Sur les algèbres de Banach et les opérateurs p-sommants

Séminaire d’analyse fonctionnelle
École Polytechnique
A. T ONGE
Sur les algèbres de Banach et les opérateurs p-sommants
Séminaire d’analyse fonctionnelle (Polytechnique) (1975-1976), exp. no 13, p. 1-15
<http://www.numdam.org/item?id=SAF_1975-1976____A10_0>
© Séminaire analyse fonctionnelle (dit "Maurey-Schwartz")
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CENTRE DE
MATHÉMA’TIQUES
91120 PALAISL"l1
PLATEAU DE PALAISEAU -
Téitphonr :
9a 1.81.60 -
Poste N°
TéJex ; ECOLEX 09 l’ 9b r
S E M I N A I R E
M A U R E Y - S C H W A R T Z
1 9 7 5 -
1 9 7 6
SUR LES ALGEBRES DE BANACH ET
LES OPERATEURS p-SOMMANTS
par
Exposé
No XIII
A.
TONGE
10 Février
1976
XIII.1
§
LES ENONCES
1.
Le but de cet
portantes d’algèbres
on
Un
exposé
est d’établir
lien entre deux classes im-
un
opérateurs p-sommants.
On conviendra que si R est une algèbre de Banach, alors i~ x, y E R
a
et que l’unité e d’une algèbre unitaire est de norme 1.
homomorphisme d’algèbres de Banach est une application linéaire, multide Banach et les
,
plicative
et continue.
On notera
d’un Banach
P(B ii)
E;
(munie
la boule unité
BE
désignera
de la
probabilités
les algèbres
les
Définissons tout d’abord
faible étoile)
topologie
de Radon
BEE .
sur
de Banach
qui
nous
intéres-
sent.
Soit X
un
fonctions continues
compact (séparé).
espace
sur
à valeurs complexes, muni de la
X
qui suit, on considère C(X)
multiplication ponctuelle.
Dans tout
ce
si
elle est
des
uniforme.
norme
de Banach pour la
l’algèbre de Banach R est une algèbre uniforme
sous-algèbre de C(X), où X est un compact. (On ne suppose
une
unitaire.)
Soit H
un
Hilbert
applications linéaires
habituelle-
des
On dit que
pas que R est
des
algèbre
comme
y
Définition :
C(X) l’espace
On note
algèbre
comme
(complexe).
On
va
considérer L(H)
-l’espace
continues de H dans lui-même muni de la
de Banach.
La
multiplication
la
sera
norme
composition
opérateurs.
Définition :
d’opérateurs
H est
un
Soit R
si
elle est
algèbre
de Banach.
isomorphe à
On dit que R est
sous-algèbre
une
(On
ne
suppose pas que R
résultat
le
plus important
Hilbert.
Le
une
a
une
est dn à
une
fermée de
algèbre
L(H),
où
involution.)
Varopoulos.
Théorème
0 [18] :: Soit R un espace de type X, (dans le sens de [9]) muni
structure d’algèbre de Banach. Alors, R est une algèbre d’opérateurs.
00
d’une
Nous allons trouver
de Banach soit
une
une
condition suffisante pour
algèbre d’opérateurs,
et ceci
permettra
qu’une algèbre
de donner
une
démonstration simple du théorème 0.
Soit y
un
élément du dual R’
de
l’algèbre
de Banach R.
On définit
XIII.2
-
L’application ep
Définition :
existe
est
est linéaire continue de norme e
Soit
algèbre p-sommante
une
constante K>1 telle que pour tout
une
p-sommante et
strictement
Théorème 1
étant la
np
Il
algèbre
2-sommante est
Alors toute
algèbre
(et
uniforme
p-sommante Ji- 1 s
p
donc
algèbre
algèbre d’opérateurs.
une
algèbre
strictement
p-sommante
commutative).
uniforme unitaire est
une
algè-
co.
théorème 2 généralise
la démonstration utilise
théorèmes suivants.
les
Soit
une
R- R’
R est dite
p-sommante) .
norme
s’il
s
est évident que toute
bre strictement
Le
1! p (ep)
Toute
2 ~ 13 ~:
et unitaire est
si
permet d’énoncer
[13] :
l’ application ep :
p
p-sommante
Ceci
Théorème
On dit que R est
un
résultat de Kaijser
(une modification
due
-et d’ailleurs
[8]
à Drury de)
son
idée prin-
cipale.
