1ière partie : ALGEBRE Chapitre 1 : Calcul numérique - expressions algébriques 1. Les radicaux d'indice 2 1.1. Définition La racine carrée du réel positif a est le réel positif dont le carré est a. ∀a ∈ R + : a = x ⇔ x≥0 et x ² = a Attention : on entend souvent dire que 9 = ±3 , ce qui n’est pas correct. En effet, 9 = 3 et rien d’autre ! Sans doute l’erreur commise provient-elle du fait que l’équation x 2 = 9 admet comme racines +3 et –3. Cette équation peut se résoudre de la manière suivante : x2 = 9 x2 − 9 = 0 ( x − 3)( x + 3) = 0 x − 3 = 0 ou x + 3 = 0 x = 3 ou x = −3 ⇔ 1.2. x=± 3 Remarques • Dans a , • Le symbole est le signe radical , a est le radicand . est un symbole arithmétique et donne toujours un résultat positif. • 0 = 0 et 1 = 1. • Le carré de tout nombre est un nombre positif ; donc aucun nombre strictement négatif n'admet de racine carrée. Exemple : -16 n'a pas de racine carrée. Nous serons donc amenés à poser des conditions d'existence (en abrégé : C.E.) pour les expressions littérales contenant des radicaux d'indice 2, c'est-à-dire les conditions qu'il faut poser pour que ces expressions représentent un réel. C.E. : les radicands doivent être positifs. Pour A, la C.E. est A≥0 5ième année – Technique de qualification – 1ière partie: ALGEBRE Page 1 Rappel : La condition d'existence (C.E.) dénominateur ne soit pas nul. d'une fraction est que son A est B ≠ 0. B Sauf mention contraire, on supposera par la suite que les conditions d’existence sont satisfaites. Exemple, la condition d'existence de • x² = x si x² = − x x≥0 si 3² = 3 ex : x≤0 (− 3)² = −(−3) = 3 ex : x² = x Dans tous les cas on peut écrire : 1.3. Propriétés des radicaux d'indice 2 • • ∀ ∀ a ∈ R+ : ( a) 2 =a a, b ∈ R + : a . b= a . b La racine carrée du produit de deux nombres positifs est le produit des racines carrées de ces nombres. Exemple : 4=2 9 =3 4 . 9 = 36 = 6 et Démonstration : ( ab ) 2 = ab et 9 =2 . 3=6 4 . ( ) = ( a) ( b) 2 a b 2 2 = ab et donc : ab = a b puisque les deux membres de cette égalité sont positifs1 • ∀ a, b ∈ R0+ : a a = b b La racine carrée du quotient de deux nombres strictement positifs est le quotient des racines carrées de ces nombres. Exemple : 36 = 6 36 = 4 =2 9 1 9 =3 et 36 9 = 6 =2 3 ∀a, b ∈ R+ : a 2 = b 2 ⇔ a = b. Deux nombres positifs sont égaux si et seulement s'ils ont le même carré. 5ième année – Technique de qualification – 1ière partie: ALGEBRE Page 2 2 a a b =b Démonstration : 2 a b = et ( a) ( b) 2 2 = a b a a = b b puisque les deux membres de cette égalité sont positifs. et donc : a ∈ R0+ , ∀ • ATTENTION ! ∀a, b ∈ R0+ : a + b ≠ a + b 9 + 16 = 25 = 5 9 + 16 = 3 + 4 = 7 et a ² + b² ≠ a + b et donc aussi : 1.4. p ∀ Exemple : p∈ Z : ap = ( a) • Rendre le dénominateur rationnel • Le dénominateur n'est pas une somme ou une différence. 9 9 3 Exemple : = = 2 2 2 Cette réponse, bien qu'exacte, est souvent transformée : on rend le dénominateur rationnel. Règle : On multiplie le numérateur et le dénominateur par le radical du dénominateur. Notre réponse devient : 5 . 