Rochambeau 2015. Enseignement spécifique

Rochambeau 2015. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier naturel n, on définit les points (An ) par leurs coordonnées
(xn , yn ) de la façon suivante :
!
!
x0 = −3
xn+1 = 0, 8xn − 0, 6yn
et pour tout entier naturel n :
y0 = 4
yn+1 = 0, 6xn + 0, 8yn
1) a) Déterminer les coordonnées des points A0 , A1 et A2 .
b) Pour construire les points An ainsi obtenus, on écrit l’algorithme suivant :
Variables :
i, x, y, t : nombres réels
Initialisation :
x prend la valeur −3
y prend la valeur 4
Traitement :
Pour i allant de 0 à 20
Construire le point de coordonnées (x, y)
t prend la valeur x
x prend la valeur . . . .
y prend la valeur . . . .
Fin Pour
Recopier et compléter cet algorithme pour qu’il construise les points A0 à A20 .
c) A l’aide d’un tableur, on a obtenu le nuage de points suivant :
5
4
3
2
1
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
−1
1
2
3
4
5
6
7
−2
−3
−4
−5
−6
Identifier les points A0 , A1 et A2 . On les nommera sur la figure jointe en annexe 2, (à rendre avec la copie).
Quel semble être l’ensemble auquel appartiennent les points An pour tout n entier naturel ?
2) Le but de cette question est de construire géométriquement les points An pour tout n entier naturel.
Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel n, zn = xn + iyn l’affixe du point An .
a) Soit un = |zn |. Montrer que, pour tout entier naturel n, un = 5.
Quelle interprétation géométrique peut-on faire de ce résultat ?
b) On admet qu’il existe un réel θ tel que cos(θ) = 0, 8 et sin(θ) = 0, 6.
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Montrer que, pour tout entier naturel n, eiθ zn = zn+1 .
c) Démontrer que, pour tout entier naturel n, zn = einθ z0 .
π
d) Montrer que θ + est un argument du nombre complexe z0 .
2
e) Pour tout entier naturel n, déterminer, en fonction de n et θ, un argument du nombre complexe zn .
Représenter θ sur la figure jointe en annexe 2, (à rendre avec la copie).
Expliquer, pour tout entier naturel n, comment construire le point An+1 à partir du point An .
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Annexe 2
5
4
3
2
1
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5
6
7
−2
−3
−4
−5
−6
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EXERCICE 2 : corrigé
1) a)
• x0 = −3 et y0 = 4. Donc, A0 (−3; 4).
• x1 = 0, 8x0 − 0, 6y0 = 0, 8(−3)− 0, 6(4) = −4, 8 et y1 = 0, 6x0 + 0, 8y0 = 0, 6(−3)+ 0, 8(4) = 1, 4. Donc A1 (−4, 8; 1, 4).
• x2 = 0, 8x1 − 0, 6y1 = 0, 8(−4, 8) − 0, 6(1, 4) = −4, 68 et y2 = 0, 6x1 + 0, 8y1 = 0, 6(−4, 8) + 0, 8(1, 4) =. Donc
A2 (−4, 68; −1, 76).
b) Algorithme complété.
Variables :
i, x, y, t : nombres réels
Initialisation :
x prend la valeur −3
y prend la valeur 4
Traitement :
Pour i allant de 0 à 20
Construire le point de coordonnées (x, y)
t prend la valeur x
x prend la valeur 0, 8 × t − 0, 6 × y.
y prend la valeur 0, 6 × t + 0, 8 × y.
Fin Pour
Remarque. L’algorithme calcule les coordonnées des points A0 , . . . , A21 .
c) Graphique.
5
A0
4
3
2
A1
1
−7
−6
−5
−4
−3
A2
−2
−1
−1
1
2
3
4
5
6
7
−2
−3
−4
−5
−6
Il semble que tous les points An soient sur le cercle de centre O et de rayon 5.
2) a) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, |zn | = 5.
!
√
√
• z0 = −3 + 4i et donc |z0 | = (−3)2 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5. L’égalité à démontrer est donc vraie quand n = 0.
• Soit n ! 0. Supposons que ∥zn | = 5.
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"
"
2
x2n+1 + yn+1
= (0, 8xn − 0, 6yn )2 + (0, 6xn + 0, 8yn )2
!
= 0, 64x2n − 2 × 0, 8 × 0, 6xn + 0, 36yn2 + 0, 36x2n + 2 × 0, 8 × 0, 6xn + 0, 64yn2
!
= x2n + yn2 = |zn |
= 5 (par hypothèse de récurrence.)
|zn+1 | =
On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, |zn | = 5 et donc que tous les points An soient sur le cercle
de centre O et de rayon 5.
b) Soit n un entier naturel.
eiθ zn = (cos θ + i sin θ) (xn + iyn ) = (0, 8 + 0, 6i) (xn + iyn )
= 0, 8xn + 0, 8iyn + 0, 6ixn − 0, 6yn = (0, 8xn − 0, 6yn ) + i (0, 6xn + 0, 8yn )
= xn+1 + iyn+1 = zn+1 .
c) La suite (zn )n∈N est donc une suite géométrique de raison q = eiθ . On sait que pour tout entier naturel n,
# $n
zn = z0 × q n = z0 eiθ = z0 einθ .
d) Soit α un argument du nombre complexe z0 = −3 + 4i. On a |z0 | = 5 puis
%
&
'
' '
π(
π ((
3 4
+ i sin θ +
.
z0 = 5 − + i = 5(−0, 6 + 0, 8i) = 5 (− sin(θ) + i cos(θ)) = 5 cos θ +
5 5
2
2
π
Ceci montre qu’un argument de z0 est θ + .
2
e) D’après les questions c) et d), pour tout entier naturel n,
zn = z0 einθ = 5ei(θ+ 2 ) einθ = 5ei(nθ+θ+ 2 ) = 5ei((n+1)θ+ 2 ) .
π
Pour tout entier naturel n, un argument de zn est (n + 1)θ + (et le module de zn est 5).
2
5 cos(θ) = 5 × 0, 8 = 4 et 5 sin θ = 5 × 0, 6 = 3. Donc, θ est un argument de 4 + 3i.
π
π
π
5
A0
4
3
2
A1
−7
−6
−5
A2
θ
1
−4
−3
−2
−1
−1
1
2
3
4
5
6
7
−2
−3
−4
−5
−6
Pour tout entier naturel n, An+1 est obtenu en faisant tourner An autour de O d’un angle de mesure θ dans le sens
direct.
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