PROBA FINI

1
Probabilité sur W fini
I ) Vocabulaire :
On veut attribuer une probabilité sur une expérience aléatoire.
On appelle univers ( en général noté W ) l'ensemble de tous les résultats d'expérience possibles. Ou du moins un
ensemble qui symbolise ces résultats.
Exemple 1 : On jette un dé à six faces. W = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } .
Exemple 2 :
On tire 2 boules successivement et sans remise dans une urne contenant 3 boules blanches et 5 noires .
W = { (1,1) ; (1,2) ;(1,3);…….;(8,8)} chaque couple représente les deux numéros des boules sorties
ou W = { (b,b) ; (b,n) ;(n,b);(n,n)}
______________________________________
Un événement est un sous-ensemble de W , ( ou peut être traduit comme tel .
Exemple 1 : L'événement :" le numéro tiré est pair " = { 2 , 4 , 6 } . L'événement :" le numéro tiré est le 6 " = { 6 }
Exemple 2 : L'événement :" les deux boules tirées sont blanches " = { (1,1) ; (1,2) ;(1,3);…….;(3,3)} = ’1,3÷²
on suppose que les boules blanches portent des numéro de 1 à 3
ou ={(b, b)}
______________________________________
L'événement certain est : W , L'événement impossible est : ∅ .
L' événement A et B est A ∩ B .
L' événement A ou B est A ∪ B .
L' événement non A est
A
.
A et B sont incompatible signifie A ∩ B = ∅ .
A implique B signifie A ⊂ B .
(A
i
)
i∈I
est un système complet d'événements ( SCE ) signifie (A
i
)
i∈I
est une partition de W.
______________________________________
ATTENTION : la première difficulté en proba est de définir clairement l'univers ( ce n'est pas toujours possible )
______________________________________
II ) Probabilité sur ( W , P (W) ) :
Définition 1 : Soit ( W , P (W) ) un espace probabilisable .
On appelle probabilité sur ( W , P (W) ) toute application P : P (W) → lR
+
.
vérifiant a ) P ( W ) = 1
b ) ∀ (A
1
, A
2
) ∈ P ²(W) , A
1
∩ A
2
=  ⇒ P( A
1
∪ A
2
) = P( A
1
) + P( A
2
)
______________________________________
Définition 2 : Tout univers W ,muni d'une probabilité P est appelé espace probabilisé ,
notée ( W , P (W) , P ) .
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2
Exemple 1 : Soit W ∫ ∅ , a ∈ W P :
∈
∉
→
→Ω
+
Aasi1
Aasi0
A
lR)(P P est une probabilité .
_____________________________________
Démonstration : à faire
_____________________________________
Exemple 2 : Soit W ∫ ∅ , P :
)(Card )A(Card
A
lR)(
Ω
→
→Ω
+
P
P est une probabilité , appelée probabilité uniforme .
Cette probabilité doit être utilisé ( et utilisé uniquement ) dans le cas d'équiprobabilité de tous les résultats
d'expérience
_____________________________________
Démonstration : à faire
_____________________________________
Propriétés : P
1
: ∀ (A ,B )∈ P ²(W) A ⊂ B ⇒ P (A ) ≤ P( B )
P
2
: ∀ A ∈ P (W) 0 ≤ P(A) ≤ 1
P
3
: ∀ A ∈ P (W) P(
A
) = 1 – P (A)
P
4
: P( ∅ ) = 0
P
5
: ∀ (A ,B )∈ P ²(W) P ( A ∪ B ) = P (A ) + P( B ) – P( A ∩ B )
_____________________________________
Démonstration : P
1
: P ( B ) = P( A ) + P( B\A) ≥ P(A)
P
2
: P ( A ) ≥ 0 par définition et P ( A ) ≤ P ( W ) = 1
P
3
: P ( A ) + P(
A
) = P ( W ) = 1
P
4
: P( ∅ ) = 1 - P ( W ) P
5
: à faire
_____________________________________
Corollaire1 : Soit ( W , P (W) , P ) un espace probabilisé , (A
1
,A
2
,A
3
) une famille quelconque de d'événements .
