Circuits Linéaires en régime sinusoïdal I. Les expressions instantanées Une grandeur électrique, fonction sinusoïdale du temps, a pour équation : y(t) = Y√2.cos(ωt - ϕ) • Y est la valeur efficace • Y√2 = YM est l’amplitude • ω est la pulsation : ω = 2πf unité : rad.s-1 ω = 2π/T • ϕ est la phase à l’origine Impédance d’un dipôle Une impédance est caractérisée par deux grandeurs : • son module : Z = V / I • son argument : c’est le déphasage du courant sur la tension Rappel : - Résistance : - Bobine : - Condensateur : Z=R Z = Lω Z = 1 / Cω II. La méthode de Fresnel 1. Le vecteur de Fresnel Le tracé correct d’un diagramme de Fresnel comporte : • Une direction de référence Ox • Une échelle pour les vecteurs de tension • Une échelle pour les vecteurs courant Il ne peut contenir que des vecteurs caractérisant des grandeurs électriques de même fréquence. Correspondance expression instantanée ↔ vecteur • Le module du vecteur est égal à la valeur efficace, en observant l’échelle adoptée. • Le retard sur la direction de référence est égal à la phase à l’origine. V ϕ O x 2. Application à un circuit série i vR vL v ² ⇔ v = vR + vL V = VR + VL La grandeur commune est i, c’est donc la référence du diagramme de Fresnel. V VR = R.I VL = Lω.I VL V = Z.IZ = √ R2 + (Lω)2 3. Application à un circuit parallèle i VR iR I iC I v ⇔ i = iR + iC IC I = IR + IC IR La grandeur commune est v, c’est donc la référence du diagramme de Fresnel. IR = V/R IC = CωV 4. Détermination d’une puissance électrique La puissance active est donnée par : P = V . I = V.I.cosϕ La puissance apparente : S = V.I. La puissance réactive s’obtient par : ou encore : Q = √ S2 - P 2 Q = V.I.sinϕ III. La notation complexe 1. Rappels mathématiques Im z b z = ρ θ = ( ρ ; θ ) M(z) ρ z = a + jb θ Re z a z = ρ = √ a2 + b2 et tan θ = b/a. V 2. Associations d’impédances En série : Z = Z1 + Z2 + ... + ZN En parallèle : Y = Y1 + Y2 + ... + YN 3. Impédances complexes des dipôles élémentaires Résistance : ZR = R u = R.i ϕ=0 U = R.I Bobine : ZL = jLω ϕ=π/2 u = L.di/dt U = jLω.I Condensateur : ZC = 1 / jCω ϕ = - π / 2 i = C.du/dt I = jCω.U 4. Produit et quotient de deux complexes produit : U = Z.I⇒ U = Z.I Arg U = Arg Z + Arg I quotient : Z=U/I ⇒ Z =U / I Arg Z = Arg U - Arg I IV. Les dipôles actifs linéaires 1. Modèle de Thévenin A U0 = tension à vide du dipôle AB. Z Z0 = impédance équivalente vue des bornes du dipôle lorsque les sources sont éteintes. 0 U 0 B 2. Modèle de Norton A I0 = courant de court-circuit du dipôle AB I0 Z Z0 = impédance équivalente vue des bornes du dipôle lorsque les sources sont éteintes. 0 B On a la relation : U0 = Z0 . I0 3. Théorème de superposition Il s’applique comme en continu en utilisant les nombres complexes associés aux grandeurs électriques. V. Fonction de transfert d’un quadripôle 1. Définitions • Un quadripôle est un dispositif présentant deux bornes d’entrée et deux bornes de sortie. Q e(t ) • s(t ) Lorsqu’un quadripôle ne comporte que des éléments linéaires et fonctionne avec des signaux sinusoïdaux, on représente les grandeurs d’entrée et de sortie par leurs nombres complexes associés : à e(t) correspond E à s(t) correspond S • On appelle alors fonction de transfert dynamique, ou transmittance, le rapport des nombres complexes associés aux grandeurs de sortie et d’entrée : T=S/E 2. Exemples R Pour le montage suivant : v E On trouve : T = VS / VE = 1 / (1+jRCω) C vS Pour le montage suivant : C v E On trouve : T = VS / VE = 1 / (1+1/jRCω) R vS