Les Nombres

Les Nombres
Année scolaire 2008/2009
Table des matières
1 Les ensembles de nombres 2
1.1 Différentstypesdenombres....................................... 2
1.2 Droitedesnombresréels......................................... 2
1.3 Inclusion des ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Quelques rappels sur les règles de calcul 4
2.1 Fractions ................................................. 4
2.2 Radicaux ................................................. 4
2.3 Puissances................................................. 5
3 Valeur exacte, valeurs approchées 6
3.1 Différentes écritures d’un nombre décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Valeur exacte, valeurs approchées, valeur arrondie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 Un peu d’arithmétique 7
4.1 Quelques rappels sur les critères de divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 Nombrespremiers,applications..................................... 7
Table des figures
1 Droitedesnombresréels......................................... 2
2 Construction de 4
3............................................ 3
3 Construction de √2........................................... 3
4 Ensemblesdenombres.......................................... 4
Liste des tableaux
1 Règles de calcul sur les puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Valeur exacte, valeurs approchées, troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1

1 LES ENSEMBLES DE NOMBRES
1 Les ensembles de nombres
1.1 Différents types de nombres
Activité 1 (fp) : Ensemble de nombres (à faire en simultané avec le cours, après avoir donné l’ensemble des
entiers naturels)
– On appelle entiers naturels les nombres : 0 ; 1 ; 2 ; 3 . . . Leur ensemble est noté N.
On a donc : N={0 ; 1 ; 2 ; 3 . . .}
– On appelle entiers relatifs les nombres : . . . −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 . . . Leur ensemble est noté Z.
On a donc : Z={. . . −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 . . .}
– On appelle nombres rationnels les nombres de la forme a
b, où aet bsont des entiers relatifs, avec b6= 0.
Leur ensemble est noté Q.
Remarques :
1. On appelle nombres décimaux les nombres ayant un nombre fini de chiffres après la virgule (par
exemple 0,154). Leur ensemble est noté D.
Ce sont des rationnels particuliers. Par exemple :
0,154 = 154
1000 =154 103
On peut montrer que tous les nombres décimaux peuvent se mettre sous la forme : a
10n, où a∈Zet
où b∈N.
2. On peut montrer qu’un nombre rationnel non décimal a une écriture décimale périodique. Par
exemple :
1
3= 0,33333. . . 3 se répète
52
11 = 4,72727272 . . . 72 se répète
– L’ensemble de tous les nombres connus en Seconde est appelé ensemble des nombres réels. Cet ensemble
est noté R.
Il existe des nombres réels qui ne sont pas rationnels (√2et πpar exemple). On dit que ce sont des nombres
irrationnels.
1.2 Droite des nombres réels
On peut représenter l’ensemble des réels sur une droite graduée (voir figure 1).
Figure 1 – Droite des nombres réels
Problème : Comment représenter précisément des nombres rationnels ou irrationnels sur la droite des réels ?
Exemples :
1. Construction de 4
3à l’aide du théorème de Thalès (voir figure 2)
2. Construction de √2à l’aide du théorème de Pythagore (voir figure 3).
2

1 LES ENSEMBLES DE NOMBRES 1.3 Inclusion des ensembles de nombres
Figure 2 – Construction de 4
3
Figure 3 – Construction de √2
1.3 Inclusion des ensembles de nombres
Définition : On dit qu’un ensemble Aest inclus dans un ensemble Blorsque tout élément de Aest aussi un
élément de B.
On note alors : A⊂B.
On a : N⊂Z.
On a aussi : Z⊂Det D⊂Q( voir remarque 1 du 1.1).
De plus, par définition, on a : Q⊂R.
On a donc : N⊂Z⊂D⊂Q⊂R. Cette situation est résumée sur la figure 4.
Définition : On appelle nature d’un nombre le plus petit ensemble auquel il appartient.
Si cet ensemble est R, on dit que le nombre est irrationnel.
Exercices : 1, 2, 3, 5 page 30 1– 7, 8, 10 page 30 2– 127, 129 page 39 3et 145 page 41 4. [Modulo]
1. Nature d’un nombre.
2. Nature d’un nombre - plus difficile.
3. Quelques entiers « bizarres ».
4. Construction de nombres.
3

