1 Notion de matrice - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

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Résumé de cours sur le calcul matriciel
1 Notion de matrice
1. Définitions : identification entre vecteur colonne et matrice colonne, transposée
d’une matrice, matrice diagonale, triangulaire, symétrique, antisymétrique.
2. Matrice d’une application linéaire dans des bases 1: si u∈ L(E, F ) et que
BE= (e1,...,ep) est une base de E,BF= (f1,...,fn) une base de F, la
matrice de u MBE,BF(u) = (ai,j ) est dans Mn,p(K) et on a :
∀j∈ {1,...,p}, u(ej) =
n
X
i=1
ai,j fi.
Application linéaire canoniquement associée à une matrice.
3. Matrice d’une famille finie de vecteurs dans une base.
2 Opérations sur les matrices, compatibilité avec
les opérations des AL associées
1. L’espace vectoriel Mn,p(K)
Addition, multiplication scalaire. Matrices élémentaires Eij . La famille (E11, E12 ,...,E1p, E21,...)
formée par les matrices élémentaires rangées par ordre lexicographique est la
base canonique de Mn,p(K). Ainsi
dim Mn,p(K) = np .
Isomorphisme entre Mn,p(K) et L(E, F ) si dim E=pet dim F=n: si uet
vsont dans L(E, F ) et λ∈K, on a
DICO : MatBE,BF(λu +v) = λMatBE,BF(u) + MatBE,BF(v).
Corollaire :
dim L(E, F ) = dim E×dim F .
2. L’anneau (Mn(R),+,×), produit de matrices.
Il faut retenir la formule : si A= (aij )∈ Mp,n(K), B= (bij )∈ Mn,q (K) et
AB = (cij )∈ Mp,q(K), on a
cij =
n
X
k=1
aikbkj .
1. La morale de chapitre pourrait se résumer à ceci : je veux étudier un endomorphisme ude
E. Pour cela je cherche une «bonne» base dans laquelle la matrice de uest «sympatique», l’idéal
étant qu’elle soit diagonale (car faire des calculs avec une matrice diagonale, c’est très simple). Pour
trouver de bonnes bases, très souvent, on décompose Een somme directe de «bons» sous-espaces,
et on recolle les bases des sous-espaces pour obtenir une base de E.

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Attention aux formats des matrices (sorte de relation de Chasles).
Le produit matriciel code la composition des applications linéaires : si u:E→
Fet v:F→Gsont linéaires, on a
DICO : MatBE,BG(v◦u) = MatBF,BG(v)MatBE,BF(u).
3. Quelques remarques :
– Le produit matriciel n’est pas commutatif et l’anneau Mn(K) n’est pas
intègre : les matrices nilpotentes N= 0 1
0 0!et M= 0 0
1 0!ne commutent
pas et N2= 0 pourtant Nnon nulle.
– La matrice unité In= diag(1,...,1) commute avec tout le monde.
– La relation suivante peut rendre des services : Eij Ekl =δjkEil .
– L’AL ucanoniquement associée à une matrice Ade Mn(K) peut
aussi se voir comme l’endomorphisme de ude Kndéfini par u(X) = AX en
identifiant matrice colonne et vecteur colonne.
– Écriture matricielle d’un système linéaire.
– la complexité de la multiplication matricielle dans Mn(K) est en O(n3) (mul-
tiplier deux matrices de taille nnécessite n2(n−1) additions et n3multipli-
cations de réels).
3 Le groupe des matrices inversibles
1. Définition : une matrice Ade Mn(K) est dite inversible s’il existe une matrice
Bde Mn(K) telle que AB =BA =In. Une telle matrice Best unique, on la
note A−1.
L’ensemble GLn(K) des matrices inversibles de Mn(K) est un groupe pour la
loi ×. Si A, B ∈GLn(K),(AB)−1=B−1A−1.
Propriété : Il suffit qu’une matrice carrée soit inversible à gauche ou à droite
pour être inversible.
2. Comment savoir si une matrice Aest inversible ?
(a) On utilise la définition, en essayant d’exhiber une matrice Btelle que
AB =In. On montre ainsi :
– une matrice nilpotente n’est jamais inversible.
– si A∈ Mn(K) vérifie A2−5A+ 6In= 0 alors Aest inversible et
A−1=−1
6(A−5In).
(b) On utilise la propriété de «DICO» suivante : une matrice Aest inversible
si et seulement si son AL ucanoniquement associée est bijective et alors
(MatB,B′(u))−1= MatB′,B(u−1).
(c) On regarde le rang de la matrice : A∈ Mn(K) est inversible ssi rang(A) = n.
(d) On regarde si le système associé AX =Yadmet une unique solution. Si
c’est le cas, la solution X=A−1Ypermet d’obtenir l’expression de A−1.

