0) Rappels : Triangle rectangle. On dit qu’un triangle est rectangle quand l’un de ses 3 angles est droit. A B Exemple : C ABC est un triangle rectangle en A. ^ BACest l’angle droit.ABC etACB sont les deux angles aigus complémentaires (leur somme fit 90°). Les Côtés [AB] et [BC] sont adjacents à l’angle ABC. Le côté opposé à l’angle droit est toujours l’hypoténuse ( toujours plus grand que les deux autres côtés) Exercice calculer la mesure de l’angle ABC sachant que ACB=70° Pour s’entraîner : ex. 1 1) Cosinus d’un angle aigu. Dans un triangle rectangle, le rapport du côté adjacent et de l’hypoténuse ne dépend que de l’angle aigu qu’ils forment. On appelle ce rapport le cosinus de l’angle aigu. ^ ALORS cos ABC = BA = BA"= BA' BC BC" BC' On écrit souvent : ^ côté adjacent à ABC ^ cos ABC = hypoténuse Moyen mnémotechnique : COS= Côté⋅adjacent Hypoténuse Remarques :Dans le triangle ABC rectangle en A il y a deux angles aigus : ABC et ACB C Hypoténuse [CB] [AC] est le côté adjacent à ACB [AC] est le côté opposé à ABC A B [AB] est le côté adjacent à ABC [AB] est le côté opposé à ACB ^ cos ABC = BA BC ^ cos ACB = AB BC Remarques : • Cette formule n’est valable que dans un triangle rectangle ! • Le cosinus de n’importe quel angle aigu est TOUJOURS compris entre 0 et 1 • Le cosinus d’un angle d’unité ! • Conseil : calculer toujours un cosinus au moins au milième. cos(ABC )= 12cm ≈0.923 13cm 2) Utilisation de la calculatrice Vous devez savoir changer les modes degres (DEG, D), radian (RAD, R), grade (GRA, G) Sachant qu’au collège on veut toujours travailler en DEGRE Savoir changer le « mode des angles » : Fx 82 , Fx 92 : mode mode Deg Rad Gra 1 2 3 Fx 92 collège 2D SHIFT SET UP 3 Deg 4 Rad 5 Gra collège 2D+ SECONDE CONFIG 3 Deg 4 Rad 5 Gra TI 30XIIB DGR DEG RAD GRA TI 40 collègeII DR DEG RAD TI / TI collège MODE ►… ► DGR DEG RAD GRA LEXIBOOK DRG exemple : déterminer cos(36°). On utilise la fonctionnalité cos ou TRIG COS Tape sur les touches 3 6 cos (ou sur cos 3 6 = ; ça dépend de ta calculatrice). Tu peux alors lire le résultat : 0.8090169 . La réponse est donc : ou : cos(36°) ≈ 0,81 à 0,01 près, cos(36°) ≈ 0,809 à 0,001 près, . . . Prendre au millième par défaut. déterminer une valeur de DEF sachant que cos (DEF ) = 0,2. On utilise la fonction cos-1 , Acos , Acs , Arccos de la calculatrice Qui s’obtient avec la séquence 2nd cos , inv cos , TRIG cos-1 , SHIFT cos le résultat de la calculatrice : 78.46304097 . La réponse est donc : DEF ≈ 78° ou : DEF ≈ 78,5° à 0,1° près, à 1° près, DEF ≈ 78,46° à 0,01° près, . . . ou : ( ne pas copier Tape sur les touches 0 , 2 inv cos ou 0 , 2 2nd cos ou 2nd cos 0 , 2 = ou cos-1 0 , 2 = ou 2nd TRIG => => ou seconde cos-1 0 , 2 = cos 0 , 2 = ou SHIFT cos 0 , 2 = . ne pas copier ) le résultat de la calculatrice : DEF ≈ 78° La réponse est donc : ou : ou : 78.46304097 . à 1° près, DEF ≈ 78,5° à 0,1° près, DEF ≈ 78,46° à 0,01° près, . . . Attention : Piège !: calculer ABC sachant que cos (ABC ) = 0,2 , 7 il faut taper sur les touches ÷ 7 ) = . 88.36 et non 2nd cos 0.2 ÷ 7 = . 