Calcul de primitives et d`intégrales - Académie de Nancy-Metz

Calcul de primitives et d’intégrales
()
Calcul de primitives et d’intégrales
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1
Primitives et intégrale d’une fonction continue sur un intervalle
2
Première méthode de calcul : reconnaı̂tre la dérivée d’une fonction
3
Transformations d’expressions
4
Intégration par parties
5
Changements de variables
6
Exploiter les symétries et/ou la périodicité de la fonction à intégrer
()
Calcul de primitives et d’intégrales
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Plan
1
Primitives et intégrale d’une fonction continue sur un intervalle
2
Première méthode de calcul : reconnaı̂tre la dérivée d’une fonction
3
Transformations d’expressions
4
Intégration par parties
5
Changements de variables
6
Exploiter les symétries et/ou la périodicité de la fonction à intégrer
()
Calcul de primitives et d’intégrales
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Primitives et intégrale d’une fonction continue sur un
intervalle
Définition
Soit f une fonction continue sur un intervalle I à valeurs réelles. On
appelle primitive de f sur I toute fonction F à valeurs réelles définie et
dérivable sur I telle que F 0 = f .
()
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Proposition
Soit f une fonction continue sur I . Si F est une primitive de f , alors les
primitives de f sur I sont toutes les fonctions de la forme F + C où C ∈ R.
Démonstration. Il est clair que toute fonction de la forme F + C est une
primitive de f sur I . Réciproquement, si G est une primitive de f sur I
alors la fonction G − F est dérivable sur I de dérivée
(G − F )0 = G 0 − F 0 = f − f = 0. Ainsi, la fonction G − F est constante
sur I et il existe C ∈ R tel que G = F + C .
()
Calcul de primitives et d’intégrales
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Exemple: Les primitives sur R de la fonction polynomiale
f : x 7→ x 3 + 2x + 3 sont toutes les fonctions F de la forme :
∀x ∈ R,
()
1
F (x) = x 4 + x 2 + 3x + C ,
4
Calcul de primitives et d’intégrales
où C ∈ R.
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Nous admettrons le résultat d’existence suivant :
Théorème
Soit I un intervalle de R.
Toute fonction continue sur I à valeurs réelles possède une primitive sur I .
()
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Corollaire
Soit I un intervalle de R, a un élément de I et k un réel quelconque. Pour
toute fonction réelle f continue sur I , il existe une unique primitive F de f
vérifiant F (a) = k.
Démonstration. Existence : D’après le théorème précédent, f possède
une primitive H. Posons F = H + k − H(a). D’après la proposition 1, la
fonction F est une primitive de f . On a F (a) = H(a) + k − H(a) = k.
Unicité : Si G est une primitive de f telle que G (a) = k, il existe une
constante réelle C telle que : ∀x ∈ I , F (x) = G (x) + C . Comme F (a) = k
et G (a) = k, on a k = k + C donc C = 0 et F = G .
Exemple: La fonction ln est l’unique primitive sur ]0, +∞[ de la fonction
1
x 7→ qui s’annule en 1.
x
()
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Définition
Soit f une fonction continue sur un intervalle I . Pour tous réels Za et b
b
appartenant à I , l’intégrale de f entre a et b est le nombre réel
f (x) dx
a
par
Z b
f (x)dx = F (b) − F (a)
a
où F désigne une primitive quelconque de f sur I , et ce quel que soit
l’ordre des réels a et b.
Remarque:
Cette définition est licite puisque si F2 désigne une autre primitive de
f sur I , il existe C ∈ R tel que F2 = F + C et on a alors
F2 (b) − F2 (a) = F (b) + C − (F (a) + C ) = F (b) − F (a).
La variable x qui apparait sous le signe intégral est une variable
Z b
Z b
muette. Les deux notations
f (x) dx et
f (t) dt représentent la
même intégrale.
()
a
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a
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Relation de Chasles
Proposition
Soit f une fonction continue sur un intervalle I . Pour tous réels a, b et c
appartenant à I , on a
Z
b
Z
f (x) dx =
a
c
Z
f (x) dx +
a
b
f (x) dx
c
et ce quel que soit l’ordre des réels a, b et c.
Démonstration. Soit F une primitive de f sur I . On a
c
Z
Z
a
b
f (x)dx = F (c) − F (a) + F (b) − F (c)
f (x)dx +
c
Z
= F (b) − F (a) =
b
f (x)dx.
a
()
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Linéarité
Proposition
Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I . Soit a, b ∈ I et
λ ∈ R. On a
Z b
Z b
Z b
(λf (x) + g (x))dx = λ
f (x)dx +
g (x)dx.
a
a
a
Démonstration. On note F et G des primitives respectives de f et g sur
I . La fonction λF + G est alors une primitive de λf + g sur I . On a alors
Z b
(λf (x) + g (x))dx = (λF + G )(b) − (λF + G )(a)
a
= λF (b) + G (b) − λF (a) − G (a)
= λ(F (b) − F (a)) + (G (b) − G (a))
Z b
Z b
=λ
f (x)dx +
g (x)dx.
a
()
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a
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Théorème
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et soit a ∈ I .
