Chapitre 2: VARIABLE ALÉATOIRE ET DISTRIBUTION DE PROBABILITÉ I- Variable (expérience) aléatoire : • Sur un espace probabiliste, on peut affecter une valeur à chaque élément de cet espace probabiliste. On définit alors une fonction sur cet espace, et cette fonction s’appelle variable (ou expérience) aléatoire. Exemple : • Soit X une variable exprimant le nombre de pile lors d’un jet d’une pièce de monnaie deux fois successives. espace PP PF FP FF X 2 1 1 0 • Cette fonction X est alors appelée variable aléatoire ou fonction aléatoire. I-1- Variable aléatoire discrète : • Une variable est dite aléatoire discrète si elle ne peut prendre qu’une valeur finie de l’espace probabiliste. Exemple : le nombre de PME par Wilaya. A- La fonction de distribution : Soit X une variable aléatoire ; et x1,x2, .. , xn ses valeurs possibles constituant l’espace probabilistes (d’échantillonnage). On appelle fonction de distribution des probabilités et l’on note f(xk) : • f(xk)= P(X= xk). k=1,2,..n • La valeur f(xk) représentant la probabilité pour que X prenne la valeur xk. • f(xk) s’appelle aussi loi de probabilité. X x1 X2 …….. Xn P(X=xk) f(x1) f(x2) ……… f(xn) • D’une manière générale : f(xk) est une fonction de distribution (ou loi de probabilité) si : • f(x) ≥ 0 • ∑f(xk)= 1. • La fonction de répartition : On définit sur une variable aléatoire une fonction de répartition notée : F(x)= p(X ≤ xk) ; • X étant un nombre réel quelconque compris entre • 0 pour • F(X)= f(x1) x1≤ X ≤ x2 • f(x1)+ f(x2) x1≤ X ≤ x3 • …. ……. • f(x1)+….+ f(xn)=1 x1≤ X ≤ + • Exemple : Soit la variable aléatoire X définie par le nombre d’employés dans une PME de trois employés, les résultats d’une enquête sont résumés dans le tableau suivant : X Ni f(X) F(X) 0 5 0,16666667 0,16666667 1 15 0,5 0,66666667 2 9 0,3 0,96666667 3 1 0,03333333 1 • Représentation graphique des deux fonctions de distribution et de répartition : C- Espérance mathématique :Soit une variable aléatoire X dont les valeurs possibles (ou espace probabiliste) sont x1, x2,…..xn et f(xk) une fonction de répartition (ou loi de probabilité) telle que : f(xk) = P(X=xk). • On appelle espérance mathématique ou valeur espérée de la variable aléatoire X la quantité : E (X) = ∑xkf(xk). • Ou encore si on pose f(xk)= Pk : E(X)= ∑xkPk. • On reprend l’exemple précédent, on trouve : • E(X)= 0*(0,16)+1*(0,5)+2*(0,3)+3*0,03= 1,2 • Variance et Ecart type : On appelle variance d’une variable aléatoire discrète, la grandeur : VAR (X)= E [X- E(X)]2=E [X2]- [E(X)]2. • Et l’Ecart-type :σx= [ ]1/2. • On reprend l’exemple précédent, pour calculer la variance on peut utiliser l’une des formules citées ci-dessus. • VAR (X)= E [X- E(X)]2 =E [X2]- [E(X)]2 • VAR (X)= E [X- E(X)]2 = ∑[X- E(X)]2 f(xk). Exercice • Considérons l’expérience aléatoire qui consiste à lancer deux fois un dé bien équilibré. On s’intéresse au nombre de points apparaissant sur la face supérieure du dé lors de chacun des 2 lancers. • a) Identifier la distribution de la variable aléatoire discrète X définie comme le nombre total de points obtenus lors des 2 lancers • b) Que valent : E(X), E(X2), Var(X) et σx. I-2- variable aléatoire continue : • Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre un nombre infini de valeurs dans un intervalle. • Exemple : Le nombre d’employés dont le salaire entre 20 000 et 35 000 DA. A- La fonction de densité :dans le cas d’une variable aléatoire