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Exemple : la matrice A=
2 1 1
1 2 1
1 1 2
est inversible d’inverse 1
4
3−1−1
−1 3 −1
−1−1 3
(e) On démontrera plus tard qu’une matrice A∈ Mn(K) est inversible si et
seulement si det A6= 0.
(f) Cas de la taille 2 : la matrice a b
c d!est inversible ssi son déterminant
ad −bc 6= 0 et alors a b
c d!−1
=1
ad −bc d−b
−c a !.
4 Quelques compléments ou outils matriciels
1. La trace : c’est une forme linéaire sur Mn(K) et de plus Tr(AB) = Tr(BA) .
2. La transposition : elle est linéaire et t(AB) = tBtA. Elle est involutive, i.e.
t(tA) = A. C’est donc une symétrie de Mn(R), on a donc
Mn(R) = Sn(R)⊕An(R).
Corollaire : la transposée d’une matrice inversible est encore une matrice in-
versible et on a t(A−1) = (tA)−1.
3. Calcul de puissances n-ièmes : quelques recettes à découvrir en exercice
(a) Si D= diag(d1,...,dp), alors Dn= diag(dn
1,...,dn p).
(b) L’astuce de type «Pacman» (P DP −1)n=P DnP−1est à connaître.
(c) Utilisation du binôme de Newton : si Aet Bsont deux matrices de Mn(K)
qui commutent, alors pour tout n∈N, on a
(A+B)n=
n
X
k=0 n
k!AkBn−k.
En particulier calcul de (λIp+N)navec Nnilpotente.
(d) Utilisation d’un polynôme annulateur : si Pest un polynôme annulateur
de la matrice A, c’est-à-dire si P(A) = 0, on cherche le reste Rde la
division euclidienne de Xnpar P...
(e) Utilisation d’une récurrence : calcul de Anoù A=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
.
4. Le rang d’une matrice : c’est le rang de ses vecteurs colonnes.
DICO : Le rang d’une AL est égal au rang de sa matrice par rapport à n’im-
porte quel couple de bases.
Application : déterminer sans calcul 2une base de l’image et du noyau de
l’endomorphisme ucanoniquement associé à A=
2 2 6
3 0 9
4 4 12
.
2. comme u(e3) = 3u(e1), on a e3−3e1∈ker u . . .

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Si A∈Mn,p(K), alors rg(A)6inf(n, p).
Le rang d’une matrice n’est pas modifié, lorsqu’on la multiplie par une matrice
inversible.
5 Changements de base
5.1 Matrices de passage
1. Si Bet si B′sont deux bases de E, on appelle matrice de passage de BàB′la
matrice notée Pass(B,B′) dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs
de B′dans la base B.
Attention on a Pass(B,B′) = MB′,B(idE) . Puisque l’identité est bijective,
on en déduit (DICO) que Pass(B,B′) est inversible et que son inverse est
Pass(B′,B).
2. Effet d’un changement de base sur la matrice d’une AL. Si u∈ L(E, F ), (avec
des notations évidentes) si A=MBE,BF(u), A′=MB′
E,B′
F(u), P= Pass(BE,B′
E)
et Q= Pass(BF,B′
F), on a A=QA′P−1.
En particulier si E=F, on obtient A=P A′P−1.
Effet d’un changement de base sur les coordonnées : Si Xsont les coordonnées
de x∈Edans Bet X′les coordonnées dans B′, on a (attention)X=P X′
avec P= Pass(B,B′).
6 Problème de classification des matrices
1. Matrices équivalentes
Définition : deux matrices Aet Bde Mn,p(K) sont dites équivalentes s’il existe
deux matrices inversibles P∈GLn(K) et Q∈GLp(K) telles que A=P BQ.
Prop fondamentale : Mest de rang rssi Mest équivalente à la matrice bloc
Jr= diag(Ir,0).
Corollaire 1 : Deux matrices sont équivalentes ssi elles ont le même rang.
Corollaire 2 : rg A= rg tA, ainsi le rang d’une matrice est aussi égal au rang
de ses vecteurs lignes.
2. Matrices semblables
Définition : deux matrices Aet Bde Mn(K) sont dites semblables s’il existe
une matrice inversible P∈GLn(K) telles que A=P BP −1.
Deux matrices semblables ont même trace, même rang (elles sont donc équi-
valentes). La réciproque est fausse.
7 Opérations élémentaires
1. Description des 3 opérations élémentaires, matrices associées.
2. Application au calcul du rang et au calcul d’une inverse par la méthode du
pivot de Gauss.