Champ et potentiel électrostatiques

Michel Fioc
Électromagnétisme et électrocinétique (2P021)
UPMC, 2016/2017
Chapitre I
Champ et potentiel électrostatiques
I.a.
1.
Introduction historique
Ambre, aimants et boussoles
L’existence de phénomènes d’électricité statique et de magnétisme est connue depuis des temps anciens.
Thalès de Milet, un Grec du 6e siècle av. J.-C., aurait ainsi découvert que l’ambre (« êlektron » en grec ancien)
était capable d’attirer des corps légers (électricité statique). Il aurait également étudié les propriétés d’aimants
naturels, les pierres de Magnésie (une ville d’Asie Mineure, comme Milet).
Les Chinois utilisent au premier millénaire des cuillères aimantées à des fins divinatoires. Celles-ci deviendront vers l’an mille les premières boussoles.
Le Français Pierre de Maricourt décrit au 13e siècle les propriétés fondamentales des aimants :
I l’existence sur tout aimant de deux pôles, qualifiés de « nord » et « sud » car pointant en gros (à la
déclinaison magnétique près) vers les pôles nord et sud de la Terre. Trois siècles plus tard, l’Anglais
Gilbert comprendra que c’est parce que celle-ci se comporte comme un aimant géant ※1 ;
I l’attraction entre pôles contraires et la répulsion entre pôles identiques ;
I l’attraction entre le fer et un aimant ainsi que la possibilité d’aimanter le fer avec un aimant ;
I le fait qu’un aimant brisé ne donne pas un morceau doté d’un pôle nord et un autre doté d’un pôle
sud, mais deux aimants possédant chacun les deux pôles.
L’explication moderne est qu’un aimant n’est pas constitué de « monopôles magnétiques » ※2 analogues aux charges électriques, mais d’une multitude de microscopiques boucles de courants dont les
axes sont alignés.
2.
Expériences de du Fay
Au 18e siècle, le Français du Fay (ou « Dufay ») mène plusieurs expériences de triboélectricité (électrisation
par frottement) et constate ceci :
I un tube de verre frotté attire une parcelle de feuille d’or ;
I après contact entre le verre et la feuille d’or, celle-ci est violemment repoussée ;
I on obtient les mêmes résultats en remplaçant le verre par de la résine d’ambre ;
I une feuille d’or ayant été mise en contact avec du verre frotté est attirée par de la résine frottée.
(Les expériences réalisées en cours utilisent respectivement du plexiglas, du PVC et une boule de sureau
suspendue à un fil à la place du verre, de l’ambre et de la feuille d’or.)
Ces expériences lui permettent d’énoncer les résultats suivants :
I il existe deux sortes d’« électricités » ;
I les corps portant des « électricités » du même type se repoussent ;
I ceux portant des « électricités » différentes s’attirent.
Avant d’analyser ces expériences en termes modernes, rappelons quelques notions fondamentales :
I la matière ordinaire est constituée d’atomes comprenant des protons, de charge positive, des neutrons,
sans charge, et des électrons, de charge négative. Les protons et les neutrons, de masses similaires,
sont concentrés dans des noyaux atomiques. Les électrons, bien moins massifs, sont dans des couches
entourant les noyaux. Ils sont en nombre égal aux protons dans les atomes neutres ;
I les électrons portent une charge −e, où
e ≈ 1,6 · 10−19 C
1.
2.
On sait maintenant que le champ magnétique terrestre est produit par les mouvements à l’intérieur de la Terre.
Ceux-ci pourraient facilement être inclus dans les équations de l’électromagnétisme, mais ils n’ont jamais été observés.
8
(I.1)
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est la charge élémentaire (« C » est le symbole du coulomb) ; les protons portent une charge +e ※3 ;
I les charges de même signe se repoussent, celles de signe opposé s’attirent.
Les expériences de du Fay peuvent alors être interprétées ainsi :
I quand le verre est frotté par un matériau, celui-ci lui arrache des électrons, de charge négative, et le
verre acquiert une charge positive ;
I avant contact, le verre, chargé positivement, attire les électrons de la feuille d’or, neutre, et repousse
les protons (de charge positive) de celle-ci. Les premiers se rapprochent donc du verre et les derniers
s’éloignent. Les électrons de la feuille d’or étant plus proches du verre que les protons, l’attraction
l’emporte sur la répulsion ;
I après contact, une partie des électrons de la feuille d’or se déposent sur le verre. Le verre et la feuille
ont donc tous deux une charge positive (car le verre était de charge positive et la feuille d’or était neutre
avant le contact) et se repoussent ;
I les résultats sont similaires avec de la résine, si ce n’est que, quand elle est frottée par un matériau,
elle arrache des électrons au matériau et acquiert une charge négative. Elle transmet une partie de ces
électrons à la feuille d’or lors du contact.
3.
Conducteurs, isolants et piles
On comprend peu après les expériences de du Fay, notamment grâce aux travaux de l’Américain Franklin
sur la foudre, qu’il existe deux types de corps :
I les conducteurs, qui permettent le passage d’un courant électrique car ils contiennent un certain nombre
de charges libres de se mouvoir (les électrons de conduction dans les métaux ; des ions, c’est-à-dire des
atomes ou molécules ayant gagné ou perdu des électrons, dans les solutions électrolytiques ou gels
utilisés dans les piles ※4 ) ;
I les isolants, dans lesquels les charges sont liées, c.-à-d. presque statiques ※5 : elles ne peuvent s’écarter
que peu de leur position.
Cette distinction est illustré par l’expérience réalisée en cours : quand on approche une baguette frottée de
l’extrémité d’une tige métallique, une boule de sureau au voisinage de l’autre extrémité est attirée par celle-ci.
Ce n’est pas le cas si la tige est en plastique.
Le premier générateur de tension continue (c.-à-d. constante) est la pile chimique inventée par l’Italien
Volta en 1800.
4.
Unification de l’électricité et du magnétisme
Des expériences effectuées au début du 19e siècle par le Danois Ørsted, le Français Ampère et l’Anglais
Faraday ont permis de montrer que les phénomènes électriques et magnétiques étaient reliés. En particulier,
I un corps parcouru par un courant électrique se comporte comme un aimant (un aimant naturel est
ainsi peuplé de courants à l’échelle microscopique) ;
I un aimant mobile produit un courant dans un fil électrique.
Ces découvertes sont la base de la dynamo et des moteurs électriques.
L’Écossais Maxwell énonce en 1865 les lois de l’électromagnétisme, qui unifient électricité et magnétisme