Etant donné le théorème
Démonstration du théorème 0 :
de
est
type £00
un
plication linéaire
On
en
espace de
D’après
le
une
la preuve
un
espace
type
Z,
espace X Co
algèbre
H est
dans
linéaires continues telles que
un
est 2-sommante.
espace
2-sommante.
ep
un
d’une
y
théorème de Pietsch, R est
C(X),
théorème 0 devient facile.
algèbre de Banach
[10], et d’après [9, p. 289] toute ap-
existe K > 1 telle que pour tout
où C est
du
On sait que le dual
continue d’un
déduit que R est
1,
se
2-sommante s’il
factorise suivant
Hilbert et u,
Ilu B1. Ilvll.
algèbre
une
v~
w
sont des
applications
XIII.3
n’est pas
Il
intérêt de
sans
demander
se
ce
qui
passe s’il
se
-
existe K 1 telle que pour
où H est
Hilbert et u,
un
BBuBB.
que
prise
sur
et
On
Théorème 3
[3] :
factorise suivant le diala borne inférieure étant
ce
type.
on
plus tard
de Banach est
existe K> 1
ait
le
algèbre d’opérateurs
est
une
algèbre
est facile de voir que tout Hilbert H muni
une
hilbertienne.
d’une structure
algèbre d’opérateurs. Explicitement,
y
l’action
définie par
sur
une
représentation.
tiplication (associative !)
que ae2
est évident
cation.
continues telles
de Banach R est dite hilbertienne s’il
q¡ E R’
Toute
se
note
L’algèbre
verra
Il
d’algèbre
on
toute factorisation de
telle que pour tout
Il
applications linéaires
sont des
y est dite hilbertienne si elle
ci-dessus,
donnera
factorise suivant
°
Définition :
de H
v
se
II’
Définition :
gramme
tout y E IR 1 , y
D’autre
bertienne
qui
part,
y
On trouve dans
sur 12
n’est pas
on
n’est pas
ne
une
une
[31 l’exemple
suivant d’une mul-
:
algèbre
connatt pas
un
2-sommante pour cette
seul
exemple d’une algèbre hil-
algèbre d’opérateurs.
théorème 3, il suffit de supposer que l’algèbre
unité approchée (bornée par 1) pour prouver que
Dans le
multipli-
a
une
D’autre
XIII.4
que A 1
il est facile de voir
part,
y
pour la
est
une
algèbre
strictement
1-sommante
ponctuelle [(x.).(y.)
= (x J, y .J ) ]
J
J
multiplication
e
Malheureusement,y
connatt très peu
on
d’exemples
triviaux
non
d’algèbres 2-sommantes. Il est clair que toute algèbre uniforme est une
algèbre 2-sommante ; il est facile de voir que LP(T) (2poo) muni de la
toute y se facconvolution, est une algèbre 2-sommante [car, si
torise suivant
Lp ( ].
N
,
La définition des
artificielle.
de Banach R
gèbres
sont
est muni
plus
§
2.
de
Cependant,
de certaines 0-normes de
Saphar [12]
R-
R,
on
sur
peu
algèbre
nos
al-
lorsque RO R
[4]. Voir [13]
e
pour
L’HISTOIRE DU SUJET ET QUELQUES PROBLEMES OUVERTS
n
Q-algèbre
Une
quotient (par
Question 1
une
i déal
un
était
r
s
o
n
algèbre de Banach qui
fermé) d’une algèbre uniforme.
est
une
fois, Varopoulos
une
Peut-on trouver
:
une
est
isomorphe
posa la
algèbre
de Banach commutative
n’est
qui
Q-algèbre ?
Un beau
Wermer
jour,
,
[18] répondit
"Oui". Son exemple fut
muni de la convolution. Sa démonstration utilisa le théorème
(cité
sentations bornées d’un groupe abélien
un
une
voit que
est continue
et Chevet
un
détails.
Il
pas
considère la multiplication
une
n
un
on
application linéaire M : R©
précisément celles pour lesquelles M
comme
Définition :
à
si
algèbres p-sommantes parait peut-être
dans
sur
~1(7Z)
les
l’exposé précédent)
repréet
résultat fondamental dû à Cole.
