TD sur les effets atmosphériques (avec corrigé)
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Master de Physique 1ère année Physique des satellites et du positionnement M.C. Angonin, P. Delva et H. Pihan-Le Bars TD ionosphère troposphère 1. Vitesse de phase et vitesse de groupe Soient deux ondes électromagnétiques planes progressives et monochromatiques, de même amplitude, émises par la même source (satellite) : s1 (x; t) = A cos (! 1 t k1 x) s2 (x; t) = A cos (! 2 t k2 x) a- Déterminer l’expression des battements représentant le signal total émis par la source. b- Donner la pulsation de la porteuse qui est liée à la vitesse de phase du signal. Commenter. De même, donner la vitesse de l’enveloppe des battements et véri…er qu’elle correspond à la vitesse de groupe. 2. Propagation dans un plasma On étudie la propagation dans un plasma d’une onde plane progressive transversale suivant ! ux . Le champ électrique associé s’écrit : ! E (x; t) = E0 exp i (!t kx) ! uy On suppose que les ions du plasma ne se déplacent pas et que l’équation du mouvement des électrons suit le modèle de Drude : e ! E i! ! ve = me ! ! a- En déduire la loi d’Ohm entre la densité de courant et le champ électrique : j = E : Ne e2 Véri…er que : = où Ne est le nombre d’électrons par unité de volume. ime ! On alors que les équations de Maxwell s’écrivent : 8 montre ! ! > ik u x E = 0 > > ! < ! ik ux B = 0 ! ! > ik ! ux ^ E = i! B > > ! ! ! : ik ! ux ^ B = 0 E + 0 0 i! E b- Déterminer l’expression la relation de dispersion de l’onde dans le plasma. c- k étant réel pour une onde qui se propage, en déduire que l’onde ne peut se propager que si sa pulsation ! est supérieure à une pulsation limite ! p : la pulsation de plasma, dont on donnera l’expression. d- Calculer la vitesse de phase et la vitesse de groupe de l’onde. e- En déduire l’expression littérale et numérique, en fonction de la fréquence f; de l’indice de réfraction du milieu au premier ordre en f 2 : 1 3. Indice de réfraction de la composante sèche de l’atmosphère L’indice de réfraction de la composante sèche de l’atmosphère peut être déterminé en supposant que l’atmosphère est un mélange homogène à la température de 0 C et à la pression de 101325 Pa. Dans le tableau ci-dessous, pour les fréquences radio, les indices de réfractions sont donnés pour chaque principaux gaz de l’atmosphère ; suivent ensuite les abondances en volume de ces gaz. Gaz Diazote Dioxygène Argon Dioxyde de carbone Indice 1; 0002941 1; 0002664 1; 000281 1; 000494 Abondance (%) 78; 08 20; 95 0; 93 0; 04 Déterminer l’indice moyen de la composante sèche de l’atmosphère. Comparer à la valeur recommandée pour les communications radio nr 1 = 77; 6 10 8 PT où les di¤érentes quantités sont exprimées dans des unités S.I. 2 Master de Physique 1ère année Physique des satellites et du positionnement M.C. Angonin, P. Delva et H. Pihan-Le Bars TD ionosphère troposphère Correction sommaire 1. Vitesse de phase et vitesse de groupe a- s(x; t) = s1 (x; t) + s2 (x; t) = A cos (! 1 t k1 x) + A cos (! 2 t k2 x) !1 + !2 k 1 + k2 !1 + !2 k 1 + k2 s(x; t) = 2A cos t x cos t x 2 2 2 2 !1 + !2 b- La porteuse est la pulsation la plus grande : ! 0 = : Il s’agit de la fréquence 2 !1 + !2 qui corresmoyenne du signal. Elle est associé à une vitesse de propagation : v' = k1 + k 2 pond bien à la vitesse de propagation moyenne du signal total. !1 + !2 : La vitesse Cette porteuse est modulée par une enveloppe à "basse" pulsation : 2 !1 !2 de propagation de cette modulation est : vm = : A la limite où les deux fréquences k1 k2 !1 !2 d! sont proches on a : lim = = vg ce qui est la dé…nition de la vitesse de groupe. La 2!1 k1 k2 dk vitesse de groupe est la vitesse de propagation de la modulation d’un signal dont la porteuse est à une grande fréquence. 2. Propagation dans un plasma ! a- j = Ne e ! ve = Ne e2 ! E i!me Ne e2 où Ne est le nombre d’électrons par unité de volume. ime ! ! ! k! ! b- ik ! ux ^ ux ^ E = 0 E + 0 0 i! E ! ! k2 ! Ne e2 ! E + 0 0 i! E i E = 0 ! i!me 2 N e e 2 k = + 0 0 !2 0 me Ne e2 c- L’onde se propage si : 0 0 ! 2 > 0 r me 2 2 p N e Ne e e !2 > = ! 2p avec !p = = 56; 4 Ne pulsation plasma (ou de Langmuir) 0 me 0 me 2 2 ! ! 1 p d- On a donc : k 2 = c= p 2 c 0 0 Donc : = 3 ! c =r > c est la vitesse de phase (qui peut être supérieure à c) k ! 2p 1 r !2 ! 2p d! =c 1 vg = < c est la vitesse de groupe ou vitesse à laquelle se propage l’informadk !2 tion contenue dans le signal. c e- L’indice de réfraction s’écrit : n = v Ne e2 r 2 2 !p !p c Ne 0 me = 1 On a donc : n' = 1 = 1 = 1 40; 3 v' !2 2! 2 2! 2 f2 1:62 10 38 car : 9:1 10 31 8:85 10 12 2 4 2 = 40: 259 c Ne De même : ng = = 1 + 40; 3 2 vg f v' = 3. Indice de réfraction de la composante sèche de l’atmosphère P On a pour un mélange de gaz : nair sec = ni ai nair sec = 1:0002941 0:7808 + 1:0002664 0:2095 + 1:000281 0:0093 + 1:000494 0:0004 = 1: 000 288 3 Pour les communications radio on a 101325 = 2: 878 572 2 10 4 nr 1 = 77:6 10 8 (273:15) La di¤érence entre les deux est de l’ordre de 10 6 ce qui en terme de positionnement représente 10 cm sur les 50 km de la troposphère. La di¤érence n’est pas énorme pour des modèles aussi approximatifs. 4