dans une même théorie. Une des conséquences de ces lois est l’existence d’ondes électromagnétiques, qui
seront détectées par l’Allemand Hertz et dont le calcul montre que leur vitesse est la même que celle de la
lumière, mesurée antérieurement par les Français Fizeau et Foucault. Maxwell en déduit que la lumière est
une onde électromagnétique, ce qui permet d’intégrer l’optique dans l’électromagnétisme.
5.
Révolution relativiste
On pense initialement que les ondes électromagnétiques se déplacent dans un milieu, l’Éther, faisant office de référentiel galiléen absolu. L’impossibilité de mesurer le moindre mouvement par rapport à l’Éther
(expérience de Michelson & Morley) et la théorie de la relativité restreinte, énoncée par l’Allemand Einstein
en 1905, conduisent à renoncer à ce concept. La théorie de la relativité repose sur deux principes :
I tous les référentiels galiléens sont équivalents pour l’énoncé des lois de la physique ;
I il existe une vitesse fondamentale finie (et indépassable) —la vitesse de la lumière— dont la valeur est
la même dans tous les référentiels galiléens.
Les protons sont en fait constitués de deux quarks u, de charge 2 e/3 chacun, et d’un quark d, de charge −e/3, tandis que les neutrons
possèdent un u et deux d, mais les quarks ne sont jamais observés séparément.
4. Les ions positifs, ou cations, sont attirés par l’électrode négative, la cathode ; les ions négatifs, ou anions, le sont par l’électrode
positive, l’anode.
5. Le caractère isolant d’un corps n’a rien d’absolu : l’air, habituellement isolant, peut ainsi devenir conducteur si le champ électrique
est suffisant pour l’ioniser (cas de la foudre).
3.
9
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Le premier principe était déjà connu en mécanique newtonienne. Le second, en revanche, est en contradiction avec la loi classique de composition des vitesses et impose que les distances et les durées entre deux
événements perçues par un observateur dépendent de son mouvement. Si les lois de l’électromagnétisme
gardent l’expression proposée par Maxwell en relativité restreinte, les lois de la mécanique classique doivent
en revanche être modifiées (pour la gravitation, il faudra attendre la relativité générale, proposée par Einstein
en 1915).
I.b.
1.
Loi de Coulomb
Énoncé et propriétés
La force exercée par une particule ※6 située en P, de charge Q et immobile par rapport à un référentiel
galiléen, sur une particule située en M, de charge q et également immobile, est donnée par la loi énoncée par
le Français de Coulomb en 1785 :
qQ
~Q→q =
~r ,
u
(I.2)
F
4 π ε0 r2
−−→
~r est un vecteur unitaire dirigé de P vers M, les charges sont en coulombs ※7 , ε0 est
où r = PM (B kPMk), u
une constante appelée permittivité du vide et
1
≈ 9 · 109 SI.
4 π ε0
(I.3)
La force de Coulomb (dite aussi électrostatique) peut être réécrite sous la forme
−→
qQ −
PM
~Q→q =
,
(I.4)
F
4 π ε0 PM 3
−−→
~q→Q = −F
~Q→q (version faible) et F
~ est en outre
~r = PM/PM. Elle respecte la 3e loi de Newton : F
puisque u
−
−
→
~ ∥ PM (version forte).
centrale, c.-à-d. F
2.
Neutralité électrique et forces de contact
La force électrostatique est en 1/r2 , comme la force de gravitation universelle. Contrairement à cette
dernière, qui est toujours attractive, la force de Coulomb est attractive si les charges sont de signes opposés
et répulsive sinon, conformément à la loi de du Fay.
Comparons l’intensité de ces deux forces entre un électron (de masse me ) et un proton (de masse mp ) :
~élec k
(1,6 · 10−19 )2 × 9 · 109
kF
|+e| |−e|
=
=
≈ 2 · 1039 .
−11 × 1,67 · 10−27 × 9,11 · 10−31
4
π
ε
×
G
m
m
~
6,67
·
10
0
p e
kFgrav k
(I.5)
L’intensité de la force gravitationnelle est donc infime par rapport à celle de la force électrostatique. Si la force
électrostatique n’intervient généralement pas explicitement dans les problèmes de mécanique, contrairement
au poids, c’est que le nombre d’électrons est égal au nombre de protons : si un excès d’électrons survient en
un endroit, ceux-ci se repoussent entre eux et sont attirés par les protons. La neutralité électrique est donc
rapidement rétablie à l’échelle macroscopique, et la force exercée par de la matière neutre décroît bien plus
rapidement qu’en 1/r2 , comme nous le verrons en étudiant les dipôles.
La matière n’est pas neutre en revanche à l’échelle microscopique (par exemple au voisinage d’un électron).
La force électromagnétique est d’ailleurs l’interaction fondamentale à la base de toutes les forces de contact
(réaction normale, adhérence, frottements, cohésion d’un solide, pression, tension superficielle. . .), même si
leur expression phénoménologique ne le laisse pas apparaître.
Par ailleurs, même quand la matière est neutre et n’a pas d’effet électrostatique à grande distance, elle
peut être parcourue par des courants de charges, lesquels créent un champ magnétique.
6.
7.
Au sens de « point matériel ».
Rigoureusement, il faudrait distinguer trois choses : la particule, la valeur de sa charge et sa position. Bien souvent, on utilisera
le mot « charge » non seulement pour la valeur de celle-ci, mais aussi pour la particule qui la porte (de la même manière que pour le
mot « masse » en mécanique), et on utilisera la même notation pour les deux. On distinguera la « densité de charge » (au singulier),
c.-à-d. la valeur de la charge par unité de volume (par exemple), de la « densité de charges » (au pluriel), c.-à-d. le nombre de porteurs
de charge par unité de volume.
De même, il nous arrivera d’appeler « point » à la fois la particule (point matériel) et sa position (point géométrique), et d’utiliser
la même notation pour les deux. Ceci ne devrait susciter aucune confusion. En revanche, il est fortement déconseillé de noter de
la même manière la valeur de la charge et sa position.
Nous utiliserons systématiquement les unités du système international (SI). D’autres systèmes sont parfois utilisés, mais les lois
prennent alors une forme différente.
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3.
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Cas de charges mobiles (hors programme)
L’expression (I.4) n’est plus rigoureusement valable si les charges sont mobiles car l’interaction n’est pas
instantanée. La force exercée par une charge Q sur une charge q située en M à un instant t est
!
qQ
v
r
~Q→q =
~+ ~
~
F
Z
×
[~
u
×
Z]
,
(I.6)
r
4 π ε0 (~r · w)
c
~ 3
où
~ avec X
~ = ~r × (w
~ =X
~ +Y
~ = (c2 − v02 ) w
~ et Y
~ × ~a 0 ),
Z
c est la vitesse de propagation de l’interaction électromagnétique (c.-à-d. la vitesse de la lumière) dans
le vide,
−−−−−−−→
