Les Nombres

Les Nombres
Année scolaire 2008/2009
Table des matières
1 Les ensembles de nombres
2
1.1
Différents types de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Droite des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Inclusion des ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Quelques rappels sur les règles de calcul
4
2.1
Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3 Valeur exacte, valeurs approchées
6
3.1
Différentes écritures d’un nombre décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.2
Valeur exacte, valeurs approchées, valeur arrondie
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Un peu d’arithmétique
7
4.1
Quelques rappels sur les critères de divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4.2
Nombres premiers, applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Table des figures
1
2
Droite des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Construction de
4
3
√
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
Construction de
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
Ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Liste des tableaux
1
Règles de calcul sur les puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2
Valeur exacte, valeurs approchées, troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1
1
1
1.1
LES ENSEMBLES DE NOMBRES
Les ensembles de nombres
Différents types de nombres
Activité 1 (fp) : Ensemble de nombres (à faire en simultané avec le cours, après avoir donné l’ensemble des
entiers naturels)
– On appelle entiers naturels les nombres : 0 ; 1 ; 2 ; 3 . . . Leur ensemble est noté N.
On a donc : N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 . . .}
– On appelle entiers relatifs les nombres : . . . − 3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 . . . Leur ensemble est noté Z.
On a donc : Z = {. . . − 3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 . . .}
– On appelle nombres rationnels les nombres de la forme ab , où a et b sont des entiers relatifs, avec b 6= 0.
Leur ensemble est noté Q.
Remarques :
1. On appelle nombres décimaux les nombres ayant un nombre fini de chiffres après la virgule (par
exemple 0, 154). Leur ensemble est noté D.
Ce sont des rationnels particuliers. Par exemple :
0, 154 =
154
154
= 3
1000
10
On peut montrer que tous les nombres décimaux peuvent se mettre sous la forme :
où b ∈ N.
a
10n ,
où a ∈ Z et
2. On peut montrer qu’un nombre rationnel non décimal a une écriture décimale périodique. Par
exemple :
1
3 se répète
= 0, 33333 . . .
3
52
= 4, 72727272 . . .
11
72 se répète
– L’ensemble de tous les nombres connus en Seconde est appelé ensemble des nombres réels. Cet ensemble
est noté R.
√
Il existe des nombres réels qui ne sont pas rationnels ( 2 et π par exemple). On dit que ce sont des nombres
irrationnels.
1.2
Droite des nombres réels
On peut représenter l’ensemble des réels sur une droite graduée (voir figure 1).
Figure 1 – Droite des nombres réels
Problème : Comment représenter précisément des nombres rationnels ou irrationnels sur la droite des réels ?
Exemples :
1. Construction de
2. Construction de
4
3
√
à l’aide du théorème de Thalès (voir figure 2)
2 à l’aide du théorème de Pythagore (voir figure 3).
2
1
LES ENSEMBLES DE NOMBRES
1.3
Figure 2 – Construction de
Figure 3 – Construction de
1.3
Inclusion des ensembles de nombres
4
3
√
2
Inclusion des ensembles de nombres
Définition : On dit qu’un ensemble A est inclus dans un ensemble B lorsque tout élément de A est aussi un
élément de B.
On note alors : A ⊂ B.
On a : N ⊂ Z.
On a aussi : Z ⊂ D et D ⊂ Q ( voir remarque 1 du 1.1).
De plus, par définition, on a : Q ⊂ R.
On a donc : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R. Cette situation est résumée sur la figure 4.
Définition : On appelle nature d’un nombre le plus petit ensemble auquel il appartient.
Si cet ensemble est R, on dit que le nombre est irrationnel.
Exercices : 1, 2, 3, 5 page 30 1 – 7, 8, 10 page 30 2 – 127, 129 page 39 3 et 145 page 41 4 . [Modulo]
1.
2.
3.
4.
Nature d’un nombre.
Nature d’un nombre - plus difficile.
Quelques entiers « bizarres ».
Construction de nombres.
3
2
QUELQUES RAPPELS SUR LES RÈGLES DE CALCUL
Figure 4 – Ensembles de nombres
2
Quelques rappels sur les règles de calcul
2.1
Fractions
On se limitera à des exercices.
Exercices : 27, 28, 29, 30, 31 page 31 5 – 32 page 32 6 – 140 page 40 7 [Modulo]
Module : TD 2 page 24 8 [Modulo]
Exercices : 131, 132 page 39 9 [Modulo]
2.2
Radicaux
La fin de cette section est proposée en module.
√
Définition : Si a est un nombre positif, a est le seul nombre positif dont le carré est a.