Théorème (Cole
[18]) :
Un
quotient
d’une
fermé) est isométriquement isomorphe à
En
fait,
Théorème (Lumer
i déal fermé) est
ce
[11])
une
une
théorème admet la
:
Un
quotient
algèbre uniforme (par un idéal
sous-algèbre fermée d’un L(H).
généralisation
d’une
algèbre d’opérateurs.
suivante.
algèbre d’opérateurs (par
un
XIII.5
Ce fut
un
lemme de Craw
de faire
qui permit
la théorie
avancer
Q-algèbres.
des
(Craw
Lemme de Craw
commutative R est
quels
un
[6]) (Version isométrique) ::
quotient
d’une
algèbre
sans
D’après
terme
ce
constant,
lemme,
et le
on
algèbre
polynôme
a
le résultat
de Wermer
évident. Aussi,y il inspira Davie à trouver
un
concernant l(Z)
critère très utile. Il
quelques notations. Soit p un entier positif. On notera
muni de la topologie discrète, et K N le produit K
faut
de Banach
uniforme si et seulement si
que soient l’ensemble fini
p(zl,...,zn)
Une
K
p
p
x
devient
nous
l’ensemble
de
...xK
p
N facteurs.
Théorème (Davie
R est
une
quels
que
[6]) : Soit R une algèbre de Banach commutative. Alors,
Q-algèbre si et seulement s’il existe une constante K>0 telle
que soient les entiers
les éléments
[~
signifie
Y
le
Par
ment dérivables
norme
N et p,
la fonction
et
on a
son
critère pour donner plusieurs exemples des
l’espace
exemple,
[0,1],
habituelle, et ep
sur
muni de la
Q-algèbres. Varopoulos [15]
polation
que
les îp
sont des
des fonctions
de la
fois continü-
en
et de la
multiplication ponctuelle,
déduisit par
un
processus d’inter-
Q-algèbres.
Une version non-commutative du lemme de Craw fut
dans la démonstration du :
r
multiplication ponctuelle
muni
sont des
tiel
aE C(K N)
p
produit tensoriel injectif].
Davie utilisa
Q-algèbres.
positifs
un
outil
essen-
XIII.6
Théorème V
une
(Varopoulos [171) : Soit R une algèbre de Banach. Alors R est
algèbre d’opérateurs si et seulement s’il existe une constante K > 0
telle que,
et
on
si
fixe
on
(i)
(ii)
E,
un
sous-ensemble fini de
(iii)
M,
un
entier
(iv)
E > 0,
puisse choisir
(a) un Hilbert
et
(b)
h, k ~
(c)
des
pour tout
H
BH
applications
Li, ... YLm
Je donne ici
La
démonstration
Varopoulos
Revenons
algèbres
suggéra
L , ... ,L :
satisfaisant à
sont pas nécessairement
ne
version
une
E - L H>
d’éléments de E.
1
(xl,...,x
m)
M
M-uple
[Les applications
[17].
BR
positif
linéaires.]
légèrement généralisée
est la même .
utilisa le théorème V pour démontrer
aux
théorème dans
du
Q-algèbres.
de Banach commutatives
qui
Nous
ne
avons
son
qu’on peut
vu
théorème
trouver des
Q-algèbres.
sont pas des
0.
Davie
la
Question 2
Est-ce que toute
:
algèbre d’opérateuwcommutative
est
une
Q-algèbre ?
Soient
y
deux contractions linéaires
Or, d’après
que
on
Tl’ T2
un
théorème fameux de
sait que pour tout polynôme p d’une variable
Cette
que pour tout
inégalité
polynôme
fut
généralisée
p de deux variables
sur
von
un
Neumann
complexe
par Ando
on
(voir
complexes
Hilbert H telles
on
(voir
a
[7J) qui
a
[7]),
démontra
XIII.7
lités
telle
peut généraliser
l’on
en
Tl,oes.,TN
sont des contractions linéaires
sait, d’après l’inégalité
C’est
précisément
degré
2.
on
y
[5]
Hilbert,
la condition de Davie pour les
polynômes homogènes
algèbre d’opérateurs
de
com-
une
démontra que
T,9 T2’ T~,
un
Q-al gèbr e . Mal heureusement , c’est faux. Varopoulos [16]
l’inégalité de von Neumann n’admet pas la généralisation né-
mutative est
cessaire ;
sur
une
de Grothendieck que
On est donc tenté de croire que toute
Voir
inéga-
ces
plusieurs variables. D’après le lemme de Craw,
généralisation permettrait de répondre "oui" à la question 2.
polynômes
aux
Si
on
de sedemander si
est naturel
Il
peut
sur
un
même trouver trois contractions linéaires
commutantes,
Hilbert H de dimension 5 telles que
pour les détails.
