Corrigé du DS5

Corrigé du DS5
Exercice 1 (8 pts)
Partie 1 : Soit gla fonction définie sur Rpar g(x) = ex−xex+ 1.
1. Déterminer la limite de gen +∞.
Pour tout réel xon a : g(x) = ex(1 −x) + 1. Comme lim
x→+∞
ex= +∞,lim
x→+∞1−x=−∞ et lim x→+∞1 = 1, on
obtient par produit puis somme de limites : lim
x→+∞g(x) = −∞.
2. Etudier les variations de la fonction g.
La fonction gest dérivable sur Rcomme somme de fonctions dérivables, et, pour tout réel x:
g0(x) = ex−ex−xex=−xex.
L’exponentielle étant partout strictement positive, g0(x)est du signe de −x. La fonction gest donc croissante
sur ]−∞; 0] et décroissante sur [0; +∞[.
3. Donner le tableau de variations de g.
Comme lim
x→−∞
ex= 0 ,lim
x→−∞
xex= 0 et lim
x→−∞ 1 = 1, on obtient par somme de limites : lim x→−∞
g(x) = 1.
De plus g(0) = 2, donc, avec le 2. on peut dresser le tableau de variations de g:
x−∞ 0 +∞
g0(x) + 0 −
g(x)1%2&−∞
4. (a) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet sur [0; +∞[une unique solution. On note αcette solution.
La fonction gest dérivable, donc continue, sur R, donc aussi sur [0; +∞[. Elle est strictement décroissante
sur [0; +∞[. On a : g(0) = 2 et lim
x→+∞
g(x) = −∞, donc 0 est une valeur intermédiaire de gsur [0; +∞[.
Par conséquent, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation g(x) = 0 admet une
unique solution αsur [0; +∞[.
(b) Déterminer un encadrement d’amplitude 10−2de α.
Le graphe de gobtenu à la calculatrice montre que 1< α < 2. Par la méthode de balayage, on obtient alors
successivement : 1,2< α < 1,3puis 1,27 < α < 1,28.
(c) Démontrer que eα=1
α−1.
Par définition de αon a :
g(α) = 0, c’est-à-dire : (1 −α)eα+ 1 = 0. On en déduit que : eα=−1
1−α, soit donc : eα=1 α−1.
5. Déterminer le signe de g(x)suivant les valeurs de x.
Avec le tableau de variations de get la définition de α, on obtient : g(x)>1pour −∞ < x < 0,g(x)>0pour
06x < α et g(x)<0pour x > α.
Donc : g(x)<0pour x > α et g(x)>0pour x < α.
Partie 2 : Soit Ala fonction définie et dérivable sur [0; +∞[telle que A(x) = 4x
ex+ 1.
1. Démontrer que, pour tout réel xpositif ou nul, A0(x)a le même signe que g(x), où gest la fonction définie dans
la partie 1.
Pour tout réel positif ou nul x, on a :
A0(x) = 4(ex+ 1) −4xex
(ex+ 1)2=4 (ex+ 1)2(ex−xex+ 1) = 4 (ex+ 1)2g(x). Comme 4 (ex+ 1)2>0pour tout réel x,
A0(x)est du signe de g(x)pour tout réel positif ou nul x.
2. En déduire les variations de la fonction Asur [0; +∞[.
Avec les résultats du 1. et ceux du 5. de la partie 1, on obtient :
A0(x)>0sur [0; α[,A0(α) = 0 et A0(x)<0pour x > α. La fonction Aest donc croissante sur [0; α]et
décroissante sur [α; +∞[.
Partie 3 : On considère la fonction fdéfinie sur [0; +∞[par : f(x) = 4
ex+ 1. On note Csa courbe représentative
dans un repère orthonormal (O ;I,J). Pour tout réel xpositif ou nul, on note M le point de Cde coordonnées (x;f(x)),
P le point de coordonnées (x; 0) et Q le point de coordonnées (0; f(x)).
1. Démontrer que l’aire du rectangle OPMQ est maximale lorsque M a pour abscisse α.
L’aire du rectangle OPMQ est égale à OP ×OQ =xf(x)puisque xet f(x)sont positifs. Pour tout réel positif ou
1