~r = ~r/r,
I ~r = P(t0 )M(t), r = k~r k et u
I t0 est le temps retardé, c.-à-d. l’unique t0 6 t tel que r = c (t − t0 ),
I ~
v est la vitesse de M à l’instant t,
I ~
v 0 et ~a 0 sont les vitesse et accélération de P à l’instant t0 ,
~ = cu
~r − ~
I v0 = k~
v 0 k et w
v 0.
Quelques remarques sur l’expression (I.6) :
I cette formule n’est surtout pas à connaître ! ;
I l’interaction électromagnétique se déplace à la vitesse de la lumière. Cette vitesse étant finie (et indépendante du référentiel du moment que le référentiel est galiléen), la force subie par M à un instant t
dépend de la position de P à un instant t0 antérieur : c (t − t0 ) est simplement le temps de propagation
de l’interaction de P à M ;
I M et P jouent des rôles asymétriques. En conséquence, la 3e loi de Newton n’est généralement pas
valable en électromagnétisme. La quantité de mouvement (linear momentum ou simplement momentum
en anglais) d’un système isolé est néanmoins conservée si l’on tient compte, outre de celle des particules,
de la quantité de mouvement dans le champ ;
I la force dépend non seulement des positions et des vitesses des charges, mais aussi de l’accélération
des sources. Elle comprend deux termes :
~;
I le premier, en 1/r2 , généralise la loi de Coulomb et correspond au terme X
~
I le second, en 1/r, correspondant à Y. Il est appelé « terme radiatif » car c’est lui qui explique
le rayonnement électromagnétique. Noter qu’il domine le premier à grande distance, mais qu’il
n’apparaît que si l’accélération de la source est non nulle ;
~ , m ~a si v/c 3 1.
I l’expression (I.6) est valable quelle que soit la vitesse, mais F
I
I
I.c.
Champ électrostatique
L’équation (I.4) peut être réécrite
~Q→q = q E
~ Q (M) ,
F
où
Q
~ Q (M) =
E
(I.7)
−−→
PM
(I.8)
4 π ε0 PM 3
est le champ électrique créé par la charge Q en M. Dans le système international d’unités, cette quantité est
exprimée en V · m−1 (= N · C−1 ), où « V » est le symbole du volt. L’expression (I.8) n’est valable que si Q est
immobile.
Considérons maintenant un ensemble de charges Q1 , . . ., Qn situées aux points P1 , . . ., Pn . Si q est immobile,
~→q = Pi F
~Q →q des forces exercées par les Pi sur M vaut
la résultante F
i
~→q = q E(M)
~
F
,
(I.9)
où
~
E(M)
=
X
~ i (M)
E
(I.10)
−−−→
Qi
Pi M
4 π ε0 Pi M3
(I.11)
i
=
X
i
~ i (M) B E
~ Q (M).
est le champ électrique créé en M par toutes les charges sauf q, et E
i
L’expression (I.9) distingue la charge q placée en M, dite parfois charge test, des charges Qi , sources du
~ auquel q est soumise en M. L’intérêt de cette distinction, outre de faciliter les calculs, est que les
champ E
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champs ont une réalité intrinsèque : on peut ainsi leur associer une quantité de mouvement, une énergie ;
par ailleurs, le délai entre le changement de trajectoire d’une source et l’effet sur la force ressentie par la
charge test correspond au temps de propagation du champ de l’une à l’autre. On peut également étudier
la propagation des ondes électromagnétiques, c.-à-d. des champs, indépendamment des sources qui les ont
~
produits. Remarquer que E(M)
ne dépend pas de la présence ou non d’une charge en M.
L’équation (I.11) n’est valable que dans le cadre de l’électrostatique, c.-à-d. si les sources Qi sont immobiles.
Pour souligner ce fait, on utilisera souvent le terme champ électrostatique plutôt que « champ électrique »
dans ce cas.
Les équations (I.9) et (I.10) sont en revanche valables quel que soit le mouvement des charges Qi ※8 . L’équation (I.10) traduit le “principe” de superposition : le champ électrique produit par une combinaison linéaire
de distributions de charges et de courants de charges est la combinaison linéaire des champs électriques
produits par chacune de ces distributions. (De même, nous le verrons, pour le champ magnétique.) Ce
“principe” est en fait un théorème découlant de la linéarité des relations fondamentales de l’électromagnétisme
entre les champs et les sources de ceux-ci.
I.d.
Potentiel électrostatique
1.
Préliminaires
a.
Différentielle du carré d’une fonction vectorielle
Pour toute fonction vectorielle ~f , on a d ~f · ~f = 2 ~f · d ~f . Or ~f · ~f = k ~f k2 et d k ~f k2 = 2 k ~f k d k ~f k , donc
~f · d ~f = k ~f k d k ~f k .
(I.12)
En particulier, pour une fonction de norme constante, d k ~f k = 0, donc ~f ⊥ d ~f .
b.
Circulation d’une fonction vectorielle
R
~ r )·d~r. Précisons la significaf l’intégrale
On appelle circulation C d’une fonction ~f (~r ) sur un chemin AB
f f (~
AB
tion de cette dernière. Formellement,
Z Z
~f · d~r =
fx [x, y, z] dx + f y [x, y, z] dy + fz [x, y, z] dz ,
(I.13)
f
AB
f
AB
mais cette expression n’a pas grand sens car on ne sait pas par rapport à quelle variable on intègre. Plus
rigoureusement,
Z uB h
Z
h
i dy
i dx
~f · d~r B
+ f y x(u), y(u), z(u)
fx x(u), y(u), z(u)
du
du
f
AB
u=uA
h
i dz du,
(I.14)
+ fz x(u), y(u), z(u)
du
où u est n’importe quelle quantité (l’abscisse curviligne, le temps. . .) variant de manière continue et strictement
monotone le long du chemin de A à B.
2.
Définition du potentiel
Le champ créé en un point M par une charge Q fixe située en P vaut
~ Q (M) =
E
~r
Q
u
.
4 π ε0 r2
(I.15)
~ Q , d̄C = E
~ Q ·d~r ※9 .
Considérons un déplacement élémentaire d~r de M et calculons la circulation élémentaire de E
On a
~r ) = dr u
~r + r d~
d~r = d(r u
ur ,
(I.16)
donc
~ Q · d~r =
E
dr
Q
Q
Q
1
~
~
~
(dr
u
·
u
+
r
u
·
d~
u
)
=
=
−
d
,
r
r
r
r
2
2
4 π ε0 r
4 π ε0
r
4 π ε0 r
(I.17)
8. Uniquement si q est immobile pour l’équation (I.9). Sinon, une force magnétique apparaît.
9. Nous utilisons la notation « d̄C », avec un « d » barré, pour souligner que la circulation élémentaire est une quantité infinitésimale, mais
qu’on ne sait pas a priori si elle est égale à la différentielle d f d’une certaine fonction f (ici, « −V »), c.-à-d. à une variation infinitésimale
de f . La même distinction sera parfois faite pour d’autres quantités par la suite, notamment lorsqu’il y aura un risque de confusion.
La notation « δ » est également courante.
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~r · d~
~r (vecteur unitaire) en appliquant le résultat
où l’on a déduit que u
ur = 0 de la constance de la norme de u
du § I.d.1.a. Il existe donc une fonction
Q
VQ (M) =
telle que
4 π ε0 r
+ cte
(I.18)
~ Q · d~r.
dVQ = −E
(I.19)
※10
Cette fonction est appelée potentiel électrostatique
créé par la charge Q en M. Son unité dans le système
international est le volt (symbole « V »).
Pour un ensemble de charges Q1 , . . ., Qn , on a




