Les langages.

1
Les langages.
Si tu ne joues pas
avec les mots
ils se joueront
de toi !
Nous allons consid´ erer des listes finies de symboles, et des ensembles homog` enes de telles listes : d’une
fac¸on g´ en´ erale une liste finie de symboles s’appellera un
mot et un ensemble de mots s’appellera un
langage . Cependant, ce vocabulaire n’est pas adapt´ e` a toutes les situations :
•Lorsque les symboles sont des caract` eres, ces listes sont bien des mots au sens courant du terme, mais
un ensemble de mots constitue simplement un lexique. Les mots d’un mˆ eme ensemble “homog` ene” con-
stituent
une unit´ elexicale . Dans le cas qui nous int´ eresse principalement, les unit´ es lexicales sont les lan-
gages r´ eguliers
dont la d´ efinition se fait au moyen d’expressions formelles appel´ ees expressions r´ eguli` eres :
une telle expression est un “mod` ele” (ou un “motif”) des mots qui appartiennent ` al’unit
´
e qu’elle d´ efinit.
L’analyse lexicale ,c’est–
`
a–dire l’op´ eration qui consiste ` ad
´
eterminer ` a quelle unit´ e lexicale appartient un
mot donn´ e, se fait au moyen d’
automates finis . LEX est un utilitaire qui traduit une sp´ ecification d’unit´ es
lexicales donn´ ees sous la forme d’expressions r´ eguli` eres, en un programme d’analyse lexicale, dont le
fonctionnement est bas´ esurlaconsid
´
eration d’automates finis.
•Lorsque les symboles sont d´ ej` a des mots (au sens du premier point) ces listes sont des phrases et un
ensemble sp´ ecifi´ e de telles phrases constitue alors
un langage :lesr
`
egles qui r´ egissent la formation d’une
phrase d’un langage forment une
grammaire du langage en question. Les grammaires des langages de
programmation sont simples car ce sont essentiellement des processus inductifs.
L’analyse syntaxique ,
c’est–` a–dire la mise en ´ evidence de la structure d’une phrase, se fait au moyen d’
automates ` apile :YACC
est un utilitaire qui traduit la donn´ ee d’une grammaire en un programme d’analyse syntaxique dont le
fonctionnement est bas´ esurlaconsid
´
erationd’unautomate` apile.
Lesanalyseurssontactifs,c’est–
`
a–dire capables d’effectuer une action ` a chaque reconnaissance d’une
unit´ elexicaleoud’uner
`
egle de grammaire : en particulier, un analyseur lexical (par exemple, produit par
LEX) devra alimenter un analyseur syntaxique (par exemple, produit par YACC) en unit´ es lexicales; ce
dernier est souvent charg´ ed’und
´
ebut de traduction.
Ces deux analyses, appliqu´ ees ` a
un programme source , sont les premi` eres ´ etapes de la compilation .L’´ etape
suivante est
l’analyse s´ emantique qui attribue un “sens” au r´ esultat obtenu. Apr` es cette phase analytique,
vient la production d’
un code machine :eng
´
en´ eral, on passe par un code interm´ ediaire ,ind
´
ependant de
toute machine, qui permet d’effectuer diverses op´ erations importantes, notamment
l’optimisation (une
expression optimiste qui signifie plutˆ ot “am´ elioration”).
ne telle pr´ esentation de la compilation est tr` es sch´ ematique (en particulier, les analyses ne sont
pas ind´ ependantes l’une de l’autre), mais il faut savoir que les outils qui sont ` a notre disposition
(les th´ eories d´ evelopp´ ees dans le cours ainsi que LEX et YACC, qui en appliquent une grande partie)
permettent effectivement de construire des compilateurs pour des langages non triviaux.
Dans ce chapitre, nous donnons les notions de base relatives aux langages : il s’agit de poser quelques
d´ efinitions et de v´ erifier des propri´ et´ es qui seront utiles dans toute la suite.
Th´eorie des langages. M.M Institut Galil´ee 2004

2Chapitre 1
1–Lesmots.
•Nous appellerons alphabet un ensemble Ade symboles : cette expression est souvent ` a prendre dans
le sens courant de
lettres ou de caract` eres ; nous reviendrons ` alafindecettesectionsurlafac¸on dont on
doit l’interpr´ eter de fac¸on plus g´ en´ erale.
A partir du chapitre 2, nous ne consid´ ererons que des alphabets finis mais cette restriction n’est jamais
utiledanslepr
´
esent chapitre.
