1 Notion de matrice - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2012-2013
Résumé de cours sur le calcul matriciel
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Notion de matrice
1. Définitions : identification entre vecteur colonne et matrice colonne, transposée
d’une matrice, matrice diagonale, triangulaire, symétrique, antisymétrique.
2. Matrice d’une application linéaire dans des bases 1 : si u ∈ L(E, F ) et que
BE = (e1 , . . . , ep ) est une base de E, BF = (f1 , . . . , fn ) une base de F , la
matrice de u MBE ,BF (u) = (ai,j ) est dans Mn,p (K) et on a :
∀j ∈ {1, . . . , p}, u(ej ) =
n
X
ai,j fi .
i=1
Application linéaire canoniquement associée à une matrice.
3. Matrice d’une famille finie de vecteurs dans une base.
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Opérations sur les matrices, compatibilité avec
les opérations des AL associées
1. L’espace vectoriel Mn,p (K)
Addition, multiplication scalaire. Matrices élémentaires Eij . La famille (E11 , E12 , . . . , E1p , E21 , . . .)
formée par les matrices élémentaires rangées par ordre lexicographique est la
base canonique de Mn,p (K). Ainsi
dim Mn,p (K) = np .
Isomorphisme entre Mn,p (K) et L(E, F ) si dim E = p et dim F = n : si u et
v sont dans L(E, F ) et λ ∈ K, on a
DICO : MatBE ,BF (λu + v) = λMatBE ,BF (u) + MatBE ,BF (v) .
Corollaire :
dim L(E, F ) = dim E × dim F .
2. L’anneau (Mn (R), +, ×), produit de matrices.
Il faut retenir la formule : si A = (aij ) ∈ Mp,n (K), B = (bij ) ∈ Mn,q (K) et
AB = (cij ) ∈ Mp,q (K), on a
cij =
n
X
aik bkj .
k=1
1. La morale de chapitre pourrait se résumer à ceci : je veux étudier un endomorphisme u de
E. Pour cela je cherche une «bonne» base dans laquelle la matrice de u est «sympatique», l’idéal
étant qu’elle soit diagonale (car faire des calculs avec une matrice diagonale, c’est très simple). Pour
trouver de bonnes bases, très souvent, on décompose E en somme directe de «bons» sous-espaces,
et on recolle les bases des sous-espaces pour obtenir une base de E.
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Attention aux formats des matrices (sorte de relation de Chasles).
Le produit matriciel code la composition des applications linéaires : si u : E →
F et v : F → G sont linéaires, on a
DICO : MatBE ,BG (v ◦ u) = MatBF ,BG (v)MatBE ,BF (u) .
3. Quelques remarques :
– Le produit matriciel n’est pas commutatif! et l’anneau M
(K) n’est pas
!n
0 1
0 0
intègre : les matrices nilpotentes N =
et M =
ne commutent
0 0
1 0
pas et N 2 = 0 pourtant N non nulle.
– La matrice unité In = diag(1, . . . , 1) commute avec tout le monde.
– La relation suivante peut rendre des services : Eij Ekl = δjk Eil .
– L’AL u canoniquement associée à une matrice A de Mn (K) peut
aussi se voir comme l’endomorphisme de u de Kn défini par u(X) = AX en
identifiant matrice colonne et vecteur colonne.
– Écriture matricielle d’un système linéaire.
– la complexité de la multiplication matricielle dans Mn (K) est en O(n3 ) (multiplier deux matrices de taille n nécessite n2 (n − 1) additions et n3 multiplications de réels).
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Le groupe des matrices inversibles
1. Définition : une matrice A de Mn (K) est dite inversible s’il existe une matrice
B de Mn (K) telle que AB = BA = In . Une telle matrice B est unique, on la
note A−1 .
L’ensemble GLn (K) des matrices inversibles de Mn (K) est un groupe pour la
loi ×. Si A, B ∈ GLn (K), (AB)−1 = B −1 A−1 .
Propriété : Il suffit qu’une matrice carrée soit inversible à gauche ou à droite
pour être inversible.
2. Comment savoir si une matrice A est inversible ?
(a) On utilise la définition, en essayant d’exhiber une matrice B telle que
AB = In . On montre ainsi :
– une matrice nilpotente n’est jamais inversible.
– si A ∈ Mn (K) vérifie A2 − 5A + 6In = 0 alors A est inversible et
(A − 5In ).
A−1 = −1
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(b) On utilise la propriété de «DICO» suivante : une matrice A est inversible
si et seulement si son AL u canoniquement associée est bijective et alors
(MatB,B′ (u))−1 = MatB′ ,B (u−1 ) .
(c) On regarde le rang de la matrice : A ∈ Mn (K) est inversible ssi rang(A) = n .
(d) On regarde si le système associé AX = Y admet une unique solution. Si
c’est le cas, la solution X = A−1 Y permet d’obtenir l’expression de A−1 .
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



