Preuve. On traite d’abord le cas particulier o`u Fest un sous-ensemble de Econtenant un
sous-ensemble A´equipotent `a E. On a d´ej`a fait ce travail `a plusieurs reprises, dans le cas o`u Fest
le compl´ementaire d’un ou deux points dans E(exercices 10 et 17).
Soit g:E→Aune bijection. Soit C0=E\F. Alors C1=g(C0) est disjoint de C0puisqu’il
est contenu dans F. De mˆeme, C2=f(C1) est disjoint de C0et de C1. En effet, il est contenu
dans g(g(E)) ⊂g(A)⊂g(F)⊂Falors que C0est disjoint de Fet C1disjoint de g(F). Posant
Ci+1 =g(Ci), on construit ainsi une suite d’ensembles deux `a deux disjoints. On pose C=Si∈NCi
et D=Si≥1Ci. Alors ginduit une bijection de Csur D. On compl`ete avec l’identit´e de E\C=
F\D.
Le cas g´en´eral se ram`ene au cas particulier.
3.3 Davantage d’ensembles ´equipotents `a R
Exercice 18 Montrer que l’ensemble NNdes suites d’entiers est ´equipotent `a R.
Solution de l’exercice 18. NNest ´equipotent `a R.
On code un r´eel par son signe (0 ou 1), le nombre de chiffres avant la virgule, puis la suite des
chiffres du d´eveloppement d´ecimal (lorsqu’il y en a deux, on choisit celui qui ne se termine pas par
une suite de 9). Cela donne une bijection de Rsur un ensemble de suites d’entiers.
Inversement, ´etant donn´ee une suite d’entiers (un), on convertit chaque unen en une suite,
celle qui vaut 1 unfois, puis toujours 0 ensuite. Autrement dit, on pose vn,i = 1 pour i≤unet
vn,i = 0 sinon. On code donc les suites d’entiers par des suites doubles de 0 et de 1, i.e. des suites
index´ees par N×Net `a valeurs dans {0,1}. En utilisant une bijection f:N→N×N(exercice
6), une suite double devient une suite simple (vf(n))n∈N. On code enfin cette suite en un r´eel,
celui dont le d´eveloppement d´ecimal est 0.vf(0)vf(1) . . . vf(n).... Comme les r´eels construits n’ont
pas de 9 dans leur d´eveloppement d´ecimal, il n’ont qu’un seul d´eveloppement d´ecimal, donc deux
suites distinctes donnent deux r´eels distincts. On obtient ainsi une bijection entre l’ensemble NN
des suites d’entiers et un sous-ensemble de R.
En appliquant le th´eor`eme 2, on conclut que NNet Rsont ´equipotents.
3.4 Des ensembles tr`es grands
Th´eor`eme 3 (Cantor). Soit Eun ensemble. Alors En’est pas ´equipotent `a l’ensemble P(E)des
sous-ensembles de E.
Preuve. Par l’absurde. Supposons qu’il existe une bijection f:E→P(E). Soit F={x∈
E|x /∈f(x)}. Alors Fest un sous-ensemble de E, donc il existe e∈Etel que F=f(e). Supposons
que e∈F. Alors e∈f(e), donc, par d´efinition de F,e /∈F, contradiction. Par cons´equent, e /∈F.
Mais alors e /∈f(e), donc, par d´efinition de F,e∈F, contradiction `a nouveau. On conclut que E
et P(E) ne sont pas ´equipotents.
Corollaire 19 L’ensemble des parties de Rn’est ni d´enombrable, ni ´equipotent `a R.
Exercice 20 Montrer que l’ensemble RRdes fonctions de Rdans Rn’est ni d´enombrable, ni
´equipotent `a R.
Solution de l’exercice 20. RRest plus grand que R.
On code chaque sous-ensemble Ade Rpar sa fonction caract´eristique, d´efinie par
χA(x) = 1 si x∈A, χA(x) = 0 sinon.
On obtient une bijection de l’ensemble des parties de Rsur un sous-ensemble de l’ensemble des
fonctions RR. Si RR´etait ´equipotent `a un sous-ensemble de R, il en serait de mˆeme de l’ensemble
des parties de R, d’apr`es le th´eor`eme 2, or ce n’est pas vrai, th´eor`eme 3. On conclut que RRn’est
pas ´equipotent `a Rou `a un sous-ensemble de R.
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