•Un mot est une “chaˆ ıne de caract` eres” ou plutˆ ot, une “chaˆ ıne de symboles” : la d´ efinition qui suit
n’est qu’une repr´ esentation sous forme de tableau, ind´ ependante de tout langage de programmation
particulier.
Les mots
Un mot sur l’alphabet Aest une application
u:{1,...,m}→A
o` umest un entier appel´ e la longueur de uet not´ e|u|et o` u{1,...,m}est l’ensemble des entiers naturels
itels que 1≤i≤m.
Chaque valeur u(i)prise par uest appel´ ee un symbole , une lettre ou un caract` ere de u(lorsque l’on pense
`
aucomme `
aunv
´
eritable tableau, on peut noter u[i]au lieu de u(i)). Si u(i)=x,ondiraqueu(i) est
une occurrence de
x dans u:unmotpeut´ evidemment comporter plusieurs occurrences distinctes d’un
mˆ eme symbole.
L’ensemble des mots sur un alphabet
L’ensemble des mots sur l’alphabet A est d´ esign´ epar A∗ .
1.1 – D´ efinitions de base.
Soit u∈A
∗.
•Lorsque |u|=0,u:∅→Aest le mot sans caract` ere ,quiestnot
´
eε.
Attention.
e mot est commun ` a tous les alphabets et bien que εsoit traditionnellement appel´ e“lemotvide”,
c’est tout de mˆ eme un mot; je veux dire qu’il ne joue pas un rˆ ole comparable ` a celui de l’ensemble
vide : pour faire une analogie avec les nombres entiers, il se comporte comme 1et non pas comme 0.
•Lorsque |u|=1,u:{1}→Aest d´ efini par le seul caract` ere u(1) ∈A.Ilestnatureld’identifierun
´
el´ ement de Aau mot de longueur 1qu’il d´
efinit.
Cette identification se traduit par une convention d’´ ecriture (on dit aussi un “abus de notation”) que l’on
peut symboliser par
A⊆A
∗
•L’ o p ´ eration d’ adjonction d’une occurrence ` adroite d’un mot A∗×A → A
∗se d´
efinit de la fac¸on
suivante :
pour tout mot u:{1,...,m}→Aet tout symbole x∈A,ux :{1,...,m+1}→Aest le mot d´
efini
par :
ux(i)=u(i)pour tout i∈{1,...,m},
ux(m+1)=x.
Par exemple, εx =xsi, comme il a ´
et´ e convenu ci–dessus, on identifie le symbole xavec le mot de
longueur 1qu’il d´
efinit.
On doit aussi remarquer que |ux|=|u|+1.
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Section 1 3
1.2 – R´ ecurrence sur les mots bas´ ee sur l’adjonction d’occurrences ` adroite.
Un cas important de raisonnement par r´ ecurrence est bas´ e sur la construction des ´ el´ ements de A∗,`
apartir
du mot vide, par l’op´ eration d’adjonction d’une occurrence ` adroite.
Les deux clauses suivantes :
–ε∈A
∗
– pour tout x∈A:siu∈A
∗alors ux ∈A ∗
constituent une d´ efinition inductive de A∗,c’est–
`
a–dire qu’un ´ el´ ement de A∗ou bien est εou bien
s’obtient ` apartird’un´ el´ ement de A∗par adjonction d’un caract`
ere ` adroite.Deplus,chaque´ el´ ement
de A∗admet une construction unique `
apartirdeεpar adjonctions successives de caract` eres ` adroite.
Voici un exemple d’une telle construction :
ε(´ etape initiale)
εa =a(adjonction de a)
aa (adjonction de a)
aab (adjonction de b)
En tenant compte de la remarque ci–dessus, il est clair que la mention du mot sans caract` ere εn’est
indispensable que dans l’´ etape initiale. On convient tout naturellement de ne plus l’´ ecrire d` es qu’un mot
comporte au moins une occurrence d’un symbole.
On est conduit ` alarepr
´
esentation naturelle suivante : u:{1,...,m}→Aest repr´
esent´ eparla
juxtaposition de ses caract` eres successifs, c’est–` a–dire par u(1) ...u(m).
Lorsqu’elle n´ ecessitel’usagedepointill
´
es (c’est–` a–dire lorsque l’on parle d’un mot “en g´ en´ eral”) cette
repr´ esentation est une illustration qui permet d’avoir une intuition qui est souvent utile, mais pas de
faire des raisonnements concrets, traduisibles en algorithmes! Elle est cependant parfaitement correcte et
utile lorsqu’on a affaire ` a des mots connus explicitement, par exemple : le mot u:{1,2,3,4}→{a, b}tel
que u(1) = u(2) = u(4) = aet u(3) = bsera not´
eu=aaba.
