Arbre de génération pour les permutations et simulation en

Arbre de g´en´eration pour les permutations et
simulation en aveugle
Romaric Duvignau
Journ´ees de Combinatoire de Bordeaux
5 f´evrier 2015
Travail en commun avec Philippe Duchon

Plan
1Pr´esentation de l’arbre de g´en´eration
2Deux applications probabilistes de notre arbre
3Simulation en aveugle
Romaric Duvignau Un nouvel arbre de g´en´eration pour les permutations 2 / 26

Arbre de g´en´eration
σ
φn(σ, 1)
φn(σ, 2)
.
.
.
φn(σ, n)
D´efinition : un arbre infini
Nœuds : permutations et Racine : permutation vide
Niveau n:Snensemble des permutations de [n] = {1,...,n}
Chaque permutation de taille n, a n+ 1 enfants
Une description de...
Pour tout n≥1, une bijection φnentre Sn−1×[n] et Sn
Algorithme de g´en´eration al´eatoire uniforme de permutations
de taille n:
Descente al´eatoire dans l’arbre jusqu’au niveau n.
Romaric Duvignau Un nouvel arbre de g´en´eration pour les permutations 3 / 26

Arbre de g´en´eration
σ
φn(σ, 1)
φn(σ, 2)
.
.
.
φn(σ, n)
D´efinition : un arbre infini
Nœuds : permutations et Racine : permutation vide
Niveau n:Snensemble des permutations de [n] = {1,...,n}
Chaque permutation de taille n, a n+ 1 enfants
Une description de...
Pour tout n≥1, une bijection φnentre Sn−1×[n] et Sn
Algorithme de g´en´eration al´eatoire uniforme de permutations
de taille n:
Descente al´eatoire dans l’arbre jusqu’au niveau n.
Romaric Duvignau Un nouvel arbre de g´en´eration pour les permutations 3 / 26

Arbre de g´en´eration : Exemple 1
Insertion par d´ecalage : σ0i-`eme enfant de σ
σ0(n) = i
Pour 1 ≤j≤n−1,
σ0(j) = σ(j) si σ(j)<i
σ0(j) = σ(j) + 1 si σ(j)≥i•
•
•
•
•
D´ebut de l’arbre
Romaric Duvignau Un nouvel arbre de g´en´eration pour les permutations 4 / 26