continue, la distribution continue exprime la probabilité pour que X ne soit pas égale à une valeur particulière, mais comprise dans un intervalle de valeur. • La distribution d'une variable aléatoire continue X est entièrement déterminée par sa fonction de densité f(x). Cette fonction de densité est une fonction réelle positive qui est telle que l'aire totale sous celle-ci est égale à 1. • Ces 2 propriétés s'écrivent : f(x)≥ 0, pour tout X € Ɍ et : • Calcul de probabilité : • • Aire en vert = P(X < a) = P(X < a): • Aire en jaune= P(a < X < b) • Aire en rouge =P(X > b) • Comme l'illustre le graphique ci-dessus, le calcul de la probabilité pour que X prenne sa valeur dans un intervalle donné correspond au calcul de l'aire sous f(x) pour l'intervalle en question. Si l'intervalle se réduit à un seul point x, l'aire est nulle. D'où P(X=x) = 0, pour tout x € R. B- Fonction de répartition • La fonction de répartition F(x) d'une variable aléatoire continue X, de fonction de densité f(x) se définit par : • F(x) est une fonction continue et croissante qui est définie pour tout x €Ɍ. Ses valeurs vont de 0 à 1. On a toujours : • F(x) et f(x) sont liées par la relation suivante : • La fonction de répartition d’une variable aléatoire continue X permet le calcul de toute probabilité sur X. Ainsi, pour a < b : • P(X ≤ a) = P(X < a) = F(a) , • P(X > b) = P(X ≥ b) = 1 - F(b) et • P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = F(b) - F(a). • Calcul de l’espérance et de l’écart-type • Dans le modèle continu on utilise l'intégration pour effectuer les calculs qui s'obtiennent par des sommations dans le modèle discret. C'est ainsi qu'on doit presque toujours recourir au calcul intégral pour déterminer l'espérance et la variance d'une variable aléatoire continue. • Esperance de X • Variance et écart-type • EXEMPLE Soit f(x) la fonction réelle définie par : Propriétés de f(x) : • Comme l'illustre le graphique ci-dessous, f(x) est bien la fonction de densité d'une variable aléatoire continue X :f(x) est toujours supérieur ou égale à 0 et : • Puisque l'aire sous f(x) = 1. • Représentation graphique de f(x) et calcul des aires : • Fonction de répartition : • Dans cet exemple, il est possible de déterminer l'équation de F(x) sans recourir au calcul intégral. Nous distinguons 5 cas (on utilisera la notion de surface): • si x < 0, alors F(x) = 0; • si 0 ≤ x < 4, alors F(x) = 0,025x (x/2) = 0,0125x2 (voir figure A); • si 4 ≤ x < 11, alors F(x) = 0,2 + 0,1(x-4) = 0,1x - 0,2 (voir figure B); • si 11 ≤ x< 13, alors F(x) = 1 - (0,65 - 0,05x) [(13 x)/2] = -0,025x2 + 0,65x - 3,225 (voir figure C); • si x ≥ 13, alors F(x) = 1. Questions : 1- Calculs de trois probabilités : P(X ≤ 3); P(X > 10) ; P (3 ≤ X ≤ 10). • • • • • Réponse: Pour calculer les probabilités qui précèdent, on peut calculer les aires correspondantes dans la représentation graphique de f(x). Comme nous avons déjà calculé F(x), il est plus rapide de procéder comme suit. P(X ≤ 3) = F (3) = 0,0125 x 32 = 0,1125. P(X > 10) = 1 - F(10) = 1 - [(0,1 x 10) - 0,2] = 1 - 0,8 = 0,2. P (3 ≤ X ≤ 10) = F(10) - F(3) = 0,8 - 0,1125= 0,6875. 2- Calculer : E(X), Var(X) et σ(X) ? Pour obtenir les valeurs de l'espérance et de la variance il faut recourir au calcul des intégrales. • E(X) = 0,5333 + 5,25 +1,1667 = 6,95 • E(X2) = 1,6 + 42,2333 +13,6333 = 57,4667. Var(X) = E(X2) - [E(X)]2 = 57,4667 - (6,95)2 = 9,1642 .