3 −1 −1
2 1 1




1 


Exemple : la matrice A = 1 2 1 est inversible d’inverse 4 −1 3 −1

−1 −1 3
1 1 2
(e) On démontrera plus tard qu’une matrice A ∈ Mn (K) est inversible si et
seulement si det A 6= 0.
a b
c d
(f) Cas de la taille 2 : la matrice
ad − bc 6= 0 et alors
4
a b
c d
!−1
!
est inversible ssi son déterminant
1
d −b
=
.
ad − bc −c a
!
Quelques compléments ou outils matriciels
1. La trace : c’est une forme linéaire sur Mn (K) et de plus Tr(AB) = Tr(BA) .
2. La transposition : elle est linéaire et t (AB) = t B t A . Elle est involutive, i.e.
t t
( A) = A. C’est donc une symétrie de Mn (R), on a donc
Mn (R) = Sn (R) ⊕ An (R).
Corollaire : la transposée d’une matrice inversible est encore une matrice inversible et on a t (A−1 ) = (t A)−1 .
3. Calcul de puissances n-ièmes : quelques recettes à découvrir en exercice
(a) Si D = diag(d1 , . . . , dp ), alors Dn = diag(dn1 , . . . , dnp ).
(b) L’astuce de type «Pacman» (P DP −1 )n = P Dn P −1 est à connaître.
(c) Utilisation du binôme de Newton : si A et B sont deux matrices de Mn (K)
qui commutent, alors pour tout n ∈ N, on a
(A + B) =
n
n
X
k=0
!
n k n−k
A B
.
k
En particulier calcul de (λIp + N )n avec N nilpotente.
(d) Utilisation d’un polynôme annulateur : si P est un polynôme annulateur
de la matrice A, c’est-à-dire si P (A) = 0, on cherche le reste R de la
division euclidienne de X n par P ...


1 1 1


n

(e) Utilisation d’une récurrence : calcul de A où A = 
1 1 1.
1 1 1
4. Le rang d’une matrice : c’est le rang de ses vecteurs colonnes.
DICO : Le rang d’une AL est égal au rang de sa matrice par rapport à n’importe quel couple de bases.
Application : déterminer sans calcul 2 une base 
de l’imageet du noyau de
2 2 6



l’endomorphisme u canoniquement associé à A = 3 0 9 
.
4 4 12
2. comme u(e3 ) = 3u(e1 ), on a e3 − 3e1 ∈ ker u . . .
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Si A ∈ Mn,p (K), alors rg(A) 6 inf(n, p).
Le rang d’une matrice n’est pas modifié, lorsqu’on la multiplie par une matrice
inversible.
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Changements de base
5.1
Matrices de passage
1. Si B et si B′ sont deux bases de E, on appelle matrice de passage de B à B′ la
matrice notée Pass(B, B′ ) dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs
de B′ dans la base B.
Attention on a Pass(B, B′ ) = MB′ ,B (idE ) . Puisque l’identité est bijective,
on en déduit (DICO) que Pass(B, B′ ) est inversible et que son inverse est
Pass(B′ , B).
2. Effet d’un changement de base sur la matrice d’une AL. Si u ∈ L(E, F ), (avec
des notations évidentes) si A = MBE ,BF (u), A′ = MBE′ ,BF′ (u), P = Pass(BE , BE′ )
et Q = Pass(BF , BF′ ), on a A = QA′ P −1 .
En particulier si E = F , on obtient A = P A′ P −1 .
Effet d’un changement de base sur les coordonnées : Si X sont les coordonnées
de x ∈ E dans B et X ′ les coordonnées dans B′ , on a (attention) X = P X ′
avec P = Pass(B, B′ ).
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Problème de classification des matrices
1. Matrices équivalentes
Définition : deux matrices A et B de Mn,p (K) sont dites équivalentes s’il existe
deux matrices inversibles P ∈ GLn (K) et Q ∈ GLp (K) telles que A = P BQ.
Prop fondamentale : M est de rang r ssi M est équivalente à la matrice bloc
Jr = diag(Ir , 0).
Corollaire 1 : Deux matrices sont équivalentes ssi elles ont le même rang.
Corollaire 2 : rg A = rg t A, ainsi le rang d’une matrice est aussi égal au rang
de ses vecteurs lignes.
2. Matrices semblables
Définition : deux matrices A et B de Mn (K) sont dites semblables s’il existe
une matrice inversible P ∈ GLn (K) telles que A = P BP −1 .
Deux matrices semblables ont même trace, même rang (elles sont donc équivalentes). La réciproque est fausse.
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Opérations élémentaires
1. Description des 3 opérations élémentaires, matrices associées.
2. Application au calcul du rang et au calcul d’une inverse par la méthode du
pivot de Gauss.