X
X
X

X




~
~ i (M) · d~r =
~ i (M) · d~r = −
E(M)
· d~r = 
E
dVi (M) = −d
E
Vi (M).
(I.20)

i
i
i
i
Donc, pour tout champ électrostatique, il existe un potentiel électrostatique V tel que
~ · d~r ,
dV = −E
(I.21)
avec
V(M) =
X
Vi (M)
(I.22)
Qi
+ cte.
4 π ε0 Pi M
(I.23)
i
=
X
i
Noter que le potentiel V(M) créé en M par l’ensemble des charges (sauf q !) obéit au principe de superposition.
V est défini à une constante près, que l’on peut choisir arbitrairement. On adopte généralement la convention que V est nul à l’infini. On a alors cte = 0. Cette convention peut être inadaptée lorsque la distribution
de charges n’est pas bornée (c.-à-d. s’il y a des charges jusqu’à l’infini), par exemple pour un plan infini
uniformément chargé.
3.
Propriétés du potentiel électrostatique
~
Plusieurs propriété découlent de l’existence d’un potentiel V tel que dV
R = −E · d~r.
f c.-à-d. l’intégrale de chemin
~ r, ne dépend pas du chemin
~ sur un chemin AB,
I La circulation de E
f E · d~
AB
suivi mais seulement des points de départ et d’arrivée A et B. En effet,
Z
Z
~
E · d~r =
−dV = V(A) − V(B).
(I.24)
f
AB
f
AB
~ sur un chemin fermé (A = B) est nulle :
En corollaire, la circulation de E
I
~ · d~r = 0.
E
I
(I.25)
V ne dépend que de la position, donc, en coordonnées cartésiennes,
dV =
∂V
∂V
∂V
dx +
dy +
dz.
∂x
∂y
∂z
(I.26)
~x + dy u
~ y + dz u
~z , donc
Par ailleurs, d~r = dx u
~ · d~r = Ex dx + E y dy + Ez dz.
E
(I.27)
~ · d~r étant vraie quel que soit d~r, on a
L’égalité dV = −E
−−−→
~ = − grad V,
E
(I.28)
−−−→
où grad est l’opérateur gradient. En coordonnées cartésiennes, pour toute fonction scalaire f (~r ),
∂f
∂f
∂f
−−−→
~ f,
~x +
~y +
~z = ∇
grad f =
u
u
u
∂x
∂y
∂z
10.
(I.29)
Plus généralement, V désigne le potentiel scalaire, qui se réduit au potentiel électrostatique dans le cas où les sources sont immobiles.
Si ce n’est pas le cas, les expressions (I.21), (I.18), (I.24), (I.25) et (I.28) ne sont plus valables.
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~ est le « vecteur » ※11 nabla défini par
où ∇
∂
∂
∂
~ =u
~x
~y
~z
∇
+u
+u
.
∂x
∂y
∂z
(I.30)
~ est un vecteur, il est souvent plus commode de calculer V
Le potentiel étant un scalaire, alors que E
~
~
et d’en déduire E par l’équation (I.28) que de calculer directement E.
En coordonnées cylindriques,
donc
~ρ + ρ dφ u
~φ + dz u
~z ,
d~r = dρ u
(I.31)
∂
1 ∂
∂
~ =u
~ρ
~φ
~z
∇
+u
+u
.
ρ ∂φ
∂ρ
∂z
(I.32)
En coordonnées sphériques, gras
donc
I
I.e.
1.
~r + r dθ u
~θ + r sin θ dφ u
~φ ,
d~r = dr u
(I.33)
1 ∂
1
∂
∂
~ =u
~θ
~φ
~r
+u
+u
.
∇
r ∂θ
r sin θ ∂φ
∂r
(I.34)
Le potentiel est une fonction continue, sauf aux points où le champ tend vers l’infini. Ceci découle
~ · d~r : quand d~r tend vers 0, dV tend vers 0 si E
~ est fini dans le voisinage.
directement de dV = −E
Nous verrons en revanche au § II.e que le champ électrique est discontinu au voisinage d’une surface
chargée (et, a fortiori, d’une courbe chargée ou d’une charge ponctuelle).
Équipotentielles et lignes de champ
Équipotentielles
L’ensemble des points de l’espace dont le potentiel V(x, y, z) est égal à une certaine valeur constante C
constitue une équipotentielle (une surface, sauf cas dégénéré).
Pour tout déplacement élémentaire d~r dans une équipotentielle, la variation dV du potentiel est nulle
~ · d~r : E
~ est donc perpendiculaire à d~r. Le vecteur d~r
par définition d’une équipotentielle. Or dV = −E
~ est donc
étant infinitésimal et dans l’équipotentielle, il est tangent à celle-ci. En tout point, le champ E
~ le
perpendiculaire à l’équipotentielle locale. Par ailleurs, vu le signe « − » dans la relation entre dV et E,
champ électrique est dirigé vers les potentiels décroissants.
2.
Lignes de champ
On appelle ligne de champ le lieu des points de l’espace tels que le champ électrique est tangent à la
ligne de champ en tout point de celle-ci. Sauf cas dégénéré, une ligne de champ est une courbe de l’espace.
~ Comme E
~ est orthogonal en tout
Les lignes de champ sont orientées conventionnellement dans le sens de E.
point à l’équipotentielle en ce point, les lignes de champ sont perpendiculaires aux équipotentielles.
~ ∥ d~r, ce qu’on
Considérons un déplacement élémentaire d~r le long d’une ligne de champ ※12 . On a alors E
peut aussi écrire
~ × d~r = ~0 ,
E
(I.35)
ce qui fournit l’équation différentielle vectorielle (ou, de manière équivalente, trois équations différentielles
scalaires couplées) définissant une ligne de champ quelconque. En coordonnées cartésiennes, par exemple,


E y dz − Ez dy = 0,




Ez dx − Ex dz = 0,
(I.36)