Le raisonnement par
r´ ecurrence sur les mots bas´ esurlad
´
efinition inductive de A∗pr´ ec´ edente s’exprime
ainsi :
R´ ecurrence sur les mots
Soit P[u] un ´ enonc´ eausujetde u∈A
∗
.Alors,silesdeuxpropri
´
et´ es suivantes sont vraies :
–
P[ε]
– pour tout u∈A
∗
et tout x∈A , P[u] implique P[ux]
on peut conclure que P[u] est vraie pour tout u∈A
∗
.
Avec ces notations, on signale un tel raisonnement en disant qu’on va faire une preuve “par r´ ecurrence sur
u”.
es notions de base relatives aux mots peuvent se d´ efinir par r´ ecurrence sur les mots : on doit
comprendre une telle d´ efinition comme le sch´ ema d’une proc´ edure r´ ecursive. En fait, la plupart
des d´ efinitions relatives aux mots seront bas´ eessurceprincipeder
´
ecurrence, ou l’une de ses variantes
(cf. ci–dessous).
Exemple.
La longueur d’un mot peut se red´ efinir utilement par r´ ecurrence de la fac¸on suivante :
|ε|=0
|ux|=|u|+1pour tout u∈A
∗et tout x∈A.
L’ ´ enonc´ eP[u]qui est en cause ici est “|u|est d´
efinie”.
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4Chapitre 1
R´ ecurrence et induction sur les mots.
Le principe de r´ ecurrence qui vient d’ˆ etre ´ enonc´ en’est´ evidemment pas le seul que l’on puisse utiliser
pour raisonner sur les mots. Voici, en bref, ce dont on peut disposer, en utilisant le fait que la longueur
d’un mot est un entier naturel :
– construction des mots et r´ ecurrence par adjonction d’occurrences ` agauche,
–plusg
´
en´ eralement, on peut faire des raisonnements par induction sur la longueur des mots,
– enfin, il peut ˆ etre utile d’utiliser le fait qu’un ensemble non vide d’entiers contient un plus petit
´
el´ ement : un ensemble non vide de mots contient donc (au moins) un mot dont la longueur est la
plus petite possible!
Note sur les symboles.
ans ce qui pr´ ec` ede, nous avons suppos´ e implicitement que les symboles (par exemple aet b)´ etaient
des objets ins´ ecables et que l’on pouvait placer “cˆ ote ` ac
ˆ
ote” sans qu’ils risquent de se m´ elanger :
ceci est n´ ecessaire en particulier lorsque l’on a besoin de connaˆ ıtre le symbole qui a ´ et´ e adjoint le dernier
dans la construction d’un mot.
Dans la pratique, on utilise souvent des symboles qui se pr´ esentent d´ ej` asouslaformede“cha
ˆ
ınes de
caract` eres” : pour pouvoir les reconnaˆ ıtre, il faut alors user d’artifices : ces artifices sont les
s´ eparateurs
(parenth` eses, caract` ere blanc,...).
Exemple.
Si l’on veut absolument utiliser l’ensemble {aba, ab, bb, b}comme un alphabet, on ne peut pas se con-
tenter de juxtaposer des occurrences de ses ´ el´ ements pour en faire des mots car, par exemple le “mot”
ababb peut se lire de trois fac¸ons diff´ erentes! On peut r´ esoudre ce probl` eme en intercallant des blancs
(par exemple aba bb), ou bien, et c’est la solution que nous adopterons le plus souvent, en consid´
erant
l’alphabet {[aba],[ab],[bb],[b]}o`
u chacun des symboles est soigneusement encapsul´ e : ainsi, les trois lec-
tures pr´ ec´ edentes correspondent–elles ` a trois mots bien identifiables : [aba][bb],[aba][b][b]et [ab][ab][b].
1.3 – La concat´ enation.
La concat´ enation est l’op´ eration .:A∗×A
∗→A ∗qui consiste `
a mettre deux mots “bout ` about”:on
peut ´ evidemment la d´ efinir en utilisant la pr´ esentation initiale des mots mais il est plus judicieux de faire
cette d´ efinition par r´ ecurrence.