La fonction P définie pour tout x ∈ I par
Z x
P(x) =
f (t)dt
a
est l’unique primitive de f sur I qui s’annule en a.
Démonstration. Puisque f est continue sur I , elle admet une primitive F
sur I . Pour tout x ∈ I , on a P(x) = F (x) − F (a) donc P est bien une
primitive de f sur I . On a P(a) = F (a) − F (a) = 0. Elle est unique d’après
le corollaire 1.
()
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Définition
On dit qu’une fonction f est de classe C 1 sur un intervalle I si et
seulement si elle est dérivable sur I et si sa dérivée f 0 est continue sur I .
()
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Plan
1
Primitives et intégrale d’une fonction continue sur un intervalle
2
Première méthode de calcul : reconnaı̂tre la dérivée d’une fonction
3
Transformations d’expressions
4
Intégration par parties
5
Changements de variables
6
Exploiter les symétries et/ou la périodicité de la fonction à intégrer
()
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Primitives usuelles
La façon la plus simple de trouver une primitive d’une fonction f est de
reconnaı̂tre en f la dérivée d’une fonction usuelle. On omet à chaque fois
la constante dans l’expression des primitives.
xk
1
xk
(k ∈ R\{1}) ⇒
(k ∈ R\{−1}) ⇒
1
1
,
k−1
1−k x
−1
1
,
⇒
2
x
x
√
1
√ ⇒ 2 x,
x
x ∈ R+
1
⇒ ln |x|,
x
ex ⇒ ex ,
()
x k+1
k +1
x ∈ R∗+ ou R∗−
x ∈ R∗+ ou R∗−
ax ⇒
ax
ln a
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cos x ⇒ sin x,
1
ou 1 + tan2 x ⇒ tan x,
cos2 (x)
tan x ⇒ − ln | cos x|,
sin x ⇒ − cos x
i π
h
π
x ∈ − + kπ; + kπ
2
2
i π
h
π
x ∈ − + kπ; + kπ
2
2
ch x ⇒ sh x;
(k ∈ Z)
(k ∈ Z)
sh x ⇒ ch x
1
ou 1 − th2 x ⇒ th x
ch (x)
2
th x ⇒ ln(ch x)
()
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1
⇒ Arctan x
1 + x2
√
()
1
⇒ arcsin x, x ∈] − 1; 1[
1 − x2
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Reconnaı̂tre la dérivée de la composée de deux fonctions
Il est facile de trouver une primitive d’une fonction lorsque celle-ci
s’exprime sous la forme de la dérivée de la composée de deux fonctions.
Proposition
Soit u est une fonction de classe C 1 sur un intervalle I à valeurs dans un
intervalle J et g est une fonction continue sur J. On note G une primitive
de g sur J. Une primitive sur I de la fonction f définie par
∀x ∈ I , f (x) = u 0 (x) g (u(x))
est la fonction F = G ◦ u.
()
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Fonction
u 0 (x)(u(x))k
Primitive
(k ∈ R\{−1})
(u(x))k+1
k+1
u 0 (x)
p
u(x)
√
2 u
u 0 (x)
u(x)
ln |u(x)|
u 0 (x) eu(x)
eu(x)
u 0 (x) cos(u(x))
sin(u(x))
()
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Fonction
Primitive
u 0 (x) sin(u(x))
− cos(u(x))
u 0 (x) ch(u(x))
sh(u(x))
u 0 (x) sh(u(x))
ch(u(x))
u 0 (x)
1 + (u(x))2
Arctan(u(x))
u 0 (x)
p
1 − (u(x))2
Arcsin(u(x))
()
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Plan
1
Primitives et intégrale d’une fonction continue sur un intervalle
2
Première méthode de calcul : reconnaı̂tre la dérivée d’une fonction
3
Transformations d’expressions
4
Intégration par parties
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Changements de variables
6
Exploiter les symétries et/ou la périodicité de la fonction à intégrer
()
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Transformations d’expressions
Pour obtenir une primitive d’une fonction f continue sur I , il est parfois
nécessaire de transformer l’expression de f pour reconnaitre des fonctions
que l’on sait intégrer.
