soit A un événement de probabilité non nulle. L’application PA définie sur P (Ω) par :
∀B ∈ P (Ω), PA (B) =
est une probabilité sur (Ω, P (Ω)), appelée probabilité conditionnelle relativement à A ou encore
Démonstration. Vérifions que la formule définit bien une probabilité.
• PA définit bien une application de P (Ω) à valeurs dans
Soit B ∈ P (Ω).
• PA (B) ≥ 0 car
:
• PA (B) ≤ 1. En effet,
• L’application PA : P (Ω) → [0 , 1] est une probabilité car :
i)
ii) Soient B, C ∈ P (Ω), incompatibles. Montrons que
Or A ∩ B et A ∩ C sont
Donc
• Conséquence. Si P (A) , 0, alors (Ω, P (Ω), PA ) est un espace probabilisé. Toutes les formules vues sur les
probabilités sont valables pour PA :
• ∀B ∈ P (Ω), PA (B) =
• Si C ⊂ B, alors
• PA (B ∪ C) =
• Et bien sûr, la jolie formule de Poincaré...
• Remarque. Bien souvent, on connaît PA (B) et on cherche P (A∩B). On utilise donc plutôt la formule « à l’envers » :
Exemple Tirages sans remise. — Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules vertes. On effectue deux tirages
successifs sans remise dans cette urne. On considère les événements V1 (resp. V2 ) : « le 1er (resp. le 2e) tirage
donne une boule verte ». Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules vertes ?
On cherche
Représentation à l’aide d’un arbre :
V2
V1
V2
V2
V1
V2
• Au 1er tirage :
• Au 2e tirage, si la première boule tirée est verte :
Donc
j Attention j En général P (A ∩ B) , PA (B).