Le disque remontant un plan incliné 2.Étude théorique de la

Le disque remontant un plan incliné
2.Étude théorique de la première phase
2.1.Théorèmes généraux
L’application de la relation fondamentale au disque
permet d’écrire, dans un référentiel terrestre considéré
galiléen :
‰
avec le théorème de la résultante cinétique,
T + N + P = ma
‰
avec le théorème du moment cinétique en G
dσ G
= GI ∧ T = − R j ∧ T i
dt
2.2.Projection sur les axes (O,x,y)
Le mouvement de G est un mouvement rectiligne
selon Oy.
Le mouvement relatif est un mouvement de rotation
autour d'un axe passant par G et donc :
m&x& = −mg sin α + T
m&y& = −mg cosα + N = 0
Jϕ&&k = RT k
&x& = − g sin α +
N = mg cosα
2T
ϕ&& =
mR
Ces équations deviennent avec J = ½ mR² :
Si N est toujours positif, il reste à discuter le signe de
T.
vg = vI ∈disque / ℜ
La définition de la vitesse de glissement permet
d'écrire, sachant que le plan est fixe :
v g = vG / ℜ +
‰
On déduit de (1) que l'accélération sur Ox est
constante :
‰
On déduit de (3) que l'accélération angulaire
est constante :
(2)
(3)
v g = vI ∈disque / ℜ − vI ∈ plan / ℜ
2.3.Équation différentielle
Au départ la vitesse de glissement n'est pas nulle (car
v0 est imposée) et donc il existe obligatoirement un
glissement et la réaction tangentielle est un vecteur
opposé à la vitesse de glissement donc T < 0 :
T
(1)
m
dϕ
k ∧ GI
dt
v g = x& i + ϕ& R i
T = − f N = − fmg cosα
Æ &x& = − g
&& =
Æϕ
sin α − fg cosα
− 2 fg cosα
R
En intégrant ces deux équations on constate que :
‰
l'accélération constante mais négative implique
un mouvement de translation uniformément
retardée, puisque la vitesse est toujours
positive dans cette phase,
Æ x& = − g (sin α − f cos α ) t + v0
‰
l'accélération
angulaire
constante
mais
négative implique un mouvement de rotation
autour de G uniformément accéléré puisque la
vitesse angulaire est toujours négative dans
cette phase.
Æ ϕ& = −
I.N.R.P. – B. Richoux, C. Salvetat, Lycée J.-B. Corot, Savigny s/orge
2 fg cosα
t
R
18/10/02
1/1