Cours de Loïc Merel sur les formes modulaires

Introduction aux formes modulaires
Bruno Winckler (cours de Loïc Merel)
3 mars 2010
Table des matières
1 Formes modulaires classiques 1
1.1 Réseaux de C............................... 1
1.2 Formes modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Séries d’Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Le groupe modulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Dimension de Mk............................. 5
1.6 Opérateurs de Hecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 Le produit scalaire de Petersson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.8 Fonctions L................................ 13
1.9 Le polynôme des périodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.10 Cohomologie de SL2(Z)......................... 16
1.11 Polynômes des périodes et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . 19
1.12 Application aux opérateurs de Hecke . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Le langage adélique 24
2.1 Adèles ................................... 25
2.2 La topologie des adèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Théorèmes d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Analyse de Fourier locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Analyse de Fourier sur les adèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6 Idèles.................................... 30
2.7 Caractères et quasi-caractères du groupe des idèles . . . . . . . . 31
2.8 Le demi-plan vu comme espace symétrique . . . . . . . . . . . . . 34
2.9 Les réseaux de A2............................ 34
2.10 Le groupe GL2(A)............................ 35
1 Formes modulaires classiques
1.1 Réseaux de C
Un réseau de Cest un Z-module libre, discret, de rang 2 de C(autrement
dit, il existe une base (e1,e2)sur Zlibre sur R). Un tel réseau s’écrit Ze1+Ze2.
1

On peut considérer Rl’espace des réseaux. Il est muni d’une action de GL2(R)
par u(Ze1+Ze2)=Zu(e1)+Zu(e2). Le stabilisateur de tout réseau est GL2(Z).
Remarque : Si Λ est un réseau de C, on peut considérer CΛ, qui est une
courbe elliptique sur C(et une surface de Riemann, un groupe algébrique, etc.).
Ces objets ainsi obtenus grâce à Λ et Λ′sont isomorphes si, et seulement si il
existe λ∈C∗tel que λΛ=Λ′.
On a donc une action de C∗sur R. Le réseau Ze1+Ze2s’écrit e1Z+e2
e1Zet
e2Z+e1
e2Z. On choisit de telle sorte que Ze1+Ze2=ei(Z+Zτ)avec I(τ)>0.
Soient τet τ′dans Hle demi-plan des nombres complexes de partie imagi-
naire strictement positive. À quelle condition a-t-on Z+Zτ≡Z+Zτ′mod C∗?
Si, et seulement si il existe a b
c d  ∈ GL2(Z)tel que aτ +b
cτ +d=τ′. Comme
τ, τ′∈H, on a a b
c d ∈SL2(Z).
Une fonction Fsur Rdéfinit une fonction fsur Hpar f(τ)=F(Z+Zτ).
Soit kun entier. On dit que F∶R→Cest homogène de poids ksi on a
F(λΛ)=λkF(Λ)pour tout λ∈C∗et tout Λ. Cela se traduit ainsi sur f: soit
a b
c d ∈SL2(Z). On a
faτ +b
cτ +d=(cτ +d)−kf(τ).
On note aussi a b
c d τ=aτ +b
cτ +d. Pour α β
γ δ  ∈ GL2(R),αδ −βγ >0 et
f∶H→C, on pose
fkα β
γ δ (τ)=(γτ +δ)−kdetα β
γ δ k2
f α β
γ δ τ.
Le fait que F∶R→Csoit une fonction homogène de poids kse traduit par
fka b
c d =f,a b
c d  ∈ SL2(Z),f∶ H →C. On aimerait imposer deux
restrictions supplémentaires : l’holomorphie selon τ, et le comportement asymp-
totique lorsque τse rapproche du bord de H.
1.2 Formes modulaires
Soit k∈N. Une forme modulaire de poids kest une fonction f∶ H →C
holomorphe qui vérifie fka b
c d =fpour a b
c d ∈SL2(Z). En particulier,
pour a b
c d = 1 1
0 1 ,fk1 1
0 1 (τ)=f(τ+1), donc fs’écrit
f(τ)= 
n∈Z
anqn, q =e2iπτ , an∈C.
2