2 QUELQUES RAPPELS SUR LES RÈGLES DE CALCUL
Figure 4 – Ensembles de nombres
2 Quelques rappels sur les règles de calcul
2.1 Fractions
On se limitera à des exercices.
Exercices : 27, 28, 29, 30, 31 page 31 5– 32 page 32 6– 140 page 40 7[Modulo]
Module : TD 2 page 24 8[Modulo]
Exercices : 131, 132 page 39 9[Modulo]
2.2 Radicaux
La fin de cette section est proposée en module.
Définition : Si aest un nombre positif,√aest le seul nombre positif dont le carré est a.
Exemples : √4=2 √0=0 √9=3 √−3n’a pas de sens.
Exercice : Quelle est la réponse exacte ?
q(−3)2=−3q(−3)2= 3 q(−3)2=−√32q(−3)2n’existe pas
Propriété :
– Si a≥0et b≥0alors √ab =√a×√b
– Si, de plus, b > 0alors pa
b=√a
√b
Remarques :
1. La condition a≥0et b≥0est essentielle. En effet : p(−3) ×(−2) = √6mais la notation √−3n’a
aucun sens.
5. Calcul sur les fractions.
6. Calcul d’inverses.
7. Calculs plus complexes.
8. Simplification de quotients.
9. Simplifications – Calcul littéral.
4

2 QUELQUES RAPPELS SUR LES RÈGLES DE CALCUL 2.3 Puissances
2. Il n’existe aucun résultat similaire pour les additions. De manière générale, √a+b6=√a+√b.
Par exemple, √16 + 9 = √25 = 5 et √16 + √9=4+3=7.
Exercices : 58, 61, 62 page 33 10 – 66 page 33 11 – 69, 70 page 33 12 – 136 page 40 13 [Modulo]
2.3 Puissances
Définition : Soit aun nombre réel et nun entier strictement positif. On pose :
a1=a
a2=a×a
an=a×a×a×. . . ×a
| {z }
nfacteurs
Par convention, on pose aussi : a0= 1 ;a−1=1
a;a−2=1 a2et plus généralement a−n=1 an.
Les règles de calcul sur les puissances sont résumées dans le tableau 1.
Opérations Conditions Résultat
Produit de deux puissances anombre réel non nul
n,pentiers an×ap=an+p
Quotient de deux puissances anombre réel non nul
n,pentiers an
ap=an−p
Puissance d’une puissance anombre réel non nul
n,pentiers (an)p=an×p
Puissance d’un produit
a,bnombres réels non
nuls
nentier (ab)n=an×bn
Puissance d’un quotient
a,bnombres réels non
nuls
nentier a
bn=an bn
Table 1 – Règles de calcul sur les puissances
Remarques :
1. Si nest un entier pair,(−1)n= 1.
Si nest un entier impair,(−1)n=−1.
2. En conséquence, comme (−a)n= ((−1) ×a)n= (−1)n×an:
– Si nest un entier pair,(−a)n=an;
– Si nest un entier impair,(−a)n=−an.
3. Attention ! Il n’existe pas de règle équivalente pour la puissance d’une somme. De manière générale,
(a+b)n6=an+bn.
Par exemple : (2 + 3)2= 52= 25 et 22+ 32= 4 + 9 = 13.
Exercice : Utiliser les règles de calcul du tableau 1 pour réduire les expressions suivantes :
54×5−2;323;3
22;(22)3×2−1 2−4×43.
10. Manipulation des racines carrées.
11. Suppression de racine carrée au dénominateur.
12. Radicaux de radicaux.
13. Calculs plus complexes.
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