Electronique quantique

PA101
Electronique quantique
2ème Cours
"Quelques propriétés de l'équation de Schrödinger"
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Qu’avons-nous déjà appris ?
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‰ Les particules matérielles manifestent selon l’expérience soit un comportement
ondulatoire soit un comportement corpusculaire
‰ La complémentarité exprimée par cette dualité onde-corpuscule trouve une
interprétation simple dans la notion de fonction d’onde
probabilité de présence
r 2
ψ (r , t ) .
r
ψ (r , t ), et celle de densité de
La relation de De Broglie p=h/λ relie longueur
d’onde et impulsion des particules.
‰ L’évolution temporelle de la fonction d’onde est régie par l’équation de Schrödinger
dépendant du temps, qui pour une particule matérielle dans un potentiel a pour
v
2
⎧
r ⎫ v
h
∂ψ
(
r
,
t
)
expression :
ih
= ⎨−
Δ + V (r )⎬ψ (r , t )
∂t
⎭
⎩ 2m
‰ A partir de l'équation de Schrödinger on démontre facilement le théorème
d'Ehrenfest, qui permet de retrouver la loi fondamentale de la dynamique classique au
sens des valeurs moyennes de la position de la particule et de la force ressentie
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Progression
‰ Les grands concepts
‰ L'énoncé des principes de la théorie quantique
‰ l'utilisation et les conséquences du formalisme de la théorie quantique
‰ Les principes de la physique statistique
‰ Illustrations quantique-statistique
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Plan de la séance
‰ Le principe de superposition
‰ L'expérience des fentes d'Young
‰ Etats stationnaires
‰ La quantification de l'énergie
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Linéarité de l'équation de Schrödinger
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v
r ⎫ v
∂ψ ( r , t ) ⎧ h 2
ih
= ⎨−
Δ + V (r )⎬ψ (r , t )
∂t
⎭
⎩ 2m
‰ L'équation de Schrödinger est linéaire. Cela a de nombreuses conséquences à
l'image d'autres domaines de la physique (électromagnétisme, mécanique …). Cette
propriété en physique quantique s'exprime sous forme du principe de superposition :
"La superposition de deux états quantiques* est un état quantique"
* On appelle état quantique l'état du système décrit par une fonction d'onde. Nous verrons
ultérieurement pourquoi cette dénomination n'est pas qu'une simple question de vocabulaire. A
partir de maintenant on adoptera indifféremment l'une ou l'autre appellation
Rien de tel qu'un exemple concret pour mieux comprendre la portée de ce principe…
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Exemple : l’expérience des fentes d’Young
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x
SOURCE
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Exemple : l’expérience des fentes d’Young
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1ère fente ouverte : patatoïde
P1 (x)
x
SOURCE
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Exemple : l’expérience des fentes d’Young
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2ème fente ouverte : patatoïde
x
SOURCE
P2 (x)
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Exemple : l’expérience des fentes d’Young
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Les 2 fentes ouvertes : franges d’interférences
x
SOURCE
P12 (x)
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Exemple : l’expérience des fentes d’Young
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Interprétation par le principe de superposition :
‰ Lorsque la 1ère fente seule est ouverte, la fonction d'onde
ψ 1 ( x ) décrit
le
comportement des particules entre la source et l'écran d'observation
‰ Lorsque la 2ème fente seule est ouverte, la fonction d'onde
ψ 2 ( x ) décrit
le
comportement des particules entre la source et l'écran d'observation
‰ La somme ψ 1 ( x ) + ψ 2 ( x ) permet de décrire le comportement des particules
lorsque les deux fentes sont ouvertes : les interférences résultent du caractère
ondulatoire des particules. L'explication est identique à celle brillamment trouvée
par Thomas Young en 1804 pour la lumière, avec le champ électrique de l'onde au
lieu de la fonction d'onde
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Exemple : l’expérience des fentes d’Young
λ
λ/2
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Exemple : l’expérience des fentes d’Young
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‰ Cette expérience pour des particules matérielles une par une est restée une
"gedankenexperiment" jusqu'en 1989, où elle a pu être réalisée par Tonomura et al.
pour les électrons grâce à un microscope électronique :
a
D
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Exemple : l’expérience des fentes d’Young
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Exemple : l’expérience des fentes d’Young
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Exemple : l’expérience des fentes d’Young
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Exemple : l’expérience des fentes d’Young
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Exemple : l’expérience des fentes d’Young
Interfrange : λD / a =
hD
hD
=
pa a 2mE
E= énergie cinétique des
électrons accélérés
λD / a
La figure d’interférence se construit petit à petit !
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Exemple : l’expérience des fentes d’Young
Interférences avec des neutrons
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Interférences avec des atomes
Exemple : l’expérience des fentes d’Young
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Le principe de superposition se généralise à toute combinaison linéaire :
λ1ψ 1 ( x ) + λ2ψ 2 ( x )
est une fonction d’onde possible, où
λ1 et λ2 sont des
coefficients complexes décrivant atténuation et déphasage.
