Circuits Linéaires

Circuits Linéaires
en régime sinusoïdal
I. Les expressions instantanées
Une grandeur électrique, fonction sinusoïdale du temps, a pour équation :
y(t) = Y√2.cos(ωt - ϕ)
• Y est la valeur efficace
• Y√2 = YM est l’amplitude
• ω est la pulsation : ω = 2πf unité : rad.s-1
ω = 2π/T
• ϕ est la phase à l’origine
Impédance d’un dipôle
Une impédance est caractérisée par deux grandeurs :
• son module : Z = V / I
• son argument : c’est le déphasage du courant sur la tension
Rappel :
- Résistance :
- Bobine :
- Condensateur :
Z=R
Z = Lω
Z = 1 / Cω
II. La méthode de Fresnel
1. Le vecteur de Fresnel
Le tracé correct d’un diagramme de Fresnel comporte :
• Une direction de référence Ox
• Une échelle pour les vecteurs de tension
• Une échelle pour les vecteurs courant
Il ne peut contenir que des vecteurs caractérisant des grandeurs électriques de même
fréquence.
Correspondance expression instantanée ↔ vecteur
• Le module du vecteur est égal à la valeur efficace, en observant l’échelle adoptée.
• Le retard sur la direction de référence est égal à la phase à l’origine.
V
ϕ
O
x
2. Application à un circuit série
i
vR
vL
v
²
⇔
v = vR + vL
V = VR + VL
La grandeur commune est i, c’est donc la référence du diagramme de Fresnel.
V
VR = R.I
VL = Lω.I
VL
V = Z.IZ = √ R2 + (Lω)2
3. Application à un circuit parallèle
i
VR
iR
I
iC
I
v
⇔
i = iR + iC
IC
I = IR + IC
IR
La grandeur commune est v, c’est donc la référence du diagramme de Fresnel.
IR = V/R
IC = CωV
4. Détermination d’une puissance électrique
La puissance active est donnée par :
P = V . I = V.I.cosϕ
La puissance apparente :
S = V.I.
La puissance réactive s’obtient par :
ou encore :
Q = √ S2 - P 2
Q = V.I.sinϕ
III. La notation complexe
1. Rappels mathématiques
Im z
b
z = ρ θ = ( ρ ; θ )
M(z)
ρ
z = a + jb
θ
Re z
a
z = ρ = √ a2 + b2
et tan θ = b/a.
V
2. Associations d’impédances
En série :
Z = Z1 + Z2 + ... + ZN
En parallèle :
Y = Y1 + Y2 + ... + YN
3. Impédances complexes des dipôles élémentaires
Résistance :
ZR = R
u = R.i
ϕ=0
U = R.I
Bobine :
ZL = jLω
ϕ=π/2
u = L.di/dt
U = jLω.I
Condensateur :
ZC = 1 / jCω ϕ = - π / 2
i = C.du/dt
I = jCω.U
4. Produit et quotient de deux complexes
produit :
U = Z.I⇒
U = Z.I
Arg U = Arg Z + Arg I
quotient :
Z=U/I
⇒
Z =U / I
Arg Z = Arg U - Arg I
IV. Les dipôles actifs linéaires
1. Modèle de Thévenin
A
U0 = tension à vide du dipôle AB.
Z
Z0 = impédance équivalente vue des bornes du
dipôle lorsque les sources sont éteintes.
0
U
0
B
2. Modèle de Norton
A
I0 = courant de court-circuit du dipôle AB
I0
Z
Z0 = impédance équivalente vue des
bornes du
dipôle lorsque les sources sont éteintes.
0
B
On a la relation :
U0 = Z0 . I0
3. Théorème de superposition
Il s’applique comme en continu en utilisant les nombres complexes associés aux
grandeurs électriques.
V. Fonction de transfert d’un quadripôle
1. Définitions
• Un quadripôle est un dispositif présentant deux bornes d’entrée et deux bornes de
sortie.
Q
e(t
)
•
s(t
)
Lorsqu’un quadripôle ne comporte que des éléments linéaires et fonctionne avec
des signaux sinusoïdaux, on représente les grandeurs d’entrée et de sortie par leurs
nombres complexes associés : à e(t) correspond E
à s(t) correspond S
• On appelle alors fonction de transfert dynamique, ou transmittance, le rapport des
nombres complexes associés aux grandeurs de sortie et d’entrée :
T=S/E
2. Exemples
R
Pour le montage suivant :
v
E
On trouve :
T = VS / VE = 1 / (1+jRCω)
C
vS
Pour le montage suivant :
C
v
E
On trouve :
T = VS / VE = 1 / (1+1/jRCω)
R
vS