Analyse (Optimisation). TD1: Notions topologiques.

Analyse (Optimisation).
TD1: Notions topologiques.
Exercice 1
Soit E et F deux ensembles, et f : E → F une application de
E dans F . On rappelle que pour tout Y ⊂ F , f −1 (Y ) = {x ∈
E, f (x) ∈ Y }.
a) Soient (Ai )i∈I une famille de parties de F . Montrer que
−1
f (∩i∈I Ai ) = ∩i∈I f −1 (Ai ) est toujours vraie.
b) Montrez une propriété similaire pour les unions au lieu des
intersections.
Exercise 2
On dit qu’un ensemble E est dénombrable si E est infini et s’il
existe une application injective f : E → N.
1) Prouver que N × N est dénombrable. On pourra utiliser
l’unicité de la décomposition d’un nombre premier.
2) Soient A1 , ...,An , ... une suite infinie d’ensembles dénombrables.
Prouver que l’ensemble S = ∪∞
i=1 Ai est dénombrable.
3) Prouver que ZZ est dénombrable.
4) Prouver que Q
l est dénombrable.
Exercise 3
Soit X un ensemble. Une famille O de sous-ensembles de X est
appelée topologie si on a les propriétés a), b) et c) suivantes:
a) ∅ et X sont des éléments de O.
b) Pour tout famille (Oi )i∈I de O, ∪i∈I Oi ∈ O (ici, I peut-être infini).
c) Pour tout entier n et toute famille finie (Oi )ni=1 de O, ∩ni=1 Oi ∈ O.
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L’espace (X, O) est appelé espace topologique. Tout élément de
O est alors appelé un ouvert, et tout complémentaire d’un ouvert
est appelé un fermé. Ainsi, définir une topologie, c’est se donner
une liste d’ouverts, vérifiant les propriétés a), b) et c).
1)
a) Prouver que sur X = R on définit une topologie (dite topologie usuelle) en disant qu’un sous-ensemble O ⊂ R est ouvert si et
seulement si
∀x ∈ O, ∃(x) > 0, ]x − (x), x + [⊂ O.
b) Montrer que sur tout ensemble X on peut définir une topologie Ocof inie , dite topologie cofinie, en disant qu’un sous-ensemble
O ⊂ R est ouvert si et seulement si c O est finie, ou alors que O = ∅.
c) Montrer que sur tout ensemble X on peut définir une topologie Odiscrete , dite topologie discrète, en disant que tout sous-ensemble
O ⊂ R est ouvert.
d) Montrer que sur tout ensemble X, Ogrossiere = {∅, X}, dite
topologie grossière, est une topologie.
2) On appelle voisinage V de x ∈ X tout sous-ensemble V de
X tel qu’il existe O ∈ O satisfaisant x ∈ O ⊂ V . On dit alors que
V est voisinage de x.
Prouver qu’un sous-ensemble U de X appartient à O si et seulement si il est voisinage de chacun de ses points.
3) On dit qu’un espace topologique (X, O) est séparé si pour
tout x, y ∈ X distincts, il existe Ox ouvert contenant x et Oy , ouvert contenant y, tels que Ox et Oy sont disjoints.
Par ailleurs si (un ) est une suite de X, on dit que (un ) converge
vers x ∈ X si pour tout voisinage Vx de x, il existe N ∈ N tel que
pour tout n ≥ N , on a un ∈ Vx .
a) Prouver que si (un ) converge vers x ∈ X et vers y ∈ X et
que (X, O) est séparé, alors x = y.
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b) Donner un exemple de topologie pour laquelle une suite peutavoir deux limites différentes.
c) Que signifie que (un ) est une suite convergente de X, quand
X est muni de la topologie discrète ?
d) On muni R de la topologie Ocof inie . Est-ce que cette topologie est séparée ? Que dire des limites possibles de la suite un = n
pour cette topologie ?
5) Soient X et Y deux ensemble, et f : X → Y une application.
Soient O topologie sur X, et O0 topologie sur Y . On dit que f est
continue si et seulement si pour tout ouvert O0 de O0 , f −1 (O0 ) est
un ouvert de O.
a) Montrez que si on se donne f : X → Y , on peut toujours
munir X d’une topologie qui rende f continue, quel que soit la
topologie sur Y .
b) Que signifie que f : X → Y est continue, si X est muni de
la topologie grossière ?
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