Circuits Linéaires

I. Les expressions instantanées
Une grandeur électrique, fonction sinusoïdale du temps, a pour équation :
y(t) = Y√2.cos(ωt - ϕ)
•Y est la valeur efficace
•Y√2 = YM est l’amplitude
•ω est la pulsation : ω = 2πf unité : rad.s-1
ω = 2π/T
•ϕ est la phase à l’origine
Impédance d’un dipôle
Une impédance est caractérisée par deux grandeurs :
•son module : Z = V / I
•son argument : c’est le déphasage du courant sur la tension
Rappel : - Résistance : Z = R
- Bobine : Z = Lω
- Condensateur : Z = 1 / Cω
II. La méthode de Fresnel
1. Le vecteur de Fresnel
Le tracé correct d’un diagramme de Fresnel comporte :
•Une direction de référence Ox
•Une échelle pour les vecteurs de tension
•Une échelle pour les vecteurs courant
Il ne peut contenir que des vecteurs caractérisant des grandeurs électriques de même
fréquence.
Correspondance expression instantanée ↔ vecteur
•Le module du vecteur est égal à la valeur efficace, en observant l’échelle adoptée.
•Le retard sur la direction de référence est égal à la phase à l’origine.
O x
Circuits Linéaires
en régime sinusoïdal
ϕ
V

2. Application à un circuit série
² v = vR + vL ⇔V = VR + VL
La grandeur commune est i, c’est donc la référence du diagramme de Fresnel.
VR = R.I VL = Lω.I V = Z.IZ = √ R2 + (Lω)2
3. Application à un circuit parallèle
i = iR + iC⇔I = IR + IC
La grandeur commune est v, c’est donc la référence du diagramme de Fresnel.
IR = V/R IC = CωV
4. Détermination d’une puissance électrique
La puissance active est donnée par : P = V . I = V.I.cosϕ
La puissance apparente : S = V.I.
La puissance réactive s’obtient par : Q = √ S2 - P2
ou encore : Q = V.I.sinϕ
III. La notation complexe
1. Rappels mathématiques
z = ρ θ = ( ρ ; θ )
z = a + jb
z = ρ = √ a2 + b2et tan θ = b/a.
i
v
vL vR
v
iC
iR i
VL
VR
V
I
IC
IR
I
V
M(z)
Re z
Im z
a
b
θ
ρ

2. Associations d’impédances
En série : Z = Z1 + Z2 + ... + ZN
En parallèle : Y = Y1 + Y2 + ... + YN
3. Impédances complexes des dipôles élémentaires
Résistance : ZR = R ϕ = 0
u = R.i U = R.I
Bobine : ZL = jLω ϕ = π / 2
u = L.di/dt U = jLω.I
Condensateur : ZC = 1 / jCω ϕ = - π / 2
i = C.du/dt I = jCω.U
4. Produit et quotient de deux complexes
produit : U = Z.I⇒U = Z.I
Arg U = Arg Z + Arg I
quotient : Z = U / I ⇒Z =U / I
Arg Z = Arg U - Arg I
IV. Les dipôles actifs linéaires
1. Modèle de Thévenin
U0 = tension à vide du dipôle AB.
Z0 = impédance équivalente vue des bornes du
dipôle lorsque les sources sont éteintes.
B
A
U
0
Z
0

2. Modèle de Norton
I0 = courant de court-circuit du dipôle AB
Z0 = impédance équivalente vue des
bornes du
dipôle lorsque les sources sont éteintes.
On a la relation : U0 = Z0 . I0
3. Théorème de superposition
Il s’applique comme en continu en utilisant les nombres complexes associés aux
grandeurs électriques.
V. Fonction de transfert d’un quadripôle
1. Définitions
•Un quadripôle est un dispositif présentant deux bornes d’entrée et deux bornes de
sortie.
•Lorsqu’un quadripôle ne comporte que des éléments linéaires et fonctionne avec
des signaux sinusoïdaux, on représente les grandeurs d’entrée et de sortie par leurs
nombres complexes associés : à e(t) correspond E
à s(t) correspond S
•On appelle alors fonction de transfert dynamique, ou transmittance, le rapport des
nombres complexes associés aux grandeurs de sortie et d’entrée :
T = S / E
2. Exemples
Pour le montage suivant :
On trouve : T = VS / VE = 1 / (1+jRCω)
s(t
)
e(t
)
Q
C
R
vS v
E
B
A
Z
0
I0

Pour le montage suivant :
On trouve : T = VS / VE = 1 / (1+1/jRCω)
C
RvS
v
E