1-Cours Probabilité 3eme

Séquence :
Les probabilités
I) Vocabulaire
•
Une expérience aléatoire est une expérience renouvelable à l’identique, dont les résultats
possibles sont connus mais dont on ne connait pas le résultat à l’avance.
Exemples : lancé d’un dé, pile ou face, le loto…
•
Les résultats possibles sont aussi appelés les issues.
Exemples : Pour le lancer
er d’un dé, les issues sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 et 6
Pour le lancer d’une pièce, les issues sont
so pile et face.
•
Un événement est constitué par une ou plusieurs issues.
issue
Exemples : Pour le lancer d’un dé, des événements possibles sont « obtenir 6 », « obtenir un
nombre pair »
II) Probabilité
La probabilité d’un événement est un nombre qui estime la « chance » (ou le « risque ») que cet
événement se produise.
Lorsque toutes les issues d’un événement on les mêmes chances de se produire, on parle de
situation d’équiprobabilité.
Propriété : Pour connaître la probabilité d’un événement E, on calcule
P(E) =
Exemple : lancer d’un dé
On lance un dé à six faces et on regarde le nombre obtenu. Soit E l’évènement : « Obtenir un nombre
pair ». Quelle est la probabilité que l’évènement E se réalise ?
Il y a 3 cas favorables : 2 ; 4 et 6 sur les 6 cas possibles.
P(E) =
3
1
=
= 0,5
6
2
Propriété : La probabilité p d’un événement E est comprise entre 0 et 1.
0 ≤ p( E ) ≤ 1
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Définitions :
Un événement est dit impossible s’il ne peut pas se produire. Sa probabilité est égale à 0.
Un événement est dit certain s’il se produit nécessairement. Sa probabilité est égale à 1.
Deux événements sont contraires s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. La somme de
leur probabilité est égale à 1.
Exemple : Pour le lancer d’un dé à six faces :
- « obtenir 8 » est un événement impossible
- « obtenir un nombre inférieur ou égale à 6 » est un événement certain.
- « obtenir un nombre pair » et « obtenir un nombre impair » sont deux événements contraires.
Propriétés :
La probabilité d’un événement certain est égale à 1.
La probabilité d’un événement impossible est égale à 0.
Si A et B sont deux événements contraires, alors on a les trois égalités suivantes :
P(A) + P(B) = 1
P(A) = 1 - P(B)
P(B) = 1 - P(A)
III)
Fréquence et probabilité
Propriété : Si on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de
n’importe quel événement de cette expérience finit par se stabiliser autour d’un nombre qui est la
probabilité de cet événement.
Exemple : lancer d’un dé.
La probabilité d’obtenir chaque face est
≈ 0,166.
Si on lance 6 fois un dé, on n’obtiendra sans doute pas 1 fois chaque face.
Alors que si on lance un très grand nombre de fois (500 fois par exemple), la fréquence de chaque
face sera proche de 0,166.
Remarque : la fréquence est un résultat pratique (il peut varier en fonction de
l’expérience aléatoire) alors que la probabilité est un résultat théorique.
On peut faire une simulation d’une expérience aléatoire à l’aide de logiciels (tableur, algorithme par
exemple).
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IV)
Exemple d’une expérience aléatoire à deux épreuves
1) arbre pondéré
Un arbre pondéré sert à représenter l’expérience aléatoire.
On construit l’arbre des possibles de l’expérience aléatoire suivante :
On lance deux fois de suite une pièce de monnaie.
Soit E l’évènement : « On obtient au moins une fois la face PILE. »
1
2
1
2
1
2
1 1 1
x = (probabilité d’obtenir deux piles)
2 2 4
(P ; F)
1 1 1
x = (probabilité d’obtenir pile puis face)
2 2 4
(F ; P)
1 1 1
x = (probabilité d’obtenir face puis pile)
2 2 4
P
P
1
2
(P ; P)
F
1
2
P
1
2
F
F
(F ; F)
Propriété : Sur un même chemin, on multiplie les probabilités.
P(E) =
1 1 1 3
+ + =
4 4 4 4
3
La probabilité que l’évènement E se réalise est de .
4
Il y a donc trois chances sur quatre d’obtenir au moins une fois PILE lorsqu’on lance deux fois de suite
une pièce de monnaie.
Propriété :
Avec un arbre, la probabilité d’un événement est la somme des probabilités écrites sur les branches
conduisant aux issues qui réalisent l’événement.
De façon générale :
- La probabilité d’une issue est un nombre compris entre 0 et 1.
- La somme des probabilités des issues d’une expérience aléatoire est égale à 1.
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