)AAA(P))AA(P)AA(P)AA(P()A(PAP
321323121
3
1i i
3
1i i
∩∩+∩+∩+∩−=
∑
=
=
U
_____________________________________
Corollaire3 : Soit (A
i
)
i∈
’
1,n
÷
une famille d'événements deux à deux disjoints ( cad i ∫ j ⇒ A
i
∩ A
j
= ∅ )
alors
∑
=
=
=
n
1i
i
n
1i
i
)A(PAP
U
________________________________
Corollaire4 : Soit A = { ω
1
, ω
2
, …..ω
p
} un événement ( A ⊂ W )
alors
( ) { }
∑
=
ω=
p
1
i
i
)(PAP
________________________________

3
Remarque : Donc la probabilité d'un ensemble est la somme des probabilités des singletons de cet ensemble .
Pour connaître une fonction probabilité , il suffit de connaître la probabilité des singletons .
______________________________________
III ) Etude des Urnes :
Méthode : On fait un tirage 8 boules dans une urne contenant n
1
boules blanches , n
2
boules noires , n = n
1
+ n
2
.
On cherche la probabilité d'obtenir 3 blanches et 5 noires .
1er cas : Tirage une à une avec remise :
On choisit W = { ( x
1
, x
2
, …, x
8
) x
i
∈’1,n÷ } c'est a dire que l'on considérera que les boules sont
numérotées ( fictif ), chaque expérience est représentée par le 8-uplets des numéros sortis dans l'ordre .
Le fait d'avoir représentée les boules sorties et non pas uniquement leur couleur permet d'avoir un
univers équiprobable , la probabilité est donc uniforme.
A = " obtenir 3 blanches et 5 noires "
= { ( x
1
, x
2
, …, x
8
) x
i
∈’1,n÷ avec 3 des x
i
portent des n° de blanches , les autres noires}
P(A) =
8
5
2
3
1
3
8
n
nn
)(card )A(card 
=
Ω
_____________________________________
2éme cas : Tirage une à une sans remise :
On choisit W = { ( x
1
, x
2
, …, x
8
) x
i
∈’1,n÷ , x
i
∫ x
j
} = ensemble des 8-uplets sans répetitions , c'est a
dire que l'on considérera que les boules sont numérotées ( fictif ), chaque expérience est représentée par le
8-arrangement des numéros sortis dans l'ordre .
Le fait d'avoir représentée les boules sorties et non pas uniquement leur couleur permet d'avoir un
univers équiprobable , la probabilité est donc uniforme.
A = " obtenir 3 blanches et 5 noires "
= { ( x
1
, x
2
, …, x
8
) x
i
∈’1,n÷ , x
i
∫ x
j
, avec 3 des x
i
portent des n° de blanches , les autres noires}
P(A) =
)!8n( !n
)!5n(
!n
)!3n(
!n
3
8
)(card )A(card
2
2
1
1
−
−−
=
Ω
_____________________________________
3éme cas : Tirage d'une poignée :
On choisit W = P
8
( ’1,n÷ ) c'est a dire que l'on considérera que les boules sont numérotées ( fictif ),
chaque expérience est représentée par le sous-ensemble des numéros sortis .
Le fait d'avoir représentée les boules sorties et non pas uniquement leur couleur permet d'avoir un
univers équiprobable , la probabilité est donc uniforme.
A = " obtenir 3 blanches et 5 noires "
= { { x
1
, x
2
, …, x
8
} x
i
∈’1,n÷ , avec 3 des x
i
portent des n° de blanches , les autres noires}
P(A) = =
Ω8
n
5
2
n
3
1
n
)(card )A(card
_____________________________________
Remarque : Il est donc possible de calculer des probabilités en trouvant un univers équiprobable et en utilisant le
dénombrement .

4
_____________________________________
Exo : On fait un tirage 8 boules , une à une sans remise , dans une urne contenant 10 boules blanches , 15 noires .
Calculez la probabilité d'avoir tiré deux blanches exactement , la dernière étant une blanche .
_____________________________________
IV ) Conditionnement et indépendance :
Définition 1 : Soit ( W , P (W) ,P ) un espace probabilisé. ( A , B ) ∈ P ²(W) ) P( B ) ∫ 0 .
On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B , notée P
B
(A) ou P( A/B) = )B(P )BA(P
∩
_____________________________________
Remarque : a ) Cette définition correspond à la définition intuitive de probabilité sachant que ….. .
b ) Cette définition peut être lu : P( A∩B ) = P (B ) P
B
(A)
_____________________________________
Théorème 1 : L'application P
B
: )A(PA
lR)(
B
→→Ω
+
P est une fonction probabilité .
_____________________________________
Remarque : Il est donc possible d'appliquer toutes les formules des probabilités aux probabilités conditionnées .
