MAT 1200: Introduction à l`algèbre linéaire

MAT 1200:
Introduction à l’algèbre linéaire
Saïd EL MORCHID
Département de Mathématiques et de Statistique
Chapitre 6: Les transformations linéaires (partie 2)
Références
Définitions-Exemples
Définitions
Remarque
Exemple
Matrices et applications linéaires
Exemples
Les espaces associés à une transformation linéaire
Le noyau et l’image
Les transformations linéaires et le changement de bases
Notations
La matrice d’une transformation linéaire dans des nouvelles bases
Matrices semblables
Définition
Exemple
Références:
• Notes de cours chapitre 6 page 112 .
• Livre: sections, 1.9 1.8. pages 68-86, sect 4.2. pages 213-223, section
5.4. pages 310-316.
Les transformations linéaires
Définition
Une application T de Rn vers Rm est une transformation linéaire si les deux
conditions suivantes sont vérifiées:
a) pour tous vecteurs ~u , ~v ∈ Rn ,
T (~u + ~v ) = T (~u ) + T (~v ).
b) pour tout ~u ∈ Rn , c ∈ R,
T (c~u ) = cT (~u ).
Remarque
Si T est une transormation linéaire, alors
a) T (~0) = ~0.
b) pour tous vecteurs v~1 , v~2 , · · · , v~n ∈ Rn et pour tous scalaires
c1 , c2 , · · · , cn ∈ R, on a
T (c1 v~1 + c2 v~2 + · · · + cn v~n ) =
c1 T (v~1 ) + c2 T (v~2 ) + · · · + cn T (v~n ).
Exemple
Exemple:
On considère l’application
T
:
R2
(x, y )
−→
7−→
R3
(2x − 3y , x − 4y , y )
a) Montrer que T est une transformation linéaire.
b) Donner T (~i) et T (~j).
Matrices et applications linéaires
Définition
Soit A une matrice de type m × n, on appelle transformation linéaire (ou
matricielle) associée à A, notée TA , la fonction de définie par
TA :
Rn
~v
→
7
→
Rm
TA (~v ) = A~v
Définition
Soient
B1 = {~u1 , ~u2 , · · · , ~un } une base de Rn ,
B2 = {~e1 , ~e2 , · · · , ~em } une base de Rm et
T une transformation linéaire de Rn dans Rm .
La matrice A de T par rapport aux bases B1 et B2 est la matrice dont les
colonnes sont les composantes des images des vecteurs de B1 exprimées dans
B2 .
A = T (~u1 ) T (~u2 ) · · · T (~un ) .
Exemples
Exemple:
On suppose que T est une transformation linéaire de



5
T (~i) =  −7  et T (~j) = 
2
R2 dans R3 telle que

−3
8 
0
Trouver l’ expression de T (~v ) si ~v = x~i + y~j de R2 .
Exemple:
On munit l’espace R2 de sa base canonique. Construisez la matrice A qui
correspond à la dilatation T (~v ) = 3~v pour tout vecteur ~v de R2 .
Exemple:
On munit l’espace R2 de sa base canonique. On considère la transformation
linéaire T qui consiste d’abord en un cisaillement horizontal tel que
~i 7→ ~i,~j 7→ ~j − 1~i,
2
puis en une symétrie orthogonale d’axe OY .
Le noyau et l’image
Définition
Soient T : Rn −→ Rm une transformation linéaire et A une matrice associée à
T.
a) Le noyau de T , noté KerT , est le sous-ensemble de Rn défini par
KerT = {~v ∈ Rn |T (~v ) = ~0} = KerA = Nul(A).
b) L’image de T , noté ImT , est le sous-ensemble de Rm défini par
ImT = {T (~v ) ∈ Rm |~v ∈ Rn } = ImA = Col(A).
Proposition
Soient T : Rn −→ Rm une transformation linéaire et A une matrice associée à
T . Alors
a) KerT c’est l’espace des solutions du système homogène A~x = ~0.
b) KerT est un sous espace vectoriel de Rn .
c) la dimension de KerT est égale au nombre des variables libres dans la
résolution du système A~x = ~0.
d) ImT c’est l’espace colonnes de la matrice A.
e) ImT est un sous espace vectoriel de Rm .
f) la dimension de ImT est égale au nombre des lignes non nulles dans une
forme échelon de At et dim ImT = rang(A).
g) les lignes non nulles dans une forme échelon de At forment une base de
ImT .
h) Théorème du rang: dim ImT + dim KerT = dim Rn = n.
Exemple:
On considère la transformation linéaire
T
:
4
R
x
 y

