Licence de Mathématiques Examen de Topologie et Calcul

Licence de Mathématiques
Examen de Topologie et Calcul Différentiel
Responsables : C. Klimcik et A. Pichon
septembre 2004, durée: 2 heures
(sans documents ni calculatrices)
TOPOLOGIE
I (sur 6 points)
(question de cours)
Énoncer soigneusement le théorème du point fixe pour une application contractante et indiquer en quelques lignes les étapes de sa démonstration.
II (sur 8 points)
C étant muni de sa norme usuelle |.|, on note S1 = {z ∈ C / |z| = 1} le
cercle unité de C, muni de la topologie induite.
1) Rappeler la définition de la topologie induite.
Soit ∼ la relation d’équivalence sur R définie par : x ∼ y ssi x − y ∈ Z. On
note R/Z l’espace quotient, et q : R → R/Z la projection.
2) Rappeler la définition de la topologie quotient.
3) Considérons l’application f : R → S1 définie par f (t) = e2iπt . Démontrer
qu’il existe une unique application f˜ : R/Z → S1 telle que f˜ ◦ q = f .
4) Démontrer que f˜ est bijective et continue.
5) Démontrer que R/Z est compact, et en déduire que f˜ est un homéomorphisme.
III (sur 6 points)
1) Donner la définition d’un espace topologique connexe, puis d’une
composante connexe d’un espace topologique.
2) Les deux lettres X et Y, vus comme des sous-espaces (dessins) dans R2 ,
sont-elles homéomorphes ? Justifier soigneusement.
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