Analyse (Optimisation). TD1: Notions topologiques.

Analyse (Optimisation).
TD1: Notions topologiques.
Exercice 1
Soit Eet Fdeux ensembles, et f:E→Fune application de
Edans F. On rappelle que pour tout Y⊂F,f−1(Y) = {x∈
E, f(x)∈Y}.
a) Soient (Ai)i∈Iune famille de parties de F. Montrer que
f−1(∩i∈IAi) = ∩i∈If−1(Ai) est toujours vraie.
b) Montrez une propri´et´e similaire pour les unions au lieu des
intersections.
Exercise 2
On dit qu’un ensemble Eest d´enombrable si Eest infini et s’il
existe une application injective f:E→N.
1) Prouver que N×Nest d´enombrable. On pourra utiliser
l’unicit´e de la d´ecomposition d’un nombre premier.
2) Soient A1, ...,An, ... une suite infinie d’ensembles d´enombrables.
Prouver que l’ensemble S=∪∞
i=1Aiest d´enombrable.
3) Prouver que ZZ est d´enombrable.
4) Prouver que lQ est d´enombrable.
Exercise 3
Soit Xun ensemble. Une famille Ode sous-ensembles de Xest
appel´ee topologie si on a les propri´et´es a), b) et c) suivantes:
a) ∅et Xsont des ´el´ements de O.
b) Pour tout famille (Oi)i∈Ide O,∪i∈IOi∈ O (ici, Ipeut-ˆetre in-
fini).
c) Pour tout entier net toute famille finie (Oi)n
i=1 de O,∩n i=1Oi∈ O.
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L’espace (X, O) est appel´e espace topologique. Tout ´el´ement de
Oest alors appel´e un ouvert, et tout compl´ementaire d’un ouvert
est appel´e un ferm´e. Ainsi, d´efinir une topologie, c’est se donner
une liste d’ouverts, v´erifiant les propri´et´es a), b) et c).
1)
a) Prouver que sur X=Ron d´efinit une topologie (dite topolo-
gie usuelle) en disant qu’un sous-ensemble O⊂Rest ouvert si et
seulement si
∀x∈O, ∃(x)>0,]x−(x), x +[⊂O.
b) Montrer que sur tout ensemble Xon peut d´efinir une topolo-
gie Ocofinie, dite topologie cofinie, en disant qu’un sous-ensemble
O⊂Rest ouvert si et seulement si cOest finie, ou alors que O=∅.
c) Montrer que sur tout ensemble Xon peut d´efinir une topolo-
gie Odiscrete, dite topologie discr`ete, en disant que tout sous-ensemble
O⊂Rest ouvert.
d) Montrer que sur tout ensemble X,Ogrossiere ={∅, X}, dite
topologie grossi`ere, est une topologie.
2) On appelle voisinage Vde x∈Xtout sous-ensemble Vde
Xtel qu’il existe O∈ O satisfaisant x∈O⊂V. On dit alors que
Vest voisinage de x.
Prouver qu’un sous-ensemble Ude Xappartient `a Osi et seule-
ment si il est voisinage de chacun de ses points.
3) On dit qu’un espace topologique (X, O) est s´epar´e si pour
tout x, y ∈Xdistincts, il existe Oxouvert contenant xet Oy, ou-
vert contenant y, tels que Oxet Oysont disjoints.
Par ailleurs si (un) est une suite de X, on dit que (un) converge
vers x∈Xsi pour tout voisinage Vxde x, il existe N∈Ntel que
pour tout n≥N, on a un∈Vx.
a) Prouver que si (un) converge vers x∈Xet vers y∈Xet
que (X, O) est s´epar´e, alors x=y.
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b) Donner un exemple de topologie pour laquelle une suite peut-
avoir deux limites diff´erentes.
c) Que signifie que (un) est une suite convergente de X, quand
Xest muni de la topologie discr`ete ?
d) On muni Rde la topologie Ocofinie. Est-ce que cette topolo-
gie est s´epar´ee ? Que dire des limites possibles de la suite un=n
pour cette topologie ?
5) Soient Xet Ydeux ensemble, et f:X→Yune application.
Soient Otopologie sur X, et O0topologie sur Y. On dit que fest
continue si et seulement si pour tout ouvert O0de O0,f−1(O0) est
un ouvert de O.
a) Montrez que si on se donne f:X→Y, on peut toujours
munir Xd’une topologie qui rende fcontinue, quel que soit la
topologie sur Y.
b) Que signifie que f:X→Yest continue, si Xest muni de
la topologie grossi`ere ?
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