Chapitre IX SPIN ET PARTICULES IDENTIQUES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE Chapitre IX SPIN ET PARTICULES IDENTIQUES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE IX.1 Spin d’une particule Quel est l’action d’un opérateur ^ rotation R sur un ket |r>? 63% ^ 1. R|r>=|R(r)> ^ 2. R|r>=|R-1(r)> ^ 3. R|r>=|r> 34% =| r> R| r> 1( r) =| RR| r> R| r> =| R( r )> > 3% ACTION DES ROTATIONS SUR UN ATOME D’HYDROGÈNE Atome d'hydrogène : H =L2 (R3 , C) L2 (R3 , C) Centre de masse Variable relative ˆ Opérateur de translation : Tˆa (| | ) (eia.P / | ) | Action de l’opérateur de rotation sur l’atome d’hydrogène : Rˆθ (| | ) ( Rˆθ(CdM) | ) ( Rˆθ(rel) | ) ˆ Rˆθ eiθ·J / ˆ Rˆθ(CdM) eiθ·L/ ˆ Rˆθ(rel) eiθ·S / ˆ R ˆ Pˆ : moment cinétique du centre de masse. L Sˆ rˆ pˆ : moment cinétique interne ˆ Sˆ : moment cinétique total Jˆ L Espace de Hilbert d'un système quantique : H =L2 (R3 , C) S ˆ Opérateur de translation : Tˆa (| | S ) (eia.P / | ) | S Action de l’opérateur de rotation Rˆθ (| | S ) ( Rˆθ(CdM) | ) ( Rˆθ( S) | S ) ˆ Rˆθ(CdM) eiθ·L/ ˆ Rˆθ( S ) eiθ·S / ˆ Rˆθ eiθ·J / ˆ R ˆ Pˆ L ˆ Sˆ Jˆ L | s, ms , k : base standard de S Sˆz | s, ms , k ms | s, ms , k H L2 (R 3, C) E ( s, k ) s ,k Sˆ 2 | s, ms , k 2 s(s 1) | s, ms , k E ( s, k ) Vect(| s, ms , k ) ms Cette décomposition générale s’applique à une particule composite (comme l’atome d’hydrogène). Est-elle pertinente pour une particule fondamentale (comme l’électron) ? EFFET ZEEMAN POUR L’ATOME D’HYDROGÈNE Comment peut-on aller bien quand on réfléchit à l'effet Zeeman anormal? ˆ ) 2 e2 ˆ q A ( P e Hˆ 2me rˆ Jauge symétrique : A Br 2 2 2 ˆ 2 e2 q q P e e ˆ ·B A Hˆ L 2me rˆ 2me 2me A bas champ : E (n, , m ) qe Ry 2 m B n 2me qe B Magnéton de Bohr. 2me Les états S (=0) ne bougent pas. Levée de dégénérescence des autres niveaux (nombre impair de raies) Expérimentalement : l’état |1S> se divise en deux sous-niveaux en présence d’un champ magnétique ! LE SPIN DE L’ÉLECTRON Pauli, Goudsmit, Uhlenbeck : il faut ajouter des degrés de liberté supplémentaires à l’électron. Hypothèse la plus simple : s=1/2 (deux états de spin). Wigner-Ekhart : le moment magnétique est proportionnel au moment cinétique de spin g ˆ Sˆ M qe 2me ˆ ) 2 e2 ˆ q A ( P e Hˆ Sˆ ·B 2me rˆ E (n, , m , ms ) qe Ry m B Bms 2 n 2me g2 pour l’électron. LE SPIN D’UNE PARTICULE FONDAMENTALE L’état d’une particule fondamental est décrit par un spineur, ie un vecteur de L2(R3,C) E(s), où s est fixé et peut prendre des valeurs entières ou demientière. s est le spin de la particule. L’état de la particule est décrit par 2s+1 fonctions d’ondes m (r) r, ms | s | ms (r) | 2 est la probabilité de trouver la particule en r dans un état de spin ms s ms s | ms (r ) | 2 est la probabilité de la trouver en r indépendamment de son état de spin Chapitre IX SPIN ET PARTICULES IDENTIQUES EN MECANIQUE QUANTIQUE IX.2 Particules identiques en mécanique quantique INDISCERNABILITÉ QUANTIQUE OPÉRATEUR D’ÉCHANGE L’opérateur d’échange P intervertit l’état quantique de deux particules Pˆ 1: a, 2 : b 1: b, 2 : a 1 2 Propriétés de l’opérateur d’échange Pˆ † Pˆ (Opérateur hermitien) Pˆ 2 1 (Involution) Les valeurs propres de l’opérateur d’échange sont ±1 POSTULAT DE SYMÉTRISATION L’état physique d’un système