Exemples :
√
4=2
√
0=0
√
9=3
√
−3 n’a pas de sens.
Exercice : Quelle est la réponse exacte ?
q
2
(−3) = −3
q
2
(−3) = 3
q
√
2
(−3) = − 32
q
2
(−3) n’existe pas
Propriété :
√
√
√
– Si a ≥ 0 et b ≥ 0 alors ab = √ a × b
p
– Si, de plus, b > 0 alors ab = √ab
Remarques :
1. La condition a ≥ 0 et b ≥ 0 est essentielle. En effet :
aucun sens.
5.
6.
7.
8.
9.
Calcul sur les fractions.
Calcul d’inverses.
Calculs plus complexes.
Simplification de quotients.
Simplifications – Calcul littéral.
4
p
(−3) × (−2) =
√
6 mais la notation
√
−3 n’a
2
QUELQUES RAPPELS SUR LES RÈGLES DE CALCUL
2.3
2. Il n’existe aucun
De manière générale,
√ les additions.
√
√ résultat√similaire pour
Par exemple, 16 + 9 = 25 = 5 et 16 + 9 = 4 + 3 = 7.
√
a + b 6=
√
Puissances
a+
√
b.
Exercices : 58, 61, 62 page 33 10 – 66 page 33 11 – 69, 70 page 33 12 – 136 page 40 13 [Modulo]
2.3
Puissances
Définition : Soit a un nombre réel et n un entier strictement positif. On pose :
a1 = a
a2 = a × a
an = a × a × a × . . . × a
{z
}
|
n facteurs
Par convention, on pose aussi : a0 = 1 ; a−1 = a1 ; a−2 = a12 et plus généralement a−n =
1
an .
Les règles de calcul sur les puissances sont résumées dans le tableau 1.
Opérations
Conditions
Résultat
Produit de deux puissances
a nombre réel non nul
n, p entiers
Quotient de deux puissances
a nombre réel non nul
n, p entiers
Puissance d’une puissance
a nombre réel non nul
n, p entiers
Puissance d’un produit
a, b nombres réels non
nuls
n entier
Puissance d’un quotient
a, b nombres réels non
nuls
n entier
an × ap = an+p
an
ap
= an−p
p
(an ) = an×p
n
(ab) = an × bn
a n
b
=
an
bn
Table 1 – Règles de calcul sur les puissances
Remarques :
n
1. Si n est un entier pair, (−1) = 1.
n
Si n est un entier impair, (−1) = −1.
n
n
n
2. En conséquence, comme (−a) = ((−1) × a) = (−1) × an :
n
– Si n est un entier pair, (−a) = an ;
n
– Si n est un entier impair, (−a) = −an .
3. Attention ! Il n’existe pas de règle équivalente pour la puissance d’une somme. De manière générale,
n
(a + b) 6= an + bn .
2
Par exemple : (2 + 3) = 52 = 25 et 22 + 32 = 4 + 9 = 13.
Exercice : Utiliser les règles de calcul du tableau 1 pour réduire les expressions suivantes :
54 × 5−2
10.
11.
12.
13.
;
32
3
;
3 2
2
3
;
(22 )
×2−1
2−4 ×43
.
Manipulation des racines carrées.
Suppression de racine carrée au dénominateur.
Radicaux de radicaux.
Calculs plus complexes.
5
3
VALEUR EXACTE, VALEURS APPROCHÉES
Exercices : 36, 37, 38, 41, 42 page 32 14 – 46, 48 page 32 15 – 68 page 33 16 [Modulo]
3
3.1
Valeur exacte, valeurs approchées
Différentes écritures d’un nombre décimal
Prenons le nombre décimal 18354, 23. On peut l’écrire de différentes façons :
Écriture décimale : 18354, 23
Écriture scientifique : 1, 835423 × 104
Entier et puissance de 10 : 1835423 × 10−2
Vocabulaire :
– La notation scientifique d’un décimal est de la forme a × 10p , où a est un décimal tel que 1 ≤ a < 10
et où b ∈ Z.
– Le nombre décimal 18354, 23 a deux chiffres après la virgule. On dit que c’est u décimal d’ordre 2.
Remarques :
1. « Déplacement » de la virgule :
1835,423×101
···×10+longueur
du déplacement ··· 18354, 23 ···×10−longueur du déplacement ··· 183542,3×10−1
←−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
2. L’écriture scientifique d’un nombre permet d’obtenir un ordre de grandeur :
18354, 23 = 1, 835423 × 104 ≈ 2 × 104 soit proche de 20 000.