 Ex dy − E y dx = 0.
La résolution de ces équations différentielles fait apparaître des constantes caractérisant la ligne de champ
passant par un point particulier.
~ n’est pas un vrai vecteur : par exemple, (∇
~ · ~f ) g , ( ~f · ∇)g.
~
11. Attention, ∇
12. Attention, ce déplacement n’est pas le même que celui considéré pour les équipotentielles.
14
Michel Fioc
3.
Électromagnétisme et électrocinétique (2P021)
UPMC, 2016/2017
Cas d’une charge ponctuelle
Dans le cas d’une charge ponctuelle, les lignes de champ sont radiales (ce sont des demi-droites passant par
la charge). Elles divergent de la charge si celle-ci est positive et convergent vers celle-ci si elle est négative.
Les équipotentielles sont des sphères (c.-à-d. des surfaces sphériques, par opposition aux boules, qui sont
pleines). Le potentiel décroît vers l’extérieur si la charge est positive et croît si elle est négative. Il vaut +∞
à l’emplacement d’une charge ponctuelle dans le premier cas et −∞ dans le second.
I.f.
1.
Distribution continue de charges
~ et V
Expression de E
Les expressions (I.11) et (I.23) sont données pour une distribution discrète de charges. Pour des distributions continues de charges dans un volume V, sur une surface S ou sur une courbe C, il suffit de faire les
substitutions suivantes :
Distr. discrète
Distr. volumique
Distr. surfacique
Distr. linéique
Pi
P∈V
P∈S
P∈C
Qi
P
ρ(P) d̄τ
#
σ(P) d̄S
!
λ(P) d̄`
R
i
P∈V
P∈S
P∈C
Les quantités ρ(P), σ(P) et λ(P) sont, respectivement, les densités volumique, surfacique ou linéique de
charge au point P, et d̄τ, d̄S et d̄` sont les éléments de volume, de surface (c.-à-d. l’aire infinitésimale) ou de
longueur autour de P.
Le champ créé en M par une distribution volumique de charges occupant un volume V est ainsi donné
par ※13
−−→
$
ρ(P) PM
1
~
E(M) =
d̄τ.
(I.37)
4 π ε0
PM 3
P∈V
De même,
V(M) =
1
4 π ε0
$
P∈V
ρ(P)
PM
d̄τ
(I.38)
(avec la convention V(∞) = 0).
Il est généralement plus simple, si l’on n’applique pas le théorème de Gauss (cf. chap. II), de calculer le
potentiel et d’en déduire le champ que de faire l’inverse : il y a moins d’intégrales à calculer, puisque V est
~ est vectoriel ; par ailleurs, pour obtenir E,
~ il suffit de calculer le gradient de V, c.-à-d. de
scalaire alors que E
le dériver, tandis que l’inverse requiert une intégration sur un chemin.
Pour un mélange de distributions de plusieurs types (discrète, surfacique, etc.), il faut calculer le potentiel
ou le champ créé par chacune et appliquer le principe de superposition.
2.
Application : sphère et boule uniformément chargées
a.
Sphère uniformément chargée
Considérons une sphère [creuse] S (c.-à-d. une surface sphérique) de centre O et de rayon R portant une
charge Q uniformément répartie. Le potentiel créé en un point M à une distance r de O vaut
"
σ
VS (M) =
d̄S(P) ,
(I.39)
4
π
ε
0 PM
P∈S
où σ = Q/(4 π R2 ) est la charge surfacique (uniforme) sur la sphère et d̄S est un élément de surface de celle-ci,
centré en P. Pour simplifier les calculs, prenons un axe (Oz) orienté vers M et utilisons les coordonnées
sphériques. On a d̄S = R2 sin θ dθ dφ et
−−→ −−→
−−→ −−→
PM2 = (PO + OM)2 = PO2 + OM2 + 2 PO · OM = R2 + r2 − 2 R r cos θ ,
(I.40)
13.
On peut intégrer, de manière équivalente, sur tous les points P de l’espace, puisque ρ(P) = 0 hors du volume occupé par la distribution
de charges.
15
Michel Fioc
Électromagnétisme et électrocinétique (2P021)
UPMC, 2016/2017
−−→ −−→
car θ = (OMb, OP), donc
Z
VS (M) =
=
π
Z
2π
σ
√
4 π ε0 R2 + r2 − 2 R r cos θ
sin θ
dθ.
√
2
2
θ=0
R + r − 2 R r cos θ
θ=0
φ=0
Z π
2
σR
2 ε0
R2 sin θ dθ dφ
(I.41)
(I.42)
Faisons le changement de variable θ 7→ u = R2 + r2 − 2 R r cos θ. On a
du
= 2 R r sin θ ,
dθ
u(θ = 0) = (R − r)2 et u(θ = π) = (R + r)2 , d’où
Z (R+r)2
du
σR
σ R h√ i(R+r)2
σR
(R + r − |R − r|).
VS (M) =
u
=
√ =
2
u=(R−r)
2 ε0 r u=(R−r)2 2 u
2 ε0 r
2 ε0 r
(I.43)
(I.44)
Il faut distinguer deux cas :
I si M est à l’intérieur de la sphère, r 6 R, donc |R − r| = R − r et
VS (M) =
I
Q
σR
C VSint (r) ;
=
ε0
4 π ε0 R
(I.45)
si M est à l’extérieur de la sphère, r > R, donc |R − r| = r − R et
VS (M) =
Q
σ R2
=
B VSext (r).
ε0 r
4 π ε0 r
(I.46)
Remarquer que VS est continu en r = R :
VS (R− ) = VSint (R) = VSext (R) = VS (R+ ).
(I.47)
Calculons maintenant le champ électrostatique :
I à l’intérieur de la sphère, VSint = cte, donc
−−→
~ int = − −
E
grad VSint = ~0 ;
S
I
(I.48)
à l’extérieur de la sphère,
~ ext = −
E
S
∂VSext
∂r
~r −
u
ext
∂VSext
Q
1 ∂VS
1
~r .
~θ −
~φ =
u
u
u
r ∂θ
r sin θ ∂φ
4 π ε0 r2
(I.49)
~ S est discontinu en r = R :
Remarquer que E
~ S (R+ ) = E
~ ext (R) = Q/(4 π ε0 R2 ) u
~r
E
S
~ S (R− ) = E
~ int (R) = ~0.
,E
S
b.
(I.50)
Boule uniformément chargée
Considérons une boule [pleine] B (c.-à-d. un volume sphérique) de centre O et de rayon R portant une
charge Q uniformément répartie. Le potentiel créé en un point M à une distance r de O vaut
$
ρ
dτ(P) ,
(I.51)
VB (M) =
P∈B 4 π ε0 PM
où ρ = 3 Q/(4 π R3 ) est la charge volumique (uniforme) dans la boule et d̄τ est un élément de volume de
celle-ci, centré en P. On a
! Z R
Z R Z π Z 2π
ρ dR0
VB (M) =
R02 sin θ dθ dφ =
d̄VS(R0 ) (M) ,
(I.52)
R0 =0
θ=0 φ=0 4 π ε0 PM
R0 =0
où d̄VS(R0 ) (M) est le potentiel créé en M par une coquille sphérique de rayon R0 et d’épaisseur infinitésimale
dR0 . Le potentiel créé par cette coquille est égal à celui d’une sphère de rayon R0 portant la charge surfacique
σ = ρ dR0 , déjà connu (équations (I.45) et (I.46)).
Si M est à l’extérieur de la boule, M est à l’extérieur de toutes les coquilles sphériques, donc
Z R
ρ R3
ρ R02
Q
ext
dR0 =
=
.
(I.53)
VB
(M) =
ε
r
3
ε
r
4
π
ε0 r
0
0
0
R =0
16
Michel Fioc
Électromagnétisme et électrocinétique (2P021)
UPMC, 2016/2017
ext
L’expression de VB
étant la même que dans le cas d’une sphère uniformément chargée, on a encore
~ ext = −
E
B
ext
∂VB
∂r
~r −
u
ext
ext
∂VB
Q
1 ∂VB
1
~r .
~θ −
~φ =
u
u
u
r ∂θ
r sin θ ∂φ
4 π ε0 r2
(I.54)
En revanche, si M est à l’intérieur de la boule, M est à l’extérieur de toutes les coquilles de rayon R0 6 r
et à l’intérieur de celles de rayon R0 > r, donc
Z r
Z R
ρ R02
ρ R0
ρ r2
ρ
ρ r2
ρ R2
int
0
VB (M) =
dR +
dR0 =
+
(R2 − r2 ) = −
+
.
(I.55)
3 ε0
2 ε0
6 ε0
2 ε0
R0 =0 ε0 r
R0 =r ε0
Le champ électrique à l’intérieur de la boule vaut
~ int =
E
B
ρr
Qint (r)
Q r3
1
~r =
~r ,
~r =
u
u
u
3
2
3 ε0
R 4 π ε0 r
4 π ε0 r2
(I.56)
où Qint (r) = Q r3 /R3 est la charge à l’intérieur de la sphère de rayon r.
Remarques :
~ B est continu en r = R. C’est un résultat que nous démontrerons
I Quand r → R− , Qint (r) → Q, donc E
~
au § II.e : E est discontinu de part et d’autre d’une distribution surfacique de charges mais ne l’est pas
pour une distribution volumique. Le potentiel V, lui, est continu dans les deux cas.
~ et V ont la même expression que
I Dans tous les cas (sphère ou boule, M à l’intérieur ou à l’extérieur), E
pour une charge ponctuelle au centre de la sphère et de charge égale à la charge Qint (r) à l’intérieur
de la sphère de rayon r : la charge à l’extérieur ne joue pas. Ce résultat est plus généralement valable
pour toute distribution de charges admettant une symétrie sphérique.
I.g.
Symétries et invariances en électrostatique
1.
Définitions
a.
Plans de symétrie et d’antisymétrie
On s’intéresse aux symétries ou antisymétries par rapport à un plan P. Dans ce qui suit, M désigne un
point quelconque, M0 = symP M son symétrique par rapport à P, f une fonction scalaire (c.-à-d. à valeurs
réelles ou complexes) de la position et ~f une fonction vectorielle.
i.
Symétrique d’un vecteur
Tout vecteur ~
v peut s’écrire ~
v=~
v∥ + ~
v⊥ , où ~
v∥ est la composante parallèle à P et ~
v⊥ est la composante
normale. Le symétrique de ~
v par rapport au plan P est le vecteur
~Bv
~∥ − v
~⊥ .
symP v
ii.
Plan de symétrie
Posons ~
v = ~f (M) et ~
v 0 = ~f (M0 ), où M0 = symP M.
P est un plan de symétrie de la fonction scalaire f si, pour tout M, on a f (M 0 ) = + f (M).
P est un plan de symétrie de la fonction vectorielle ~f si, pour tout M, on a
~ 0 = +symP v
~,
v
iii.
c.-à-d. ~
v∥0 = +~
v∥
v⊥ .
et ~
v⊥0 = −~
(I.57)
Plan d’antisymétrie
P est un plan d’antisymétrie de f si, pour tout M, on a f (M 0 ) = − f (M).
P est un plan d’antisymétrie de ~f si, pour tout M, on a
~ 0 = −symP v
~,
v
b.
i.
v∥
c.-à-d. ~
v∥0 = −~
et ~
v⊥0 = +~
v⊥ .
(I.58)
Invariances
Invariance par translation
Une fonction scalaire ou vectorielle ~f est invariante par translation( )d’axe D
si, pour tout point M et
( )
toute translation T parallèle à D (quel que soit le déplacement), on a ~f(M 0 ) = ~f(M), où M 0 = T(M).
( )
17
Michel Fioc
ii.
Électromagnétisme et électrocinétique (2P021)
UPMC, 2016/2017
Invariance par rotation
Une fonction scalaire f est invariante par rotation d’axe D si, pour tout point M et toute rotation R
d’axe D (quel que soit l’angle), on a f (M 0 ) = f (M), où M 0 = R(M).
Une fonction vectorielle ~f est invariante par rotation d’axe D si, pour tout point M et toute rotation R
d’axe D, on a ~f (M 0 ) = R( ~f [M]), où M 0 = R(M).
( )
On dit aussi que ~f admet une symétrie cylindrique ※14 d’axe D ; il est alors généralement judicieux d’utiliser
( )
les coordonnées cylindriques d’axe (Oz) = D pour étudier les propriétés des quantités dérivées de ~f . La
symétrie cylindrique correspond à la symétrie (plane) par rapport à n’importe plan contenant D. Un objet
possédant une propriété à symétrie cylindrique est dit axisymétrique (d’axe D) pour cette propriété.
( )
Si ~f est invariante par rotation de centre O (c.-à-d., pour toute rotation d’axe D quelconque passant par le
point O), on dit qu’elle admet une symétrie sphérique ※15 de centre O ; les coordonnées sphériques d’origine O
sont alors souvent préférables. La symétrie sphérique correspond à la symétrie (plane) par rapport à n’importe
plan contenant O. Un objet possédant une propriété à symétrie sphérique est dit isotrope (en O) pour cette
propriété.
2.
~ et V
Symétries et invariances de E
a.
Symétries
Considérons deux charges q et q0 placées en des points symétriques P et P0 symétriques par rapport à un
plan P et calculons le champ créé en deux points M et M0 symétriques par rapport à P. On a
 −−→
−−0−→ 
 PM
P M  ~
1
0
q
~
~
(I.59)
+ q 0 3  = E
E(M)
=
∥ (M) + E⊥ (M)