Alors, on impose de plus f(τ)=∑n≥0anqn(c’est l’holomorphie à l’infini). On a
f(τ)→a0quand τ→∞.
Le bord de Hest constitué de P1(Q). On prolonge la topologie de HàH∪
P1(Q)de la façon suivante : GL2(Q)agit sur P1(Q)par homographies. Une base
de voisinages de x∈P1(Q),x≠∞est formée par l’intérieur d’un horocycle. Si x=
∞, une base de voisinages est l’ensemble des demi-plans supérieurs horizontaux.
On note Mkle C-espace vectoriel des formes modulaires de poids k. On note
M0
k={f=∑n≥0anqn∈Mka0=0}. C’est le sous-espace des formes modulaires
paraboliques. On a codim(M0
k) ≤ 1. On peut se limiter à kpair dans la suite
du cours, car si fest une forme modulaire de poids kimpair, on a f(τ) =
(−1)kf(τ)=−f(τ)(en prenant a b
c d =−I2), donc f(τ)=0 pour tout τ.
Si fet f′sont modulaires de poids ket k′respectivement, f f′est modulaire
de poids k+k′. On peut considérer ⊕k≥0Mkqui est l’algèbre graduée des formes
modulaires.
1.3 Séries d’Eisenstein
Soit k>2 pair, et Λ un réseau de C. On pose ˜ Gk(Λ)=∑′
λ∈L
1
λk, homogène
de poids −ksi elle est définie. Si Λ =Z+τZ, on pose
Gk(τ)= (k−1)!
2(2iπ)k˜
Gk(Λ)= (k−1)!
2(2iπ)k
(m,n)∈Z2{(0,0)}
1
(mτ +n)k.
Alors :
Gk(τ)= 1
2ζ(1−k)+ ∞
k=1
σk−1(n)qn,
où σk−1(n)=∑dndk−1.
(Note personnelle : à partir d’ici, et jusqu’au paragraphe « Compléments »,
j’ai perdu mes notes de cours ; par conséquent, les preuves ne sont probablement
pas les mêmes que celles du cours de M. Merel, et il manque peut-être quelques
propriétés)
Preuve : On part de la formule bien connue :
πcotan(πz)= 1
z+∞
m=11
z+m+1 z−m,
qui peut par exemple se déduire du développement en série de Fourier de la
fonction tcos(αt)définie sur [−π, π]puis prolongée par 2π-périodicité, dans
laquelle on pose ensuite t=πet x=απ.
On a de plus πcotan(πz)=πcos(πz)
sin(πz)=iπ q+1 q−1=iπ −2iπ 1−q=iπ −2iπ ∑∞
n=0qn.
Alors, en comparant les deux égalités, et par dérivations successives, on obtient :
m∈Z
1
(m+z)k=1 (k−1)!(−2iπ)k∞
n=1
nk−1qn.
3

Or
Gk(τ)=(k−1)!
2(2iπ)k
(m,n)≠(0,0)
1
(mτ +n)k=(k−1)! 2(2iπ)k2ζ(k)+2∞
n=1
m∈Z
1
(mτ +n)k.
Alors, d’après ce qu’on vient d’établir :
2(2iπ)k
(k−1)!Gk(τ)=2ζ(k)+2(−2iπ)k (k−1)!
∞
n=1
∞
a=1
ak−1qan =2ζ(k)+2(−2iπ)k
(k−1)!
∞
n=1
σk−1(n)qn.
À l’aide de ceci, on obtient le résultat après simplifications. 
Remarque : Si on pose Ek=Gk
2ζ(k), on a Ek(τ)=1+(−1)k22k Bk∑∞
n=1σk−1(n)qn,
où Bk=k!
2k−1πkζ(k)est le k-ième nombre de Bernoulli.
On a donc des formes modulaires pour tout k>2 pair. Les séries d’Eisenstein
de poids les plus bas sont E4et E6. Il s’avère qu’ils engendrent l’algèbre des
formes modulaires, comme on le verra plus tard. Notons
∆=603G3
4−27 ⋅1402G2 6.
On vérifie que ∆(∞)=0. Autrement dit, ∆ est une forme parabolique de poids
12.
1.4 Le groupe modulaire
Notons P SL2(Z)=SL2(Z){±1}. Soient S=0 1
−1 0 et T=1 1 0 1 
deux éléments de P SL2(Z). On a Sz =−1
z,T z =z+1, S2=1, (ST )3=1. Soit,
d’autre part, l’ensemble Ddes complexes zvérifiant z≥1 et R(z)≤1
2. Alors :
Théorème 1 1. Pour tout z∈H, il existe g∈P SL2(Z)tel que gz ∈D.
2. Si deux points distincts z,z′de Dsont congrus modulo P SL2(Z), alors
soit R(z)=±12et z=z′±1, soit z=1et z′=−1
z.
3. StabP SL2(Z)(z)={1}, sauf si z=i(auquel cas c’est {1, S}) ou z=j(au-
quel cas c’est {1, ST, (ST )2}), ou z=−¯ j(auquel cas c’est {1, T S, (T S)2}).
Corollaire 1 L’application canonique D→HP SL2(Z)est surjective. Sa res-
triction à l’intérieur de Dest injective.
Théorème 2 P SL2(Z)est engendré par Set T.
Preuve du théorème 1 :Soit Gle sous-groupe de P SL2(Z)engendré par Set T,
et soit z∈H. Montrons qu’il existe g∈Gtel que gz ∈D. Si g=a b
c d ∈G,
on a
I(gz)=I(z)
cz +d2,
4