 z
t
−→




7−→
R3


x −y +z +t


x + 2z − t
x + y + 3z − 3t
a) Donner la matrice de T relativement aux bases canoniques.
b) Donner une base de ImT . Quelle est sa dimension?
c) Donner une base de KerT . Quelle est sa dimension?
d) Vérifier que dim ImT + dim KerT = 4.
Les transformations linéaires et le changement de bases
Notations
• Soit Cn = {~e1 , ~e2 , · · · , ~en } la base canonique de Rn .
• Soit B = {~v1 , ~v2 , · · · , ~vn } une autre base de Rn .
• B la matrice de passage de la base B à la base Cn , B −1 la matrice de
passage de la base Cn à la base B . Pour tout ~x ∈ Rn , on a
• Soit Cm = {~u1 , ~u2 , · · · , ~um } la base canonique de Rm .
~ 2, · · · , w
~ m } une autre base de Rm .
• Soit D = {~
w1 , w
• D la matrice de passage de la base D à la base Cm , D −1 la matrice de
passage de la base Cm à la base D. Pour tout ~y ∈ Rm .
Proposition
On a
a)
[~x ]B = B −1 [~x ]Cn , [~x ]Cn = B[~x ]B .
b)
[~y ]D = D −1 [~y ]Cm , [~y ]Cm = D[~y ]D .
L’effet du changement de bases
Soit T : Rn −→ Rm une transformation linéaire et A la matrice de T dans les
bases canoniques.
Pour tout vecteur ~z ∈ Rn , on a
[T (~z )]Cm = [A~z ]Cm .
Alors
[T (~z )]D
=
=
=
D −1 [A~z ]Cm
D −1 A[~z ]Cn .
D −1 AB[~z ]B
Proposition
a) La matrice de T par rapport aux bases B et D est
[T ]D,B = D −1 AB.
b) Dans le cas où n = m et D = B, on a
[T ]D,D = D −1 AD.
Matrices semblables
Définition
On dira que deux matrices carrées, du même type, A1 et A2 sont semblables, si
on peut trouver une matrice inversible D pour laquelle
A2 = D −1 A1 D.
Ce qui signifie, que ces deux matrices représentent la même transformation
linéaire dans deux bases différentes.
Exemple:
On considère la transformation linéaire
T
:
4
R
x
 y

 z
t
−→




7−→
On considère une autre base de R4

 
−1
1



  0
0
 
D= 
 1 , 0



1
0
4
R


x − 2y + 3z − t
 2x + y − 2z + t 


 −x + 3y − z − t 
y − 4t
 
0
1
  2   1
,
 
  0 , 1
1
0
 




 .



Donner la matrice A de T dans la base canonique et la matrice
base D.
Or, on a
[T ]D,D = D −1 AD.



1
−2
3
−1
1 −1 1
 2

 0
1
−2
1
0
2
,D = 
A=
 −1
 1
3
−1 −1 
0
0
0
1
0
−4
0
1
0
de T dans la

0
1 

1 
1
Exemple (suite):
On calcule D −1 puis on effectue le produit D −1 AD,

10
−11 −11
 12
−15 −14
[T ]D,D = 
 6
−6
−6
−12
11
16
Cette dernière matrice est semblable à la matrice A.
on obtient

−7
−11 

−4 
8