P12 ( x ) = ψ 1 ( x ) + ψ 2 ( x )
Exemple :
2
T 1 (x)
T2 (x)
SOURCE
P12 ( x ) = ψ 1 ( x ) + .25 exp( jπ / 2)ψ 2 ( x )
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2
x
Etats stationnaires
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‰ La nécessité d’états quantiques présentant une invariance temporelle (états
"stationnaires") a été reconnue très tôt :
¾ stabilité de l’atome
¾ particule dans un potentiel
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ν
Etats stationnaires
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¾ expérience à flux de particules constant :
les particules sont émises en permanence par
la source. L’intensité de la couleur verte
représente
r
ψ (r )
2
. La probabilité de détecter
une particule dans le volume d3r varie comme
r
ψ (r ) d 3r
2
et ne dépend pas du temps.
‰ De tels états "stationnaires" sont-ils autorisés par l’équation de Schrödinger ?
v
Opérateur H ("hamiltonien")
r ⎫ v
∂ψ (r , t ) ⎧ h 2
ih
= ⎨−
Δ + V (r )⎬ψ ( r , t )
∂t
⎩ 2m
⎭
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Etats stationnaires
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r
v
ψ ( r , t ) = A( r ) exp iϕ(t )
v 2
v 2
ψ (r , t ) = ψ (r ,0)
‰ Cherchons par exemple des états de la forme :
*
Sont-ils stationnaires ? On peut le penser :
Alors :
r
Hψ = exp[iϕ ]HA(r ) et
r
∂ϕ ⎞ r
⎛
exp[iϕ ]HA(r ) = exp[iϕ ] ⎜ − h
⎟ A(r )
∂ t⎠
⎝
r
r
HA(r ) = αA(r )
on posera E=α :
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et
∂ϕ
α
=−
∂t
h
∂ψ
∂ϕ r
ih
= −h
A(r ) exp[iϕ ]
∂t
∂t
r ⎛
∂ϕ ⎞ r
HA(r ) = ⎜ − h
⎟ A(r )
∂ t⎠
⎝
α
ϕ (t ) = − t
r
r
ψ (r , t ) = ψ (r ,0) exp( −iEt / h )
* est-ce suffisant ? Réponse dans le poly…
h
r
r
Hψ ( r , t ) = Eψ ( r , t )
r
r
H ψ ( r ,0 ) = E ψ ( r ,0 )
Etats stationnaires
r
r
ψ (r , t ) = ψ (r ,0) exp( −iEt / h )
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avec
r
r
H ψ ( r ,0 ) = E ψ ( r ,0 )
‰ Remarque :
¾ La fonction d'onde, bien que stationnaire n'est pas constante. La phase varie,
linéairement avec le temps. Cette dépendance est inévitable. En effet si on
modifie l'origine des énergies, l'équation de Schrödinger est modifiée :
v
v
⎫ v
r
∂ψ ( r , t ) ⎧ h 2
r ⎫ v
∂ψ (r , t ) ⎧ h 2
(
)
i
h
V
(
r
)
E
=
−
Δ
+
+
ih
= ⎨−
Δ + V (r )⎬ψ (r , t )
⎨
0 ⎬ψ ( r , t )
∂t
∂t
⎭
⎩ 2m
⎭
⎩ 2m
Une solution de l'équation s'en trouve alors modifiée sous la forme :
r
ψ (r , t )
r
ψ (r , t ) ⋅ exp( −iE0t / h )
Autrement dit : multiplier toutes les fonctions d'ondes par exp( −iE0t / h )
ne
change rien à la physique du système, puisque ce n'est rien d'autre qu'un
changement d'origine pour l'énergie.
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Etats stationnaires
r
r
ψ (r , t ) = ψ (r ,0) exp( −iEt / h )
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avec
r
r
H ψ ( r ,0 ) = E ψ ( r ,0 )
‰ Conséquences :
¾ Les fonctions d'onde stationnaires sont les fonctions propres de l’hamiltonien !
¾ A chacune de ces fonctions stationnaires est reliée une énergie, qui est la
valeur propre correspondante
‰ REMARQUE MAJEURE : les valeurs propres forment souvent un « spectre »
discret ; on dit alors que l'énergie est quantifiée.
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Quantification de l’énergie
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‰ Y a-t-il une réalité dans cette stationnarité
et ces énergies discrètes ?
La physique atomique nous démontre que oui :
Absorption
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Emission
Quantification de l’énergie
‰
‰
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Progressons dans notre analyse :
1.
Nous verrons que dans le cas de l'atome d'hydrogène la résolution de
Hψ = Eψ permet effectivement d'obtenir un spectre d'énergies quantifiées
2.
Les différences énergétiques entre niveaux d'énergie de l'atome
correspondent très (très très…) précisément aux fréquences lumineuses
des raies, moyennant la relation hν mn = Em − En qui s'interpréte comme
l'échange d'un photon émis ou absorbé
3.
La stabilité des atomes s'explique par l'existence d'un niveau d'énergie
minimal (l'état fondamental). Il est alors impossible de perdre de l'énergie
par rayonnement.
Mais pourquoi cet échange énergétique avec la lumière fait-il intervenir les états
stationnaires ? Pourquoi interprète-t-on la valeur propre comme l'énergie du
système ? Nous reviendrons sur ces question ultérieurement dans le cadre de la
mesure des grandeurs physiques
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C’est tout pour aujourd’hui !
Pensez à :
‰ Réviser après chaque cours
‰ Préparer le cours suivant
Pour vous aider :
http://www.ensta.fr/~sibille/PA101/
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