Quelques notions sur la dénombrabilité

ÉCOLE POLYTECHNIQUE –
Quelques notions sur la d´enombrabilit´e
Quelques notions sur la d´enombrabilit´e Frank Pacard 1 / 15

D´efinition
D´efinition
On dit qu’un ensemble Xest d´enombrable s’il est fini ou s’il est en bijection avec N.
Exemple : N − {0}, 2N,Zsont d´enombrables.
(1) φ0(n) = n+ 1 r´ealise une bijection de Nsur N− {0}.
(2) φ1(n) = 2nest une bijection de Nsur 2N.
(3) φ2d´efinie par
(φ2(2n) := −n
φ2(2n+ 1) := n+ 1,
est une bijection de Nsur Z.
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Une premi`ere propri´et´e
Proposition
Tout sous-ensemble X⊂Nest d´enombrable.
D´em : Si Xest fini, c’est termin´e. Supposons que Xest infini.
On d´efinit par r´ecurrence une application φ:N→Xde la mani`ere suivante :
φ(0) := min{x∈X}et φ(n+ 1) := min{x∈X:x> φ(n)},
pour tout n≥1.
On v´erifie que φest une bijection de Nsur X.
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Un exemple important
Exemple : N2est d´enombrable.
D´em : Une bijection est donn´ee par la fonction de couplage de Cantor
N2→N
(n,m)7→ (n+m)(n+m+ 1)
2+n.
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Un premier crit`ere pour v´erifier qu’un ensemble est d´enombrable
Proposition
Il existe une application f:X→Nqui est injective si et seulement si Xest d´enombrable.
D´em : Supposons que Xest infini, autrement c’est termin´e.
Si f:X→Nest injective alors Xest en bijection avec f(X), qui est un sous-ensemble
infini de N.
D’apr`es le r´esultat pr´ec´edent, il existe une bijection hentre f(X) et N.
Dans ce cas, h◦fr´ealise une bijection de Xsur N.
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