3
4 π ε0
PM
PM
avec
1
~ ∥ (M) =
E
4 π ε0
 −−→
−−0−→ 

 PM∥
0 P M∥ 

q
+
q


PM3
P0 M3 
De même,
1
~
E(M
)=
4 π ε0
0
avec
~ ∥ (M0 ) =
E
1
4 π ε0
 −−→
−−0−→ 

 PM⊥
0 P M⊥ 

q
 PM3 + q P0 M3 .
1
4 π ε0
(I.60)
 −−−→
−−0−→0 
 PM0
P M  ~
0
0
0
q
~
 PM03 + q P0 M03  = E∥ (M ) + E⊥ (M )
 −−−→
−−0−→0
 PM0 ∥
0 P M ∥
q
+ q 0 03

PM03
PM
Or,
et
~ ⊥ (M) =
et E




~ ⊥ (M0 ) =
et E
1
4 π ε0
 −−−→
−−0−→0
 PM0 ⊥
0 P M ⊥
q
+
q
 PM03
P0 M03
(I.61)


.

(I.62)
PM0 = P0 M,
−−−→0
−−−→
PM ∥ = +P0 M∥ ,
−−−→
−−−→0
PM ⊥ = −P0 M⊥
(I.63)
P0 M0 = PM,
−−0−→0
−−→
P M ∥ = +PM∥ ,
−−0−→0
−−→
P M ⊥ = −PM⊥ ,
(I.64)
d’où
~ ∥ (M0 ) =
E
1
4 π ε0
et
~ ⊥ (M0 ) =
E
1
4 π ε0
 −−−→
−−→
 P0 M∥
0 PM∥
q
+q

P0 M3
PM3

−−0−→
−−→

−q P M⊥ − q0 PM⊥

P0 M3
PM3




(I.65)


.