de particules indiscernables est inchangé par l’action de l’opérateur d’échange. Pˆ ei Propriété d’involution de l’opérateur d’échange eic = ±1 •Valeur propre +1 : particules symétriques par échange des états; statistique de Bose-Einstein (1924) •Valeur propre -1 : particules antisymétriques par échange des états; statistique de Fermi Dirac (1926) THÉORÈME SPIN-STATISTIQUE Lorsque l’on considère la physique quantique relativiste (théorie quantique des champs), on peut relier la statistique d’une classe de particules à leur spin (Pauli 1940). •Boson : spin entier •Fermion : spin ½ entier + boson de Higgs PARTICULES COMPOSITES Question : l’atome d’hydrogène est-il un boson ou un fermion ? Réponse 1: proton (spin ½)+électron (spin ½) = spin entier Réponse 2: échange de deux atomes d’hydrogène x-1 Echange complet : -1x-1=1 x-1 Le Lithium 6 (Z=3) est-il un boson ou un fermion ? 77% 1. Un boson 2. Un fermion n fe rm io Un Un bo so n 23% Lithium 7 Lithium 6 PRINCIPE DE PAULI Soient deux particules pouvant occuper deux états a et b. En l’absence de symétrisation, espace de Hilbert de dimension 4. Base: 1: a;2 : a ; 1: b;2 : b ; 1: a;2 : b ; 1: b;2 : a Postulat de symétrisation 1: a;2 : a Base d’états bosoniques 1: b;2 : b 1: a;2 : b 1: b;2 : a 2 « Base » d’état fermionique 1: a;2 : b 1: b;2 : a 2 Principe de Pauli (1926) : deux fermions identiques ne peuvent occuper le même état quantique. EXPÉRIENCE DE HONG, OU ET MANDEL (1987) c a d b Question: lorsqu’une particule arrive sur chaque canal d’entrée, quelle est la probabilité d’avoir une particule sur chaque canal de sortie après traversée de la lame semi-réfléchissante? Réponse classique : (cd ) 1/ 2 Que se passe-t-il pour des photons ? Cas d’un seul photon Unitarité de l’opérateur d’évolution et choix de phase des états de base : a b N.B. : réflexion vitreuse c d 2 c d (x-1) 2 Cas de deux photons Postulat de symétrisation (0) 1: a;2 : b 1: b;2 : a 2 Photons sans interactions (t ) 1: c;2 : c 1: d ;2 : d 2 (cd ) 0 COALESCENCE DE PHOTONS Interprétation physique : Interférence destructive entre chemins Réalisation expérimentale : Que vaut P(cd) pour une paire d’électrons ? 0 ¼ ½ ¾ 1 73% 7% 7% 10% 1 ¾ ½ ¼ 2% 0 1. 2. 3. 4. 5. DÉGROUPEMENT D’ÉLECTRONS Laboratoire Pierre Aigrain, ENS (2013) CE QU’IL FAUT RETENIR • L’espace des états le plus général d’une particule quantique est de la forme H L2 (R 3, C) E ( s, k ) s ,k où s désigne le moment cinétique interne de la particule. • Dans le cas d’une particule fondamentale, la somme se réduit à un seul terme. s est appelé le spin de la particule. s peut être entier ou demientier. • Les particules de spin demi-entier sont des fermions. L’état quantique d’un système de plusieurs fermions identiques est antisymétrique par échange de leur états. Elles obéissent alors au Principe de Pauli. • Les particules de spin entier sont des bosons. L’état quantique d’un système de plusieurs bosons identiques est symétrique par échange de leur états. Contrairement aux fermions plusieurs bosons peuvent occuper le même état quantique. A VENIR • Méthodes d’approximation: théorie des perturbations stationnaires. • Effet de taille finie du proton sur le spectre de l’atome d’hydrogène. • Atome en champ électrique, effet Stark.