Exercices : 43, 44 page 33 17 – 53, 54, 57 page 33 et 133 page 40 18 – 63, 64 page 33 19 [Modulo]
3.2
Valeur exacte, valeurs approchées, valeur arrondie
√
Pour des réels non décimaux (comme 13 , 2 ou π), il est FAUX d’écrire :
utiliser que des valeurs approchées. (voir tableau 2)
Valeur exacte
Troncature à 3
décimales
Valeurs
approchées à
10−3 près
Valeur arrondie
à 10−3 près
√
1
3 =0, 3333
√
3 7−9
2
1
3
π
0, 333
3, 141
1, 414
−0, 531
0, 333 ou 0, 334
3, 141 ou 3, 142
1, 414 ou 1, 415
−0, 532 ou −0, 531
0, 333
3, 142
1, 414
−0, 531
2
Table 2 – Valeur exacte, valeurs approchées, troncature
Remarques :
1. « 10−3 près » signifie 3 décimales.
2. La valeur arrondie est la valeur approchée la plus proche du nombre.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
ou π=3, 14. On ne peut
Utilisation des règles de calcul sur les puissances.
Plus difficiles.
Avec des racines carrées.
Écriture scientifique.
Ordre de grandeur.
Avec des racines carrées.
6
4
UN PEU D’ARITHMÉTIQUE
Exercices : 12, 13 page 30 et 20, 21, 25 page 31 20 – 17, 18, 19 page 31 21 [Modulo]
Module : Utilisation de la calculatrice (fp)
Exercice : – 153 page 42 22 [Modulo]
4
Un peu d’arithmétique
Activité : Arithmétique (fp)
On ne considérera dans cette section que des nombres entiers naturels.
4.1
Quelques rappels sur les critères de divisibilité
Un nombre a est divisible par :
–
–
–
–
–
2 si le dernier chiffre de a est pair ;
3 si la somme des chiffres de a est divisible par 3 ;
5 si le dernier chiffre de a est 0 ou 5 ;
9 si la somme des chiffres de a est divisible par 9 ;
10 si le dernier chiffre de a est 0.
Exemples :
– 60 est divisible par 2, 3, 5 et 10.
– 126 est divisible par 2, 3 et 9.
4.2
Nombres premiers, applications
Définition : Un nombre premier est un nombre entier naturel n’ayant que deux diviseurs distincts : 1 et
lui-même.
Exemples :
– 0 et 1 ne sont pas des nombres premiers.
– 2, 3, 5, 7, 11, 13 ... sont des nombres premiers.
Propriété (admise) : Tout entier naturel, sauf 0 et 1, peut s’écrire sous la forme d’un produit dont chaque
facteur est un nombre premier.
Exemples :
1. Décomposition de 450 en facteurs premiers :
450 2
225 3
75 3
donc :
25 5
450 = 2 × 3 × 3 × 5 × 5 = 2 × 32 × 52
5 5
1
2. Décomposition de 342 en facteurs premiers :
342 2
171 3
57 3
donc :
19 19
342 = 2 × 3 × 3 × 19 = 2 × 32 × 19
1
20. Arrondis, troncatures.
21. Utilisation de la calculatrice.
22. Produit de grands nombres.
7
RÉFÉRENCES
RÉFÉRENCES
Exercices : 80, 82 page 34 23 – 84, 85, 86, 87 page 34 24 – 92 page 34 et 96 page 35 25 [Modulo]
Application : On peut utiliser la décomposition en facteurs premiers pour simplifier des expression contenant
des fractions ou des radicaux.
Exemples :
1. Réduction de fractions
15
105
3×5×7
3×5
=
=
=
112
24 × 7
24
16
3 × 31
31
93
=
=
123
3 × 41
41
2. Réduction de radicaux
√
80 =
q
p
√
√
√
√
√
2
24 × 5 = 24 × 5 = (22 ) × 5 = 22 × 5 = 4 5
p
√
√
√
√
√
75 = 3 × 52 = 3 × 52 = 3 × 5 = 5 3
Exercices : 88, 89, 91 page 34 et 94 page 35 26 – 124 page 39 et 142, 144 page 40 27 [Modulo]
Module : Module 1 page 18, Module 2 page 19 28 et TD 6 page 29 29 [Modulo]
Références
[Modulo] Modulo, Seconde édition 2004 (Didier)
3, 4, 5, 6, 7, 8
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
Nombres premiers.
Décomposition en facteurs premiers.
Utilisation de la décomposition en facteurs premiers.
Réduction de fractions et de radicaux.
Plus difficile.
Addition de nombres rationnels
Carrelage et remplissage.
8