Notes de géométrie algébrique

Felice Ronga
Notes de g´eom´etrie alg´ebrique
Gen`eve, MMVI ap. J.-C.

ii

Table des mati`eres
Table des figures v
I Introduction 1
Le th´eor`eme de B´ezout dans le plan ........................ 1
La concho¨ıde de Nicom`ede .............................. 2
II Vari´et´es affines 5
II.1 Premiers contacts : le th´eor`eme de l’hexagone de Pascal ..................... 5
II.2 La topologie de Zariski ........................................ 8
Id´eaux ......................................... 8
Anneaux noeth´eriens ................................. 8
Anneaux factoriels .................................. 8
Anneau principaux .................................. 8
Ensembles alg´ebriques affines ............................ 9
Topologie de Zariski sur Kn............................. 10
Topologie de Zariski et topologie transcendante .................. 10
Le th´eor`eme des z´eros de Hilbert (Nullstellensatz) ................ 11
II.3 D´ecomposition en composantes irr´eductibles ............................ 12
II.4 Anneaux de fonctions r´eguli`eres et morphismes .......................... 13
Fonctions r´eguli`eres et rationnelles ......................... 13
Morphismes ...................................... 13
Morphismes rationnels ................................ 14
II.5 Anneaux locaux ............................................ 15
II.6 Id´eaux d´efinissant des ensembles finis de points .......................... 16
II.7 Extensions d’anneaux ........................................ 17
II.8 Extensions de corps ......................................... 20
II.8.1 Rappels ............................................ 20
II.8.2 Base de transcendance .................................... 20
II.8.3 Le lemme de normalisation de Noether ........................... 22
II.8.4 Une preuve du Nullstellensatz ................................ 22
II.8.5 D´erivations .......................................... 24
II.9 Propri´et´es de la dimension ...................................... 26
II.10 Exercices ............................................... 26
III Vari´et´es projectives 29
III.1 Premiers contacts ........................................... 29
III.2 Ensembles alg´ebriques projectifs .................................. 31
III.3 Passage de l’affine au projectif ................................... 32
III.4 Dimension des vari´et´es projectives ................................. 32
III.5 Produits d’espaces projectifs et ´elimination ............................ 32
III.6 Le th´eor`eme de B´ezout, premi`ere version et premi`eres applications ............... 32
III.6.1 Le th´eor`eme de B´ezout ................................... 32
III.6.2 D´efinition des points d’inflexion des courbes planes .................... 33
iii

iv TABLE DES MATI ` ERES
III.6.3 Courbes polaires ....................................... 34
III.6.4 Polaire, Hessienne et points d’inflexion ........................... 35
III.7 Le th´eor`eme de B´ezout avec multiplicit´es ............................. 36
A Vari´et´es diff´erentiables 41
I.1 Rappels : Th´eor`eme des fonctions implicites et de l’application inverse ............. 41
I.2 La notion de vari´et´e diff´erentiable .................................. 41
I.2.1 Espace tangent et d´eriv´ees d’applications ......................... 43
I.2.2 Vari´et´es alg´ebriques et vari´et´es C∞............................. 44
I.2.3 Le principe de la conservation du nombre ......................... 45
I.3 Exercices ............................................... 46
Bibliographie 47
Index 48

Table des figures
I.1 La concho¨ıde de Nicom`ede ...................................... 2
I.2 Instrument pour faire la trisection de l’angle ............................ 3
II.1 L’hexagone de Pascal ......................................... 7
II.2 Le th´eor`eme de Pappus ....................................... 27
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