11.20 2nd cos ( 0.2 Pour s’entraîner : ex. 2 3 Exemple d’application : Application 1 calcul d’un angle aigu lorsque l’on connaît l’hypoténuse et le côté adjacent. Exemple : ABC est un triangle rectangle en A tel que BC = 8 cm. Calculer la mesure de ABC . Rédaction : METHODE : Faire ou compléter un dessin avec les données de l’énoncé 4cm 8cm 1 ABC est un triangle 1. On écrit la formule du cosinus avec les bonnes hypothèsese. rectangle en A donc AB = 4 cm et cos ABC = 2. cos ABC = BA BC 4 8 2. On remplace les noms des côtés connus par leur valeur. 3. cos ABC = 0,5 3. On effectue les calculs. 4. Avec l’aide de la touche cos-1 ou Asc de la machine (en mode « degrés »), on retrouve la mesure de l’angle en degré. 4. ABC = 60° ( aux unités ! précision). Pour s’entraîner : ex. 3 , ex. 4 , ex. 5 Application 2 Calcul d’un côté adjacent , connaissant l’hypoténuse et un angle aigu. Exemple : ABC est un triangle rectangle en A tel que BC = 9 cm et ABC = 30°. Calculer la longueur de [BA] au milimétre prés. Rédaction METHODE : Faire ou compléter un dessin avec les donnée de l’énoncé Dans le triangle rectangle en , 1. On écrit la formule du cosinus avec les bonnes hypothèsese. A, ABC on a cos ABC = BA BC cos 30 = BA 9 2. On remplace les côtés et angles connus par leur valeur. 0,866 ≈ BA 9 3. On effectue les calculs à l’aide de la touche cos de la machine ( BA ≈ 0,866 × 9 ≈ 7,7942 AB≈7,8 cm en mode « degrés » et au millième pour le cosinus!). 4. On isole le côté inconnu en « le multipliant de l’autre côté du = ». 5. On conclu ( attention aux unités précision) Remarque BA ≈ 0,8 × 9 ≈ 7.2 , Pour s’entraîner : ex. 6 , ex. 7 , ex. 8 Application 3 Calcul de la longueur de l’hypoténuse , connaissant un angle et son coté adjacent. Exemple :ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 7 cm et ABC = 40°. Calculer la longueur de [BC]. Au millimetre près METHODE : Faire ou compléter un dessin avec les données de l’énoncé Dans le triangle rectangle en , A, ABC on a cos ABC = BA BC 1. On écrit la formule du cosinus avec les bonnes hypothèsese cos 40 = 7 , BC 2. On remplace les noms des côtés et angles connus par leur valeur. cos40×BC=7 on isole BC : produit en croix , puis isoler BC BC= 7 cos40 3. On effectue les calculs à l’aide de la BC≈ 7 ≈9,1378 0.766 fonction BC ≈ 7 ≈ 9,1 0,766 4. on conclu ( unités) BC ≈ 9,1 cm cos de la machine ( « degrés » et Remarque si je prend cos40°≈0.7 (0.1 prés) je trouve BC≈ mode au millième !) . à la précision aux 7 ≈ 10 0.7 7 ≈ 9.2 0.76 7 ≈ 9.1 cos40°≈0.766 (0.001 prés) BC≈ 0.766 7 cos40°≈0.7660 (0.001 prés) BC≈ ≈ 9.1 0.7660 cos40°≈0.76 (0.01 prés) BC≈ conclusion On prend généralement toujours au millième ou au dix millième pour la VA d’un cosinus. Pour s’entraîner : ex. 9 , ex. 10 4) quart de cercle trigonométrique c est un quart de cercle de rayon 1 cm. De centre O et O I J est un repère orthogonal M ∈ c. [MH]┴[OI] Cos MOI = OH Démonstration cosMOI = OH or OM=1 donc Cos MOI = OH OM Pour s’entraîner : ex. 9 , ex. 10 5 ) Résoudre des exercices sur les angles et cosinus de niveau Brevet : ex. 11 , ex. 12 , ex. 13 , ex. 14, ex. 15