nul x, on a : xf (x) = A(x). D’après le 2. de la partie 2, Aadmet un unique maximum en α. L’aire du rectangle
OPMQ est donc maximale lorsque le point M a pour abscisse α.
2. Le point M a pour abscisse α. La tangente T en M à la courbe Cest-elle parallèle à la droite (PQ) ?
Le coefficient directeur de la tangente T au point M d’abscisse αest f0(α) = −4eα
(eα+ 1)2et celui de la droite
(PQ) est yQ−yP
xQ−xP
=−f(α)
α=−4 α(eα+ 1). D’après le 4.(c) de la partie 1, on peut écrire :
eα+ 1 = 1
α−1+ 1 = α α−1
d’où :
−4eα
(eα+ 1)2=−4 (α−1)(eα+ 1)2=−4 (α−1)(eα+ 1) ×1 eα+ 1 =−4 α(eα+ 1)
La tangente T est donc parallèle à (PQ).
Exercice 2 (4 pts) : Vrai ou faux ?
On considère une suite upositive et la suite vdéfinie sur Npar : vn=un
1 + un
. Les propositions suivantes sont-elles
vraies ou fausses ? Justifier.
1. Pour tout entier naturel n,06vn61.
Vrai : 1 + un>0et 06un61 + un, donc 0
1 + un
6un
1 + un
61 + un
1 + un
c’est-à-dire : 06vn61.
2. Si la suite uest convergente, alors la suite vest convergente.
Vrai : uest positive donc sa limite ll’est aussi. La suite (1 + un)nconverge alors vers 1 + l > 0. Par quotient la
suite vconverge donc vers l
1 + l.
3. Si uest croissante alors vest croissante.
Vrai : Si uest croissante alors pour tout entier naturel non a :
vn+1 −vn=un+1
1 + un+1
−un
1 + un
=un+1 −un
(1 + un+1)(1 + un)>0.
Donc vest croissante.
4. Si vest convergente alors uest convergente.
Faux : la suite de terme général n
n+ 1 converge vers 1 mais la suite de terme général nn’est pas convergente.
Exercice 3 (8 pts)
Un même individu peut être atteint de surdité unilatérale (portant sur une seule oreille) ou bilatérale (portant sur les
deux oreilles).
On admet que, dans une population donnée, les deux événements :
–D: « être atteint de surdité à l’oreille droite » ;
–G: « être atteint de surdité à l’oreille gauche ».
sont indépendants et tous deux de probabilité 0,05, ce que l’on note P(D) = P(G) = 0,05.
On considère les événements suivants :
–B: « être atteint de surdité bilatérale » ;
–U: « être atteint de surdité unilatérale » ;
–S: « être atteint de surdité (sur une oreille au moins) ».
On donnera les valeurs numériques des probabilités sous forme décimale arrondie à 10−4.
1. Exprimer les événements Bet Sà l’aide de Get D, puis calculer les probabilités P(B)et P(S). En déduire
P(U).
D’après les définitions de l’énoncé on a : B=G∩Det S=G∪D.Get Détant indépendants on obtient :
P(B) = P(G)P(D) = 0,052= 0,0025 et P(S) = P(G) + P(D)−P(G∩D) = 0,05 + 0,05 −0,0025 = 0,0975.
Remarquons que U=S∩¯ Bet que S∩B=B, donc, avec la formule des probabilités totales :
P(S) = P(S∩B) + P(S∩¯ B=P(B) + p(U), d’où : P(U) = P(S)−P(B) = 0,0975 −0,0025 = 0,095.
2. Sachant qu’un sujet pris au hasard dans la population considérée est atteint de surdité, quelle est la probabilité :
(a) Pour qu’il soit atteint de surdité à droite ?
PS(D) = P(D∩S)
P(S)=P(D) P(S)=0,05 0,0975 = 0,5128.
2

(b) Pour qu’il soit atteint de surdité à gauche ?
PS(G) = P(G∩S)
P(S)=P(G) P(S)=0,05 0,0975 = 0,5128.
(c) Pour qu’il soit atteint de surdité bilatérale ?
PS(B) = P(B∩S)
P(S)=P(B) P(S)=0,0025 0,0975 = 0,0256.
3. On considère un échantillon de dix personnes prises au hasard dans la population, qui est suffisamment grande
pour que les choix puissent être assimilés à des choix successifs indépendants.
(a) Calculer la probabilité pour qu’il n’y ait aucun sujet atteint de surdité dans l’échantillon.
Soit Xla variable aléatoire égale au nombre de personnes atteintes de surdité dans l’échantillon. Le choix des
10 personnes étant effectué au hasard, de façon indépendante, et chacune d’elles ayant la même probabilité
P(S)d’être atteinte de surdité, la situation donnée correspond à un schéma de Bernoulli, et la variable
aléatoire Xsuit une loi binomiale B(10; 0,0975). La probabilité pour qu’il n’y ait aucun sujet atteint de
surdité dans l’échantillon est alors :
P(X= 0) = 10
00,09750(1 −0,0975)10 = 0,902510 '0,3585
.
(b) Quelle est la probabilité pour qu’au moins un sujet soit atteint de surdité dans l’échantillon ?
La probabilité pour qu’au moins un sujet soit atteint de surdité dans l’échantillon est :
P(X>1) = 1 −P(X < 1) = 1 −P(X= 0) '0,6415
.
3