Calcul de primitives et d`intégrales - Académie de Nancy-Metz

Calcul de primitives et d’int´egrales
() Calcul de primitives et d’int´egrales 1 / 53

1Primitives et int´egrale d’une fonction continue sur un intervalle
2Premi`ere m´ethode de calcul : reconnaˆıtre la d´eriv´ee d’une fonction
3Transformations d’expressions
4Int´egration par parties
5Changements de variables
6Exploiter les sym´etries et/ou la p´eriodicit´e de la fonction `a int´egrer
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Plan
1Primitives et int´egrale d’une fonction continue sur un intervalle
2Premi`ere m´ethode de calcul : reconnaˆıtre la d´eriv´ee d’une fonction
3Transformations d’expressions
4Int´egration par parties
5Changements de variables
6Exploiter les sym´etries et/ou la p´eriodicit´e de la fonction `a int´egrer
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Primitives et int´egrale d’une fonction continue sur un
intervalle
D´efinition
Soit f une fonction continue sur un intervalle I `a valeurs r´eelles. On
appelle primitive de f sur I toute fonction F `a valeurs r´eelles d´efinie et
d´erivable sur I telle que F 0=f .
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Proposition
Soit f une fonction continue sur I . Si F est une primitive de f , alors les
primitives de f sur I sont toutes les fonctions de la forme F +C o`u C ∈R.
D´emonstration. Il est clair que toute fonction de la forme F+Cest une
primitive de fsur I. R´eciproquement, si Gest une primitive de fsur I
alors la fonction G−Fest d´erivable sur Ide d´eriv´ee
(G−F)0=G0−F0=f−f= 0. Ainsi, la fonction G−Fest constante
sur Iet il existe C∈Rtel que G=F+C.
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