Corrigé du DS5

Corrigé du DS5
Exercice 1 (8 pts)
Partie 1 : Soit g la fonction définie sur R par g(x) = ex − xex + 1.
1. Déterminer la limite de g en +∞.
Pour tout réel x on a : g(x) = ex (1 − x) + 1. Comme lim ex = +∞ , lim 1 − x = −∞ et lim 1 = 1, on
x→+∞
x→+∞
x→+∞
obtient par produit puis somme de limites : lim g(x) = −∞.
x→+∞
2. Etudier les variations de la fonction g.
La fonction g est dérivable sur R comme somme de fonctions dérivables, et, pour tout réel x :
g 0 (x) = ex − ex − xex = −xex .
L’exponentielle étant partout strictement positive, g 0 (x) est du signe de −x. La fonction g est donc croissante
sur ]−∞; 0] et décroissante sur [0; +∞[.
3. Donner le tableau de variations de g.
Comme lim ex = 0 , lim xex = 0 et lim 1 = 1, on obtient par somme de limites : lim g(x) = 1.
x→−∞
x→−∞
x→−∞
x→−∞
De plus g(0) = 2, donc, avec le 2. on peut dresser le tableau de variations de g :
x
0
g (x)
g(x)
0
−∞
+∞
+ 0 −
2
1 % & −∞
4. (a) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet sur [0; +∞[ une unique solution. On note α cette solution.
La fonction g est dérivable, donc continue, sur R, donc aussi sur [0; +∞[. Elle est strictement décroissante
sur [0; +∞[. On a : g(0) = 2 et lim g(x) = −∞, donc 0 est une valeur intermédiaire de g sur [0; +∞[.
x→+∞
Par conséquent, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation g(x) = 0 admet une
unique solution α sur [0; +∞[.
(b) Déterminer un encadrement d’amplitude 10−2 de α.
Le graphe de g obtenu à la calculatrice montre que 1 < α < 2. Par la méthode de balayage, on obtient alors
successivement : 1, 2 < α < 1, 3 puis 1, 27 < α < 1, 28.
1
(c) Démontrer que eα =
.
α−1
Par définition de α on a :
−1
1
g(α) = 0, c’est-à-dire : (1 − α)eα + 1 = 0. On en déduit que : eα =
, soit donc : eα =
.
1−α
α−1
5. Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
Avec le tableau de variations de g et la définition de α, on obtient : g(x) > 1 pour −∞ < x < 0, g(x) > 0 pour
0 6 x < α et g(x) < 0 pour x > α.
Donc : g(x) < 0 pour x > α et g(x) > 0 pour x < α.
4x
.
Partie 2 : Soit A la fonction définie et dérivable sur [0; +∞[ telle que A(x) = x
e +1
1. Démontrer que, pour tout réel x positif ou nul, A0 (x) a le même signe que g(x), où g est la fonction définie dans
la partie 1.
Pour tout réel positif ou nul x, on a :
4
4
4
4(ex + 1) − 4xex
= x
(ex − xex + 1) = x
g(x). Comme x
> 0 pour tout réel x,
A0 (x) =
(ex + 1)2
(e + 1)2
(e + 1)2
(e + 1)2
0
A (x) est du signe de g(x) pour tout réel positif ou nul x.
2. En déduire les variations de la fonction A sur [0; +∞[.
Avec les résultats du 1. et ceux du 5. de la partie 1, on obtient :
A0 (x) > 0 sur [0; α[, A0 (α) = 0 et A0 (x) < 0 pour x > α. La fonction A est donc croissante sur [0; α] et
décroissante sur [α; +∞[.
4
. On note C sa courbe représentative
Partie 3 : On considère la fonction f définie sur [0; +∞[ par : f (x) = x
e +1
dans un repère orthonormal (O ;I,J). Pour tout réel x positif ou nul, on note M le point de C de coordonnées (x; f (x)),
P le point de coordonnées (x; 0) et Q le point de coordonnées (0; f (x)).
1. Démontrer que l’aire du rectangle OPMQ est maximale lorsque M a pour abscisse α.
L’aire du rectangle OPMQ est égale à OP × OQ = xf (x) puisque x et f (x) sont positifs. Pour tout réel positif ou
1
nul x, on a : xf (x) = A(x). D’après le 2. de la partie 2, A admet un unique maximum en α. L’aire du rectangle
OPMQ est donc maximale lorsque le point M a pour abscisse α.
2. Le point M a pour abscisse α. La tangente T en M à la courbe C est-elle parallèle à la droite (PQ) ?
4eα
et celui de la droite
Le coefficient directeur de la tangente T au point M d’abscisse α est f 0 (α) = − α
(e + 1)2
f (α)
4
yQ − yP
=−
=−
. D’après le 4.(c) de la partie 1, on peut écrire :
(PQ) est
xQ − xP
α
α(eα + 1)
eα + 1 =
1
α
+1=
α−1
α−1
d’où :
−
4eα
4
4
1
4
=−
=−
× α
=−
α
2
α
2
α
α
(e + 1)
(α − 1)(e + 1)
(α − 1)(e + 1) e + 1
α(e + 1)
La tangente T est donc parallèle à (PQ).