7 5 5 5 7 35 = = = = 7 7 7 7 7 7 Autre exemple : • 3 3 2 3 2 = = 2 2 2 2 Le dénominateur est une somme ou une différence de deux termes (binôme). Règle : On multiplie le numérateur et le dénominateur par le binôme conjugué du dénominateur. Exemples : 6 = 3− 2 ( 6 ( 3− 2 3+ 2 )( 3+ ) ( 3 + 2) = 6( 3 + 2) = 6( 3−2 2) ( 3) − ( 2) = 6 2 2 5ième année – Technique de qualification – 1ière partie: ALGEBRE Page 3 3+ 2 ) 2. Les radicaux d'indice n ( n ∈ N \ {0, 1} ) 2.1. 4 Exemples 5 32 = 2 car 25 = 32 4 81 = 3 car 34 = 81 −81 n'existe pas aucun nombre réel n'a une quatrième puissance égale à -81. 2.2. Définition Dans le cas où n est pair, la racine ne du réel positif a est le réel positif dont la ne puissance est a. x≥0 ∀a ∈ R + : n a = x ⇔ n et x = a Dans le cas où n est impair, la racine ne du réel a est le réel dont la ne puissance est a. n a = x ⇔ xn = a 2.3. • Remarques n 0 = 0 et n 1 = 1. • Si n est pair : Aucun nombre réel strictement négatif n'admet de racine ne. En effet, la ne puissance d'un nombre réel (positif ou négatif) est un nombre réel positif. Exemple : -16 n'a pas de racine 4e. • Si n est impair : Tout nombre réel admet une racine ne. En effet, la ne puissance d'un nombre et ce nombre ont le même signe. Conséquences : ♦ si n est pair, le radicand doit être positif ; ♦ si n est impair, il n'y a pas de condition d'existence liée à la racine ne. Remarques : ♦ dans n a , n est l'indice; ♦ l'indice 2 ne s'écrit pas. 5ième année – Technique de qualification – 1ière partie: ALGEBRE Page 4 2.4. Propriétés Pour rappel, les indices appartiennent à l’ensemble N \ {0, 1} et les exposants à l’ensemble Z. • ∀ a ∈ R+ : ( a) =a Exemple : ( 3) =3 n n 6 6 • ∀ a ∈ R+ : Exemple : n an = a 36 = 3 6 • ∀ a, b ∈ R + : n a b = n a Exemple : 4 • ∀ a, b ∈ R0+ : Exemple : • • n b 16 .81 = 4 16 4 a = b n 4 n a n b 625 4 625 5 = 4 = 81 3 81 ∀ a ∈ R0+ : n ap = ( a) Exemple : 3 36 = ( 3) ∀ a ∈ R0+ : np a nr = a r Exemple : 6 27 4 = 3 27 2 = 9 • ∀ a ∈ R0+ : Exemple : 81 = 2 .3 = 6 n p 3 6 =9 p n r 4 3 ap = 64 2 = n.r 4 .3 a p = rn a p = r n ap 64 2 = 12 64 2 = 2 5ième année – Technique de qualification – 1ière partie: ALGEBRE Page 5 3. Puissances à exposants rationnels 3.1. Définition Si r est un entier non nul, si s est un naturel distinct de 0 et 1 et si a est un réel strictement positif, alors r s a = s ar 3.2. Exemples 1 4 2 3 1296 = 1296 = 6 8 = 3 8 2 = 3 64 = 4 4 3.3. Remarque Si r est un entier non nul, si s est un naturel distinct de 0 et 1 et si a est un réel strictement positif, alors 1 a −r = r et a0 = 1 a et donc r − 1 a s = s ar 3.4. Propriétés ∀ a, b ∈ R0+ , ∀ r , s ∈Q. • a r . a s = a r +s 1 2 2 .2 = 2 Exemple : • (a ) r s 3 4 1 (a . b )r = 2 = 4 2 5 = 4 32 6 (3 6 ) 2 = 3 2 = 3 3 = 27 = a r .b r Exemple : • 5 4 = a r .s Exemple : • 1 3 + 2 4 1 3 1 3 1 3 (8 .125) = 8 .125 = 3 8 . 3 125 = 2 .5 = 10 ar = a r −s as 1 Exemple : 32 3 • r a a = r b b r 1 3 1 1 − 3 = 32 1 = 36 = 6 3 1 3 1 3 27 27 Exemple : = 1 = 8 83 3 3 27 8 = 3 2 5ième année – Technique de qualification – 1ière partie: ALGEBRE Page 6