La concat´ enation
Pour tout u∈A
∗et tout v∈A ∗u.vest d´
efinie par r´ ecurrence sur vde la fac¸on suivante :
1) u.ε=u,(abr
´
eg´ eenI(u)ci–dessous)
2) u.(vx)=(u.v)xpour tout v∈A
∗et tout x∈A.(abr
´
eg´ eenS(u, v, x)ci–dessous)
L’ ´ enonc´ eP[v]qui est en cause ici est “pour tout u∈A
∗,u.vest d´
efini”.
Cette op´ eration est simple mais essentielle : elle ne nous quittera plus!
La r´ ecurrence d´ efinissant la concat´ enation correspond ` auneproc
´
edure r´ ecursive. Par exemple :
ab .abba =(ab .abb)aS(ab, abb, a)
=((ab .ab)b)aS(ab, ab, b)
= (((ab .a)b)b)aS(ab,a,b)
= ((((ab .ε)a)b)b)aS(ab,ε,a)
= ((((ab)a)b)b)aI(ab)
Les quatre premi` eres ´ egalit´ es ne font que des appels r´ ecursifs. Dans la derni` ere expression, la seule
op´ eration qui intervient est l’adjonction d’occurrences ` a droite; il ne reste plus qu’` a effectuer ces adjon-
tions pour obtenir le r´ esultat attendu : ababba.
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Section 2 5
On ´ eviterait les appels r´ ecursifs en remplac¸ant 2) par u.(xv)=(ux).v:ceciest´ evidemment correct mais
suppose que certains mots soient construits par adjonction ` a droite et d’autres par adjonction ` agauche!
Propri´ et´ es de la concat´ enation
Quels que soient u∈A
∗,v∈A ∗et w∈A ∗:
a) Neutralit´ e:ε.u=uet u.ε=u.
b) Associativit´ e:(u.v).w=u.(v.w).
D´ emontrons ces deux propri´ et´ es, ceci ` aseulefinderevoirpr
´
ecis´ ement comment “fonctionne” le raison-
nement par r´ ecurrence.
•D´ emontrons ε.u=upar r´ ecurrence sur u:
–ε.ε=ε,I(ε)
– supposons que ε.u=ualors, pour tout x∈A:(l’hypoth
`
ese de r´ ecurrence (HR))
ε.ux =(ε.u)xS(ε, u, x)
=ux,(HR)
la propri´ et´ e est donc vraie aussi pour ux.
•D´ emontrons b) par r´ ecurrence sur w:
–(u.v).ε=u.v=u.(v.ε),I(u.v)et I(v)
– supposons que (u.v).w=u.(v.w)alors, pour tout x∈A:(HR)
(u.v).(wx)=((u.v).w)xS(u.v, w, x)
=(u.(v.w))x(HR)
=u.((v.w)x)S(u, v .w, x)
=u.(v.(wx)),S(v, w, x)
la propri´ et´ e est donc vraie aussi pour wx.
Notation simplifi´ ee de la concat´ enation.
Nous ´ ecrirons tr` es souvent uv au lieu de u.v.Dem
ˆ
eme, l’associativit´ edelaconcat´ enation permet de faire
abstraction des parenth` eses et d’´ ecrire uvw au lieu de (u.v).wou u.(v.w). Nous ferons de mˆ
eme par la
suite pour toutes les op´ erations associatives (apr` es avoir v´ erifi´ e qu’elles le sont!).
2 – Les langages et les op´erations ´el´ementaires sur les langages.
• Un langage Lsur un alphabet Aest une partie de A∗:L⊆A
∗.
•L’ensemble des langages sur Aest d´ esign´ eparP(A∗).
Exemples.
•∅⊆A
∗,A⊆A ∗et A∗⊆A ∗sont des langages sur A.
•Pour tout u∈A
∗,{u}⊆A ∗est un langage sur A.
Il est int´ eressant d’identifier un mot au langage ` aunseul´ el´ ement qu’il d´ efinit. Cette identification se
traduit par une convention d’´ ecriture (abus de notation) que l’on peut symboliser par A∗⊆P(A∗).
Le regroupement de nos deux conventions d’´ ecriture donne le tableau :
A⊆A
∗⊆P(A∗)
C’est g´ en´ eralement la notation la plus simple qui sera utilis´ ee, par exemple :
–si
x∈A,xd´ esignera aussi le langage {x}dont le seul mot ne comporte que le seul caract` ere x.
–εd´
esignera aussi le langage {ε}dont le seul mot est le mot sans caract` ere.
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