Exercice 2 (4 pts) : Vrai ou faux ?
On considère une suite u positive et la suite v définie sur N par : vn =
vraies ou fausses ? Justifier.
un
. Les propositions suivantes sont-elles
1 + un
1. Pour tout entier naturel n, 0 6 vn 6 1.
un
1 + un
0
6
6
c’est-à-dire : 0 6 vn 6 1.
1 + un
1 + un
1 + un
2. Si la suite u est convergente, alors la suite v est convergente.
Vrai : u est positive donc sa limite l l’est aussi. La suite (1 + un )n converge alors vers 1 + l > 0. Par quotient la
l
suite v converge donc vers
.
1+l
3. Si u est croissante alors v est croissante.
Vrai : Si u est croissante alors pour tout entier naturel n on a :
un
un+1 − un
un+1
−
=
> 0.
vn+1 − vn =
1 + un+1
1 + un
(1 + un+1 )(1 + un )
Donc v est croissante.
Vrai : 1 + un > 0 et 0 6 un 6 1 + un , donc
4. Si v est convergente alors u est convergente.
n
Faux : la suite de terme général
converge vers 1 mais la suite de terme général n n’est pas convergente.
n+1
Exercice 3 (8 pts)
Un même individu peut être atteint de surdité unilatérale (portant sur une seule oreille) ou bilatérale (portant sur les
deux oreilles).
On admet que, dans une population donnée, les deux événements :
– D : « être atteint de surdité à l’oreille droite » ;
– G : « être atteint de surdité à l’oreille gauche ».
sont indépendants et tous deux de probabilité 0, 05, ce que l’on note P (D) = P (G) = 0, 05.
On considère les événements suivants :
– B : « être atteint de surdité bilatérale » ;
– U : « être atteint de surdité unilatérale » ;
– S : « être atteint de surdité (sur une oreille au moins) ».
On donnera les valeurs numériques des probabilités sous forme décimale arrondie à 10−4 .
1. Exprimer les événements B et S à l’aide de G et D, puis calculer les probabilités P (B) et P (S). En déduire
P (U ).
D’après les définitions de l’énoncé on a : B = G ∩ D et S = G ∪ D. G et D étant indépendants on obtient :
P (B) = P (G)P (D) = 0, 052 = 0, 0025 et P (S) = P (G) + P (D) − P (G ∩ D) = 0, 05 + 0, 05 − 0, 0025 = 0, 0975.
Remarquons que U = S ∩ B̄ et que S ∩ B = B, donc, avec la formule des probabilités totales :
P (S) = P (S ∩ B) + P (S ∩ B̄ = P (B) + p(U ), d’où : P (U ) = P (S) − P (B) = 0, 0975 − 0, 0025 = 0, 095.
2. Sachant qu’un sujet pris au hasard dans la population considérée est atteint de surdité, quelle est la probabilité :
(a) Pour qu’il soit atteint de surdité à droite ?
P (D)
0, 05
P (D ∩ S)
=
=
= 0, 5128.
PS (D) =
P (S)
P (S)
0, 0975
2
(b) Pour qu’il soit atteint de surdité à gauche ?
P (G)
0, 05
P (G ∩ S)
=
=
= 0, 5128.
PS (G) =
P (S)
P (S)
0, 0975
(c) Pour qu’il soit atteint de surdité bilatérale ?
P (B ∩ S)
P (B)
0, 0025
PS (B) =
=
=
= 0, 0256.
P (S)
P (S)
0, 0975
3. On considère un échantillon de dix personnes prises au hasard dans la population, qui est suffisamment grande
pour que les choix puissent être assimilés à des choix successifs indépendants.
(a) Calculer la probabilité pour qu’il n’y ait aucun sujet atteint de surdité dans l’échantillon.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de personnes atteintes de surdité dans l’échantillon. Le choix des
10 personnes étant effectué au hasard, de façon indépendante, et chacune d’elles ayant la même probabilité
P (S) d’être atteinte de surdité, la situation donnée correspond à un schéma de Bernoulli, et la variable
aléatoire X suit une loi binomiale B(10; 0, 0975). La probabilité pour qu’il n’y ait aucun sujet atteint de
surdité dans l’échantillon est alors :
10
P (X = 0) =
0, 09750(1 − 0, 0975)10 = 0, 902510 ' 0, 3585
0
.
(b) Quelle est la probabilité pour qu’au moins un sujet soit atteint de surdité dans l’échantillon ?
La probabilité pour qu’au moins un sujet soit atteint de surdité dans l’échantillon est :
P (X > 1) = 1 − P (X < 1) = 1 − P (X = 0) ' 0, 6415
.
3