On trouve
un
autre
contre-exemple simple
dans
[16].
Cependant,
Problème 1
:
le
Soit R
problème
une
suivant reste ouvert.
algèbre
de Banach commutative
X 00 (en tant qu’espace de Banach). Est-elle
On
Problème 2
peut
:
même
Soit R
se
une
poser
est de
type
Q-algèbre ?
question plus général :
une
algèbre
une
qui
2-sommante commutative.
Est-elle
une
Q-algèbre ?
Le
problème
2 est lié
au
sujet
de la
thèse de Charpentier. Il
démontre le
Théorème
une
(Charpentier [2])
Q-algèbre.
:
Toute
algèbre
1-sommante commutative est
XIII.8
Varopoulos [14,15] étudia une classe d’algèbres
plus petite : les algèbres injectives.
Définition :
plication
tive,
L’algèbre
une
algèbre injective
RQ9 R.... R est continue lorsque RQ9 R est muni de la
M :
encore
si la multi-
injec-
norme
0.
En termes des
bre
de Banach R est
de Banach
si toutes
injective
applications (py
de Banach est
une
applications intégrales (avec
sont des
les
algèbre
une
algècon-
trôle de la norme).
Théorème
Alors R
(Varopoulos [14]) : Soit R une algèbre
est une algèbre injective si et seulement
uniforme
U,
épimorphisme
un
L: R-U tels
Y
terminer,
Pour
Soit E
une
propriété
[l’7]
:
une
application linéaire
une
espace de Banach.
On
qui
troisième
un
On dira que E
d’algèbre
a
vu
de même pour les espaces de
algèbre
continue
problème.
a la propriété
de Banach
quelconque,
que tout espace de
type Z 2*
ont la
On
propriété
Est-il vrai que tout espace de
ne
type g
OP
si,
E doit
la pro-
a
00
connatt pas d’autres
OP.
type
a
la
OP ?
Il
la
offrons
nous
des espaces de Banach
Problème 3
s’il existe
c-à-d -V- x E R,
algèbre d’opérateurs.
priété OP ;
exemples
un
U~ R et
munit E d’une structure
lorsqu’on
être
n:
de Banach commutative.
propriété
Banach R pour
serait intéressant de savoir si
OP.
Un
problème
lesquelles
est 2-sommante.
l’algèbre
du
disque A(D)
a
voisin est la caractérisation des espaces de
toute
application linéaire
continue de R dans R’
XIII.9
~
3.
LES DEMONSTRATIONS
le
Rappelons
Théorème
1 :1
Toute
Dans
térisation des
algèbre
2-sommante est
une
algèbre d’opérateurs.
L13], on peut trouver une démonstration basée sur la caracalgèbres d’opérateurs (théorème V). Nous préférons donner
démonstration directe, due à Maurey, qui utilise le théorème de point
une
fixe ci-dessous.
Théorème KF
que d’un
vides,
x0o
EX
(Ky Fan,
compact
dont le
t ,o
q x
e
cf.
convexe
[1,
p.
X dans
graphe ((x,t) :
n 2 (q)
Soit r
lui-même, à
une
valeurs
application multivoconvexes compactes non-
est fermé dans X x X .
XE X,
Alors
E r(x ) .
s
o
Démonstration du théorème 1
que
259]) :
-V-
R’ On
·
Soit R
:
a
l’algèbre 2-sommante ;
supposons
le droit de supposer que R est unitaire
(puisqu’une sous-algèbre fermée d’une algèbre d’opérateurs est une algèbre
muni de sa structure habituelle d’ald’opérateurs, et , aisément,
gèbre de Banach [2, p. 15] est une algèbre 2-sommante unitaire).
T :i
(a) On va démontrer qu’il
R L(H) de norme s K.