et comme cet dsont entiers, le nombre de couples (c, d)tels que cz +dsoit
inférieur à un nombre donné est fini. On en conclut qu’il existe g∈Gtel que
I(gz)soit maximal. Il existe d’autre part un entier ntel que Tngz soit de
partie réelle entre −12 et 12. Alors, Tngz appartient à D, car si Tngz<1,
alors ST ngz aurait une partie imaginaire strictement plus grande que I(Tngz),
ce qui est impossible. Alors, g′=Tngrépond à la question.
Pour les deuxième et troisième points : soient z∈Det g=a b
c d ∈G
tels que gz ∈D. Quitte à remplacer (z, g)par (gz, g−1), on peut supposer que
I(gz)≥I(z), c’est-à-dire que cz +d≤1. Ceci est impossible pour c≥1, donc
on étudie les cas c∈{0,±1}.
Si c=0, on a d=±1 et gest une translation par ±b. Comme R(z)et R(gz)
sont entre −12 et 12, on a soit b=0 et g=1, soit b=±1, auquel cas l’un des
nombres R(z)et R(gz)doit être égal à −12 et l’autre à 12.
Si c=1, alors d=0, sauf si z=j(ou −¯ j), et dans ce cas on peut avoir d=0
ou 1 (ou d=0 ou −1). Le cas d=0 donne z≤1, d’où z=1. Comme ad −bc =1,
b=−1, donc gz =a−1zet la première partie de la discussion montre que a=0,
sauf si R(z)=±12, c’est-à-dire si z=jou −¯ j, auquel cas on peut prendre
a=0,−1 ou a=0,1. Le cas z=j,d=1 donne a−b=1 et gj =a−1(1+j)=a+j,
d’où a=0 ou 1. On traite de même le cas z=−¯ jet d=−1.
Enfin, le cas c=−1 se ramène au cas c=1 en changeant les signes des
coefficients de g.
Preuve du théorème 2 : Soit gun élément de P SL2(Z). Soit z0=2iet z=
gz0. Il existe g′∈Gtel que g′z∈D. Alors, z0et g′z=g′gz0sont congrus modulo
P SL2(Z), et l’un d’eux est intérieur à D. Alors, ces points sont confondus et
g′g=1. Donc g∈G.◻
Ceci montre entre autres que pour vérifier qu’une fonction est modulaire, il
suffit de le vérifier pour Set T. Revenons aux réseaux :
Proposition 1 RC∗HP SL2(Z)via Z+τZτ.
On remarque que P SL2(Z)peut être remplacé par SL2(Z)dans cette proposi-
tion.
1.5 Dimension de Mk
Si fest une fonction méromorphe sur H, non identiquement nulle, on note
vp(f)l’ordre de fen p, qui est l’entier ntel que f(z−p)nsoit holomorphe et
non nulle en p. De plus, si f=∑nanqn, notons vp(∞)=min{nan≠0}.
Théorème 3 Soit fune fonction modulaire de poids k, non identiquement
nulle. On a
v∞(f)+1
2vi(f)+1 3vj(f)+
i,j≠z∈H
vz(f)=k
12.(1)
Preuve : Cela résulte de l’intégration de f′fsur un contour convenable. Voir
[Ser] par exemple. ◻
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