Quelques notions sur la dénombrabilité

Quelques notions sur la dénombrabilité
ÉCOLE POLYTECHNIQUE –
Quelques notions sur la dénombrabilité
Frank Pacard
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Définition
Définition
On dit qu’un ensemble X est dénombrable s’il est fini ou s’il est en bijection avec N.
Exemple : N − {0}, 2N, Z sont dénombrables.
(1) φ0 (n) = n + 1 réalise une bijection de N sur N − {0}.
(2) φ1 (n) = 2n est une bijection de N sur 2N.
(3) φ2 définie par
(
φ2 (2n)
φ2 (2n + 1)
:= −n
:=
n + 1,
est une bijection de N sur Z.
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Une première propriété
Proposition
Tout sous-ensemble X ⊂ N est dénombrable.
Dém : Si X est fini, c’est terminé. Supposons que X est infini.
On définit par récurrence une application φ : N → X de la manière suivante :
φ(0) := min{x ∈ X }
et
φ(n + 1) := min{x ∈ X : x > φ(n)},
pour tout n ≥ 1.
On vérifie que φ est une bijection de N sur X .
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Un exemple important
Exemple : N2 est dénombrable.
Dém : Une bijection est donnée par la fonction de couplage de Cantor
N2
→
(n, m) 7→
N
(n + m)(n + m + 1)
+ n.
2
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Un premier critère pour vérifier qu’un ensemble est dénombrable
Proposition
Il existe une application f : X → N qui est injective si et seulement si X est dénombrable.
Dém : Supposons que X est infini, autrement c’est terminé.
Si f : X → N est injective alors X est en bijection avec f (X ), qui est un sous-ensemble
infini de N.
D’après le résultat précédent, il existe une bijection h entre f (X ) et N.
Dans ce cas, h ◦ f réalise une bijection de X sur N.
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Applications
Exemple : Un sous-ensemble d’un ensemble dénombrable est dénombrable.
Exemple : N2 est dénombrable car
(n, m) 7→ 2n 3m ,
est injective de N2 sur N.
Exercice : Montrer que, pour tout N ≥ 1, NN est dénombrable.
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Un premier résultat
Proposition
Un produit fini d’ensembles dénombrables est dénombrable.
Dém : Soient X1 , . . . , XN des ensembles dénombrables et, pour tout i = 1, . . . , N, soit
fi : Xi → N une application injective.
Nous avons vu que NN est dénombrable (infini), il existe donc une bijection h : NN → N.
L’application
ψ((x1 , . . . , xN )) = h(f1 (x1 ), . . . , fN (xN )),
est injective de X1 × . . . × XN dans N. Donc, X1 × . . . × XN est dénombrable.
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Un autre critère pour vérifier qu’un ensemble est dénombrable
Proposition
Il existe une application f : N → X qui est surjective si et seulement si X est dénombrable.
Dém : Supposons X infini autrement c’est terminé.
Par hypothèse, il existe une application f : N → X qui est surjective.
Pour tout x ∈ X , définissons
g (x) := min{y ∈ N : f (y ) = x}.
On vérifie que g : X → N est injective et l’on conclut, en utilisant le résultat précédent,
que X est dénombrable.
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Dénombrabilité de Q
Exemple : Q est dénombrable.
Dém : Considérer l’application φ : Z × (N − {0}) → Q définie par
φ(p, q) :=
p
,
q
qui est surjective et la composer avec une bijection de N sur Z × (N − {0}).
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Dénombrabilité de Q
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Un résultat important
Proposition
Une réunion dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable.
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Un résultat important
Dém : Soit I un ensemble dénombrable et (Xi )i∈I une famille d’ensembles dénombrables
indexée par I . Pour chaque i ∈ I , il existe une application injective fi : Xi → N.
On note
Z :=
o
[n
(i, fi (x)) : x ∈ Xi ⊂ I × N.
i∈I
L’ensemble I × N est dénombrable, donc Z est dénombrable.
Pour tout (i, y ) ∈ Z , définissons
φ((i, y )) := fi −1 (y ).
L’application φ : Z →
dénombrable.
S
i∈I
Xi est surjective et Z est dénombrable, donc
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S
i∈I
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Xi est
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Non-dénombrabilité de [0, 1[
Théorème (Argument diagonal de Cantor)
L’ensemble [0, 1[ n’est pas dénombrable.
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Non-dénombrabilité de [0, 1[
Dém : Supposons que [0, 1[ = {xn : n ≥ 1}. On écrit le développement (propre) en base
10 de xn
X
xn =
ak,n 10−k ,
k≥1
Pour tout n ≥ 1, définissons
an := 2
si
an,n = 1
et
an := 1
si
an,n 6= 1.
On note
x :=
X
ak 10−k ∈ [0, 1[ ,
k≥1
Alors ∀n ≥ 1, x 6= xn car an 6= an,n , ce qui est une contradiction.
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Non-dénombrabilité de R
Corollaire
Un sous-ensemble A ⊂ R tel que Å 6= ∅, n’est pas dénombrable.
R n’est pas dénombrable.
L’ensemble des nombres réels irrationnels n’est pas dénombrable (si tel n’´tait pas le cas,
R = (R − Q) ∪ Q) serait dénombrable).
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