On sait que si
Soit Fi
Soit
une
probabilité
s’ aperçoit
(*)
sous
que F est
un
Hilbert H et
un
alors pour tout ensemble
de Radon
l’application linéaire
En réécrivant
on
cpEBR"
existe
sur
B JK
F :
.
homomorphisme
on
Alors
définie par
la forme
un
opérateur
2-sommant et
D’ après
a
XIII.10
le
théorème de Pietsch,
l’application multivoque 1
hypothèses du théorème KF, ce qui permet
On voit que
aux
de déduire
qu’il
existe
telle que
d’ où
Lorsque xE R,
H la fermeture dans
T:
R-.L(H)
par
(~~~),
un
On
de
T(z)f x = f zx
.
Ceci
(b)
L 2(w)
va
(fx : xE R ;
Aisément,
H est
T est
un
Hilbert.
un
Définissons
homomorphisme, et, d’après
achève la partie (a).
montrer
homomorphisme
=~x>. Soit
la fonction
note
on
qu’à chaque yE
R- L(H )
y
Fixons donc
de
norme
R
On sait
P
qu’il
est
y
associer
peut
KI2 tel
K
y
y 6 R.
on
que
Hilbert
Hy
et
y
tel que
existe
un
un
compact
convexe.
Conservant
les notations de
Définissons alors
dans lui-même satisfaisant
de P
y
donc
r’(X)==-~- 6~ +7 F(~).
t,q.
aux
r’
est
une
hypothèses
du
application multivoque
théorème KF. Il existe
XIII.11
et
Par
conséquent,
alors
on
est la fermeture dans
si H
y
a
et
(c)
Pour
terminer,
définit
on
On voit aussitôt que T est
ce
qui permet
homomorphisme et
un
de conclure.
théorème suivant sert à faire
Le
que
un
d’algèbres d’opé-
sandwich
rateurs.
Théorème 3
C’est
Théorème LP F9.
L
une
Toute
[3] :
i
une
algèbre d’opérateurs
conséquence
P.
2941
-
application linéaire
:
h,
kE BH ;
notons
l’inégalité
Soient E.
,
:
une
algèbre
hilbertienne.
de Grothendieck et du
F deux espaces de Banach et
Soit R
h0k l’élément
u:
E-~ F
-
continue. Alors
Démonstration du théorème 3
Soient
de
est
u
une
de
est hilbertienne et
sous-algèbre
BR,
fermée de L(H).
défini par
XIII.12
Il
suffit de montrer que
J
d’après l’inégalité de
algèbre hilbertienne.
Comme
Théorème 2
est
dessert,
nous
strictement
Nous allons montrer que tout
unité du dual est (un multiple de module 1 d’ )
C’est
une
le
théorème
Nous allons
Soit XE R.
soit A
de
exprimer
Notons,
algèbre ; soit yE
Pietsch, i
inégalité
cette
comme
d’ habitude,
la fermeture dans
canonique
( étant
une
Or, pour
tout x,
x-
un
extrémal
f .
Alors le
x
application linéaire
YE R,
on
suivant
a
de
[8].
que 7p
et
t.q.
un
f 6C(B-,)
diagramme
de la boule
élément du spectre de
On sait
BR’.
de j[f
x
p
cation
point
idée due essentiellement à Kaijser
Soit R notre
d’après
et unitaire
p-sommante
uniforme.
Démonstration :
l’algèbre.
une
offrons le
algèbre
Toute
[13]:
algèbre
une
Grothendieck. Le théorème LP entratne que R est
diagramme commutatif.
la fonction
fX(~) _ ~,x> ;
et soit I : R- A
p
ci-dessous commute :
l ’appli-
XIII.13
R"....
1
(l1 P )’
transposée
est la
de ~.
on
(!1 P )’
étant
un
quotient
de
r
r
peut trouver
représentant
un
......
Par
conséquent
et si
ou,
e
pour
est l’ unité de
R,
abréger,
Supposons
maintenant
~
sont deux
ce
D’après l’hypothèse que q
et
on
en
déduit que
qui
est
point extrém al de BR, et
ensembles p-mesurables dis j oi nts .
que y est
un
un
(puisque
entratne que
point
eoctrêmal de
que
B, ,
on
a
XIII.14
Par
conséquent,
On voit aussitôt que
formée de Guelfand
étant
une
isométrie,
R doit être
algèbre
une
uniforme.
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