Exemple : P
B
( A
1
∪ A
2
) = P
B
( A
1
) + P
B
( A
2
) - P
B
( A
1
∩ A
2
)
_____________________________________
Démonstration : a ) P
B
(W) = )B(P )B(P
)B(P )B(P =
∩
Ω
= 1
b ) A ∩ C = ∅ ⇒
P
B
( A∪ C) = )B(P )BC(P)BA(P
)B(P ))BC()BA((P )B(P )B)CA((P
∪
+
∩
=
∪
∪
∩
=
∩
∪
=P
B
(A) + P
B
(C)
_____________________________________
Définition 1 : Soient ( A , B ) ∈ P ²(W).
A et B sont indépendants ⇔ P( A ∩ B ) = P (A ) P ( B )
_____________________________________
Remarque : Ceci revient a écrire que P
B
( A ) = P (A ) .
_____________________________________
Définition 2 : Soient ( A
1
, A
2
, ... , A
n
) ∈ P
n
(W)
Les A
i
sont deux à deux indépendants ⇔ ∀ i ≠ j P( A
i
∩ A
j
) = P (A
i
) P ( A
j
)
_____________________________________
Remarque: Dans ce cas là A
1
∩ A
2
n'est peut être pas indépendant de A
3
, P( A
1
∩ A
2
∩ A
3
) n'est donc pas
calculable.
_____________________________________

5
Définition 3 : Soient ( A
1
, A
2
, ... , A
n
) ∈ P
n
(W)
Les A
i
sont mutuellement indépendants ⇔ ∀ I ⊂ ’1 , n ÷
∏
∈
∈
=
Ii i
Ii i
)A(PAP
I
_____________________________________
Remarque: Cette définition ,bien que compliqué , correspond à la notion intuitive d'indépendance pour plusieurs
évènements.
IV ) Les Formules :
Théorème 1 : Formule des probabilités composées . ( FPC )
Soient ( A
1
,A
2
,A
3
, …….. ,A
n
) n événements tel que 0AP
1n
1i i
≠
−
=
I
P(A
1
∩ A
2
∩ A
3
∩ …….. ∩ A
n
) = P( A
1
) )A(P.....).........A(P)A(P)A(P
n
A
4AAA3AA2A
1n
1i i
321211
I
−
=
∩∩∩
_____________________________________
Exercice : Dans une urne contenant 7 blanches et 5 noires , on tire 3 boules une à une sans remise .
Probabilité d'obtenir 1 noire puis 1 noire puis 1 blanche .
solution : On appel N
1
l'événement " tirer une noire au 1er tirage " etc …
P(N
1
∩ N
2
∩ B
3
) = P( N
1
) )B(P)N(P
3NN2N
211
∩
=
10
7
.
11
4
.
12
5
_____________________________________
Méthode : ( Fondamentale )
En utilisant la FPC et la formule du crible , il est possible de calculez des probabilités .
Pour cela : tout événement doit être décomposer en une union d'intersections( disjointe ) d'événements
simple .la probabilité de l'union devient donc une somme de probabilité ,
puis les probabilités d'intersections sont traitées avec la FPC .
_____________________________________
Exercice : On dispose de deux urnes : U
1
contenant 3 blanches 5 noires ,U
2
contenant 7 blanches 3 noires .
On tire une boule dans U
1
que l'on place dans U
2
, puis on tire une boule dans U
2
.
On cherche la probabilité que cette boule soit blanche .(événement noté A )
A = ( B
1
∩ B
2
) ∪ ( N
1
∩ B
2
)
donc P(A) = P( B
1
∩ B
2
) + P( N
1
∩ B
2
) = P( B
1
) )B(P
2B
1
+ P( N
1
) )B(P
2N
1
=
88
49
11
7
8
5
11
8
8
3=+
_____________________________________
Théorème 2 : Formule des probabilités totales. ( FPT )
Soit (A
i
)
i ∈
’
1,n
÷
un système complet d'évènements . tels que ∀i ∈ ’ 1,n ÷ P(A
i
) ≠ 0
Alors ∀ B ∈ P ( W ) , P( B ) = ( )
∑
=
n
0i Ai
BP)A(P
i
_____________________________________
Démonstration: ( )
∑
=
n
0i Ai
BP)A(P
i
=
∑
=
∩
n
0i i
)BA(P =
( )
∩
=
U
n
0i i
BAP = ∩
=
U
n
0i i
ABP =P( B )
_____________________________________