(I.66)
~ ∥ (M0 ) = +E
~ ∥ (M) et E
~ ⊥ (M0 ) = −E
~ ⊥ (M) : la symétrie de la distribution de charges
Si q0 = +q, on a donc E
~ ⊥ (M) = −E
~ ⊥ (M), c.-à-d.
entraîne donc celle du champ. En particulier, pour M sur le plan, on a M0 = M, donc E
~
~
~
~
~
E⊥ (M) = 0 et E(M) = E∥ (M) : pour un point du plan, E est dans le plan.
~ ∥ (M0 ) = −E
~ ∥ (M) et E
~ ⊥ (M0 ) = +E
~ ⊥ (M) : l’antisymétrie de la distribution de charges
Et si q0 = −q, on a E
~ ∥ (M) = −E
~ ∥ (M), c.-à-d.
entraîne donc celle du champ. En particulier, pour M sur le plan, on a M0 = M, donc E
~ ∥ (M) = ~0 et E(M)
~
~ ⊥ (M) : pour un point du plan, E
~ est perpendiculaire au plan.
E
=E
Le même genre de raisonnement s’applique au potentiel. Tout ceci se généralise à un plus grand nombre
de sources.
14. À distinguer d’une symétrie axiale, qui est une invariance par rotation autour d’un axe de π rad seulement.
15. À distinguer d’une symétrie centrale, qui est une invariance par rotation autour d’un point de π rad seulement.
18
Michel Fioc
Électromagnétisme et électrocinétique (2P021)
UPMC, 2016/2017
~ et le potentiel
Les conséquences des symétries de la distribution de charges sur le champ électrique E
scalaire V ※16 sont résumées dans le tableau suivant :
Type de symétrie de la distribution de charges
b.
symétrique par rapport à P
antisymétrique par rapport à P
~
Type de symétrie de E
et V par rapport à P
~ et V symétriques
E
~ et V antisymétriques
E
Pour M ∈ P
~∥P
E
~ ⊥ P,
E
V=0
Invariances
~ et
Invariance par translation. Si la distribution de charges est invariante par translation d’axe D, alors E
V le sont aussi.
~ et V peuvent dépendre des variables x et y, ou de ρ et
~z , par exemple, alors ρ, E
Si D est parallèle à u
~
~z .)
φ, mais pas de z. (Le vecteur E peut en revanche avoir une composante selon le vecteur u
~ et V le
Invariance par rotation. Si la distribution de charges est invariante par rotation d’axe D, alors E
sont aussi.
~ (c.-à-d. Eρ , etc.,
~z ), les composantes scalaires ※17 dans les bases cylindrique et sphérique de E
Si D = (O, u
~ρ . . .) peuvent dépendre des variables ρ et z, ou de r et θ, mais pas
pas les composantes vectorielles Eρ u
de φ.
~ par rotation autour d’un axe D si ρ est invariante par rotation
Montrons par exemple l’invariance de E
autour de cet axe. Soit R une rotation d’axe D et M0 = R(M) un point. On a
−−→
$
ρ(P) PM
1
~
E(M) =
d̄τ(P)
(I.67)
4 π ε0
PM3
P
et
~ 0) =
E(M
1
4 π ε0
$
P0
−−−→
ρ(P0 ) P0 M0
d̄τ(P0 ).
P0 M03
(I.68)
−−−→
−−→
Pour tout point P0 , il existe un et un seul point P tel que P0 = R(P). On a alors P0 M0 = R(PM), P0 M0 = PM et
0
d̄τ(P ) = d̄τ(P), donc
−−→
$
ρ(R[P]) R(PM)
1
0
~
E(M ) =
d̄τ(P).
(I.69)
4 π ε0
PM3
P
La distribution de ρ étant invariante, ρ(R[P]) = ρ(P). Comme R est en outre une application linéaire et que
l’intégrale correspond à une somme, on a


−−→
−−→
$
 1 $ ρ(P) PM

ρ(P)
R(
PM)
1

 = R(E[M]).
~ 0) =
~
d̄τ(P)
=
R
d̄τ(P)
E(M
(I.70)


 4 π ε0
4 π ε0
PM3
PM3
P
P
I.h.
Énergie potentielle électrostatique
1.
Charges discrètes
a.
Énergie potentielle d’interaction entre deux charges
Considérons d’abord deux charges ponctuelles qi et q j situées en Mi et M j , et calculons le travail élémentaire d̄Wint ({qi , q j }) des forces intérieures au système {qi , q j } quand les charges subissent des déplacements
16.
17.
Pour le potentiel, ce qui suit ne vaut qu’avec l’expression (pour une distribution volumique)
$
ρ(P)
V(M) =
d̄τ,
4
π
ε0 PM
P
c.-à-d. avec la convention V(r → ∞) = 0.
~ρ , u
~φ , u
~r ou u
~θ et donc dépendre de φ par ce biais.
Attention, le vecteur lui-même peut très bien avoir une composante selon u
~ = E(r) u
~r (θ, φ) pour le champ créé par une charge ponctuelle.
Exemple : E
19
Michel Fioc
Électromagnétisme et électrocinétique (2P021)
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−−−→
−−−→
élémentaires dOMi et dOM j , où O est un point fixe. (Ces déplacements sont supposés très lents, sinon la loi
de Coulomb n’est pas applicable.) Par définition,
−−→ ~
−−−→
~i→ j · d−
d̄Wint ({qi , q j }) = F
OM j + F
(I.71)
j→i · dOMi .
~ j→i = −F
~i→j (3e loi de Newton),
Comme F
−−→
−−−→
−−−→
~i→ j · (d−
~i→j · d−
d̄Wint ({qi , q j }) = F
OM j − dOMi ) = F
Mi M j
−−−−→
qi q j
qi q j
Mi M j
Mi M j
−−−−→
=
· dMi M j =
d(Mi M j )
3
4 π ε0 (Mi M j )
4 π ε0 (Mi M j )3
(I.72)
d’après le § I.d.1.a, donc
d̄Wint ({qi , q j }) =
qi q j
d(Mi M j )
4 π ε0 (Mi M j )2
=−
qi q j
4 π ε0
d
1
Mi M j
!
= −d(q j Vqi (M j )).
(I.73)
Pour simplifier, posons Vi, j = Vqi (M j ). Le travail des forces intérieures au système {qi , q j } est donc
d̄Wint ({qi , q j }) = −dEp (qi ↔ q j ) ,
où
Ep (qi ↔ q j ) =
qi q j
4 π ε0 Mi M j
= q j Vi, j = qi V j, i =
(I.74)
1
(qi V j, i + q j Vi, j )
2
(I.75)
est l’énergie potentielle d’interaction entre qi et q j , c.-à-d. l’énergie potentielle interne du système {qi , q j }. Pour
souligner ceci, nous la noterons également « Eint
p ({qi , q j }) ».
b.
Énergie potentielle d’interaction entre n charges
Faisons maintenant le même calcul pour un système de charges S = {q1 , q2 , . . ., qn }. Le travail élémentaire
−−−→
des forces intérieures au système quand les charges se déplacent de dOMi est


