Amérique du sud 2015. Enseignement de spécialité

Amérique du sud 2015. Enseignement de spécialité
EXERCICE 4 (5 points) (candidats ayant suivi l’enseignementdespécialité)
Dans un pays de population constante égale à 120 millions, leshabitantsviventsoitenzonerurale,soitenville.Les
mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :
•en 2010, la population compte 90 millions de ruraux et 30 millions de citadins ;
•chaque année, 10 % des ruraux émigrent à la ville ;
•chaque année, 5 % des citadins émigrent en zone rurale.
Pour tout entier naturel n,onnote:
•Rnl’effectif de la population rurale, exprimé en millions d’habitants, en l’année 2010 + n,
•Cnl’effectif de la population citadine, exprimé en millions d’habitants, en l’année 2010 + n.
On a donc R0=90et C0=30.
1) On considère les matrices M=!0,90,05
0,10,95 "et, pour tout entier naturel n,Un=!Rn
Cn".
a) Démontrer que, pour tout entier naturel n,Un+1 =MUn.
b) Calculer U1.Endéduirelenombrederurauxetlenombredecitadinsen2011.
2) Pour tout entier naturel nnon nul, exprimer Unen fonction de Mnet de U0.
3) Soit la matrice P=!11
2−1".Montrerquelamatrice⎛
⎜
⎜
⎝
1
3
1
3
2
3−1 3
⎞
⎟
⎟
⎠
est la matrice inverse de Pet on la
notera P−1.
4) a) On pose ∆=P−1MP.Calculer∆àl’aidedelacalculatrice.
b) Démontrer que : M=P∆P−1.
c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nnon nul :
Mn=P∆nP−1.
5) a) On admet que le calcul matriciel précédent donne :
Mn=⎛
⎜
⎜
⎝
1
3+2 3×0,85n1 3−1 3×0,85n
2
3−2 3×0,85n2 3+1 3×0,85n
⎞
⎟
⎟
⎠
.
En déduire que, pour tout entier naturel n,Rn=50×0,85n+40et déterminer l’expression de Cnen fonction
de n.
b) Déterminer la limite de Rnet de Cnlorsque ntend vers +∞.
Que peut-on en conclure pour la population étudiée ?
6) a) On admet que (Rn)est décroissante et que (Cn)est croissante.
Compléter l’algorithme donné en annexe afin qu’il affiche le nombre d’années au bout duquel la population
urbaine dépassera la population rurale.
b) En résolvant l’inéquation d’inconnue n,50 ×0,85n+40<80 −50 ×0,85n,retrouverlavaleuraffichéepar
l’algorithme.
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FEUILLE ANNEXE (à rendre avec la copie)
Exercice 4
Question 6 (à compléter et à remettre avec la copie)
Entrée : n,Ret Csont des nombres
Initialisation : nprend la valeur 0
Rprend la valeur 90
Cprend la valeur 30
Traitement : Tant que . . . . . . faire
nprend la valeur . . .
Rprend la valeur 50 ×0,85n+40
Cprend la valeur . . .
Fin Tant que
Sortie : Afficher n
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Amérique du Sud 2015. Enseignement de spécialité
EXERCICE 4 : corrigé
1) a) Soit nun entier naturel. La population en zone rurale l’année 2010 + n+1,àsavoirRn+1 est obtenu en retirant
10% de la même population l’année 2010 + n(10% qui émigrent vers la ville) et en ajoutant 5% de la population en
zone urbaine l’année 2010 + nou encore
Rn+1 =Rn−0,1Rn+0,05Cn=0,9Rn+0,05Cn.
De même, Cn+1 =Cn+0,1Rn−0,05Cn=0,1Rn+0,95Cn.Donc
MUn=!0,90,05
0,10,95 "! Rn Cn"=!0,9Rn+0,05Cn
0,1Rn+0,95Cn"=!Rn+1
Cn+1 "=Un+1.
b) U1=MU0=!0,90,05
0,10,95 "! 90
30 "=!0,9×90 + 0,05 ×30 0,1×90 + 0,95 ×30 "=!82,5 37,5".Enparticulier,C1=37,5ou
encore il y a 37,5millions de citadins en 2011.
2) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul n,Un=MnU0.
•M1U0=MU0=U1.L’égalitéestdoncvraiequandn=1.
•Soit n!1.SupposonsqueUn=MnU0.Alors,
Un+1 =MUn(d’après la question 1))
=M×MnU0(par hypothèse de récurrence)
=Mn+1U0.
On a montré par récurrence que pour tout entier naturel non nuln,Un=MnU0.
3)
!11
2−1"×⎛
⎜
⎝
1
3
1
3
2
3−1 3
⎞
⎟
⎠=⎛
⎜
⎝
1
3+2 3
1
3−1 3
2
3−2 3
2
3+1 3
⎞
⎟
⎠=!10
01
"=I
et de même,
⎛
⎜
⎝
1
3
1
3
2
3−1 3
⎞
⎟
⎠
×!11
2−1"=⎛
⎜
⎝
1
3+2 3
1
3−1 3
2
3−2 3
2
3+1 3
⎞
⎟
⎠=!10
01
"=I.
Donc Pest inversible et P−1=⎛
⎜
⎝
1
3
1
3
2
3−1 3
⎞
⎟
⎠.
4) a)
∆=P−1MP =⎛
⎜
⎝
1
3
1
3
2
3−1 3
⎞
⎟
⎠!0,90,05
0,10,95 "! 11 2−1"=⎛
⎜
⎝
1
3
1
3
2
3−1 3
⎞
⎟
⎠!10,85
2−0,85 "
=!10
00,85 ".
b) ∆=P−1MP ⇒P∆P−1=P×P−1MP ×P−1=IMI =M.
c) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul n,Mn=P∆nP−1.
•M1=M=P∆P−1d’après la question précédente. L’égalité est donc vraie quand n=1.
•Soit n!1.SupposonsqueMn=P∆nP−1.Alors,
Mn+1 =M×Mn
=P∆P−1×P∆nP−1(par hypothèse de récurrence)
=P∆I∆nP−1=P∆∆nP−1
=P∆n+1P−1.
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On a montré par récurrence que pour tout entier naturel non nuln,Mn=P∆nP−1.
5) a) Un=MnU0=⎛
⎜
⎝
1
3+2 3×0,85n1 3−1 3×0,85n
2
3−2 3×0,85n2 3+1 3×0,85n
⎞
⎟
⎠!90
30 ".Enparticulier,
Rn=90!1
3+2 3×0,85n"+30!1 3−1 3×0,85n"=30+60×0,85n+10−10 ×0,85n=40+50×0,85n,
puis, la population totale étant constante, égale à 120 millions,
Cn=120−Rn=80−50 ×0,85n.
b) Puisque −1<0,85 <1,/dlimn+∞0,85n=0.Onendéduitque lim
n→+∞Rn=40et lim n→+∞Cn=80.
Alongterme,lesnombresderurauxetdecitadinssestabiliseront autour de 40 millions et 80 millions respectivement.
6) a) Algorithme complété.
Entrée : n,Ret Csont des nombres
Initialisation : nprend la valeur 0
Rprend la valeur 90
Cprend la valeur 30
Traitement : Tant que R!Cfaire
nprend la valeur n+1
Rprend la valeur 50 ×0,85n+40
Cprend la valeur 120 −R
Fin Tant que
Sortie : Afficher n
b) Soit n∈N.
Rn<C
n⇔40 + 50 ×(0,85)n<80 −50 ×(0,85)n⇔100 ×(0,85)n<40
⇔(0,85)n<0,4
⇔ln (0,85)n)<ln(0,4) (par stricte croissance de la fonction ln sur ]0,+∞[)
⇔nln(0,85) <ln(0,4)
⇔n> ln(0,4)
ln(0,85) (car ln(0,85) <0)
⇔n>5,6...
⇔n!6.
L’algorithme affiche la valeur 6ou encore en 2016,lenombredepersonneshabitantenzoneruraledevientstrictement
inférieur au nombre de personnes habitant en zone urbaine pour la première fois.
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