XX
XX
X X

−
−
−
→
−
−
−
→
−
−
−
→
1


~ j→i · dOMi +
~i→ j · dOM j 
~ j→i · dOMi =
F
F
(I.76)
d̄Wint (S) =
F


2 
j ¦ j,i
i
i
j ¦ j,i
j
i, j
pusique la deuxième somme du dernier terme est égale à la première (les indices sont muets). Le facteur
« 1/2 » permet de ne compter qu’une seule fois chaque paire {qi , q j } (sinon, on compte une fois le couple (qi , q j )
et une fois le couple (q j , qi ), or il s’agit de la même paire).
P P
P P
~i→ j = −F
~ j→i ,
Comme i j ¦ j,i = j i, j et que F
−−−→ −−−→
1 XX
1 XX~
d̄Wint (S) =
F j→i · d(OMi − OM j ) = −
dEp (qi ↔ q j ) = −dEint
(I.77)
p (S) ,
2
2
i
j ¦ j,i
i
j ¦ j,i
où l’énergie potentielle d’interaction entre toutes les particules du système vaut
1 X X
1 X X
Eint
(S)
=
E
(S
↔
S)
=
E
(q
↔
q
)
=
qi V j, i
p
p
i
j
p
2 i j ¦ j,i
2 i j ¦ j,i
1 X
=
qi VS, i ,
2 i
P
et VS, i = j ¦ j,i V j, i est le potentiel créé en i par les autres charges de la distribution S.
(I.78)
(I.79)
L’énergie potentielle électrostatique interne du système est le travail qu’un opérateur devrait fournir, en
l’absence d’autres forces que les interactions électrostatiques entre les particules du système, pour amener
celles-ci de manière quasi-statique (c.-à-d. avec une vitesse infinitésimale) depuis l’infini (c.-à-d. quand
elles sont à des distances infinies les unes des autres ; état « infini ») jusqu’à leurs positions présentes,
~op→i que l’opérateur doit exercer sur la charge qi pour que
(M1 , . . ., Mn ), (état « présent »). En effet, la force F
le déplacement de celle-ci soit quasi-statique est donnée (puisque l’accélération de qi doit être nulle) par
~op→i = −F
~S→i ,
F
20
(I.80)
Michel Fioc
Électromagnétisme et électrocinétique (2P021)
UPMC, 2016/2017
~S→i est la force exercée sur qi par les autres charges du système. On a donc d̄Wop→S = − d̄Wint (S), soit
où F
Z présent
Z présent
d̄Wint (S)
d̄Wop→S = −
Wop→S =
Z
infini
présent
=
infini = Eint
p [S]
puisque Eint
p [S]
infini
infini
int
dEint
p (S) = Ep [S]
présent
présent
− Eint
p [S]
infini
,
(I.81)
= 0.
L’expression (I.78) peut être réécrite
Eint
p (S) =
X X
i
qi V j, i .
(I.82)
j ¦ j<i
La condition « j < i » dans la somme intérieure permet de ne compter qu’une seule fois chaque paire {i, j} et de
se débarrasser du facteur 1/2. L’expression (I.82) illustre le fait que Eint
p (S) correspond à l’énergie fournie au
système lors du processus suivant : les particules q1 , . . ., qn sont amenées depuis l’infini jusqu’à leur position
finale l’une après l’autre ; lorsque qi est déplacée,
les particules q j avec j < i ont déjà été fixées à leurs positions
P
finales, donc le travail fourni à qi est qi j ¦ j<i V j, i .
2.
Décomposition en sous-systèmes
Quelles que soient les interactions en jeu, on peut toujours décomposer l’énergie potentielle interne d’un
système S ∪ S0 constitué de sous-systèmes S et S0 disjoints (c.-à-d. avec S ∩ S0 = ∅) de la manière suivante :
0
int
int 0
0
Eint
p (S ∪ S ) = Ep (S) + Ep (S ) + Ep (S ↔ S ) ,
(I.83)
int 0
0
0
0
où Eint
p (S) = Ep (S ↔ S), Ep (S ) = Ep (S ↔ S ) et Ep (S ↔ S ) est l’énergie potentielle d’interaction entre S et
0 ※18
S
. Pour des interactions électrostatiques,
X X
X
X
Ep (S ↔ S0 ) =
Ep (qi ↔ q0j ) =
qi VS0 , i =
q0j VS, j .
(I.84)
qi ∈S q0 ∈S0
qi ∈S
j
q0 ∈S0
j
Si S ∪ S0 est un système isolé, en particulier si S ∪ S0 est l’Univers tout entier, Ep (S ↔ S0 ) représente l’énergie
0
potentielle externe de S, Eext
p (S) (de même que celle de S ).
3.
Charges extérieures fixes les unes par rapport aux autres
Reprenons l’équation (I.83) dans le cas où les sources de S0 sont fixes (ou, plus généralement, à distance
0
fixe les unes des autres). La quantité Eint
p (S ) est alors une constante. L’énergie potentielle étant définie à une
constante près, on peut écrire
0
int
0
Eint
(I.85)
p (S ∪ S ) = Ep (S) + Ep (S ↔ S ).
0
Si S ∪ S0 est en outre isolé, Eint
p (S ∪ S ) peut être qualifiée d’énergie potentielle totale de S et
int
ext
Etot
p (S) = Ep (S) + Ep (S).
(I.86)
En particulier, si S ne contient qu’une seule charge q située en M, Eint
p (S) = 0 et
Etot
p ({q}) = q Vext (M).
4.
Cas d’une distribution continue
L’expression (I.79) se généralise au cas d’une distribution continue de matière :
$
1
int
Ep (S) =
ρ(P) V(P) d̄τ,
2
P∈S
18.
(I.87)
(I.88)
0
int
int 0
0
Noter que Eint
p (S ∪ S ) , Ep (S) + Ep (S ). Dans les situations habituellement étudiées en thermodynamique classique, où S et S
0
0
int
sont des systèmes macroscopiques occupant des espaces distincts, on peut cependant souvent négliger Ep (S ↔ S ) devant Ep (S)
0
int
0
int
int 0
et Eint
p (S ) ; l’énergie interne est alors une quantité extensive : Ep (S ∪ S ) ≈ Ep (S) + Ep (S ).
21
Michel Fioc
Électromagnétisme et électrocinétique (2P021)
UPMC, 2016/2017
où ρ est la densité volumique de charges de S, V est le potentiel créé en P par toutes ces charges et d̄τ est un
volume infinitésimal autour de P. Remarquer que, dans cette expression, V est aussi produit par les charges
situées en P, contrairement au cas d’une distribution discrète. Appliquer (I.88) au cas d’une distribution
discrète ajouterait à l’expression (I.79) des termes infinis, mais constants si les particules sont inaltérables. Il
existe des procédures, dites de « renormalisation », pour éliminer ces infinis, mais cela sort du cadre de ce
cours.
#
Par ailleurs, le domaine d’intégration de
ρ V d̄τ peut être étendu à l’Univers tout entier puisque ρ = 0
hors de la zone où sont localisées les charges de S.
De la même manière, l’énergie potentielle d’interaction entre S et S0 donnée par l’équation (I.84) devient
$
$
Ep (S ↔ S0 ) =
ρ(P) V 0 (P) d̄τ =
ρ0 (P0 ) V(P0 ) d̄τ0 ,
(I.89)
P0 ∈S0
P∈S
où V (P) est le potentiel créé par la densité volumique ρ des charges de S0 au point P de S et d̄τ0 est un
volume élémentaire autour de P0 .
0
0
L’énergie interne peut toutefois ne pas être extensive en présence d’interactions à longue portée (force en 1/r2 : cas des systèmes
auto-gravitants) ou si la taille de l’interface entre les systèmes est comparable à la taille des systèmes (phénomènes de capillarité).
Noter que, si les systèmes sont électriquement neutres, l’interaction électrostatique entre eux n’est pas à longue portée (force en
O(1/r3 ) ; cf. chap. III).
22