()
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Linéarisation d’un polynôme trigonométrique
Si f contient des produits ou des puissance de cosinus et/ou sinus, on
linéarise l’expression (en remplaçant chaque sinus/cosinus l’aide de la
formule d’Euler, puis en développant tout). On obtient alors une somme
de termes en cos(`x) ou sin(mx) qu’on sait primitiver.
Exemple: Calculer
Z
π
sin2 (x) cos2 (x) dx
0
()
Calcul de primitives et d’intégrales
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Cas des fractions rationnelles simples
Pour trouver une primitive d’une fraction rationnelle, on la décompose en
éléments simples (c.f le cours sur les fractions rationnelles). Les termes de
la décomposition en éléments simples sont alors plus faciles à intégrer :
1
Les termes de la forme ax+b
(avec a, b des constantes) ont une
primitive de la forme C ln(ax + b) avec C une constante.
Les termes de la forme
1
(ax+b)k
ont une primitive de la forme
Les termes de la forme
C
(ax+b)k−1
1
ont
x 2 +1
λx+µ
ax 2 +bx+1
Les termes de la forme
changement de variable.
()
avec k 6= 1 ( et a, b des constantes)
avec C une constante.
une primitive de la forme arctan(x).
seront primitivés avec la formule de
Calcul de primitives et d’intégrales
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Exemple: Calculer
Z
0
1
x3
dx.
x +2
En effectuant la division euclidienne de X 3 par X + 2, on obtient
X 3 = (X 2 − 2X + 4)(X + 2) − 8
de sorte que pour tout x ∈ [0; 1], on a
x3
8
= x 2 − 2x + 4 −
.
x +2
x +2
On obtient ainsi
()
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Exemple: Calculer une primitive sur R de x →
x2
.
x2 + 1
Exemple: Calculer
Z
2
3
dx
−1
x2
On a x 2 − 1 = (x − 1)(x + 1). On sait qu’il existe deux nombres réels a et
b tels que pour tout x ∈ [2; 3],
1
1
a
b
=
=
+
.
x2 − 1
(x − 1)(x + 1)
x −1 x +1
Les techniques de calcul du chapitre sur les fractions rationnelles donnent
1
1
a = et b = − .
2
2
On en déduit :
()
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Plan
1
Primitives et intégrale d’une fonction continue sur un intervalle
2
Première méthode de calcul : reconnaı̂tre la dérivée d’une fonction
3
Transformations d’expressions
4
Intégration par parties
5
Changements de variables
6
Exploiter les symétries et/ou la périodicité de la fonction à intégrer
()
Calcul de primitives et d’intégrales
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La méthode d’intégration par parties
Théorème
Soit u et v deux fonctions de classe C 1 sur un intervalle I et soit a, b deux
éléments de I . On a
Z b
h
ib Z b
0
u (x)v (x) dx = u(x)v (x) −
u(x)v 0 (x) dx.
a
()
a
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a
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Démonstration. Les fonctions u, v , u 0 et v 0 étant continues sur I , les
fonctions u 0 v et uv 0 le sont également et possèdent donc des primitives sur
I . Puisque uv est dérivable de dérivée (uv )0 = u 0 v + uv 0 , la fonction uv est
une primitive de la fonction u 0 v + uv 0 . Autrement dit,
b
Z
h
ib
u 0 (t)v (t) + u(t)v 0 (t) dt = u(x)v (x)
a
a
ce qui donne l’égalité
Z
b
0
Z
u (x)v (x) dx +
a
b
h
ib
u(x)v 0 (x) dx = u(x)v (x)
a
a
d’où provient la formule d’intégration par parties.
()
Calcul de primitives et d’intégrales
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Remarque: La méthode d’intégration par parties sert à calculer des
primitives de produit de deux fonctions, en primitivant l’une et dérivant
l’autre. Elle peut être utile pour éliminer dans un produit une fonction qui
n’est pas simple à primitiver (comme ln, Arcsin, Arctan ...) et dont la
dérivée s’intègre plus aisément.
Elle permet aussi de calculer des intégrales dépendant d’un paramètre par
récurrence (par exemple les intégrales de Wallis, voir exercice).
()
Calcul de primitives et d’intégrales
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Une petite astuce...
Il arrive souvent qu’on utilise la formule d’intégration par parties, alors
qu’aucun produit n’apparaı̂t à priori dans la fonction f à primitiver...
L’astuce consiste à considérer que l’on intègre le produit 1 × f .
Exemple: Calculer une primitive de ln sur R∗+ .
()
Calcul de primitives et d’intégrales
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Intégrales de fonctions de la forme f (x) = P(x) eax où P ∈ R[X ] et
a∈R
Le principe est d’appliquer plusieurs fois la méthode d’intégration par
parties en dérivant le polynôme, ce qui finit par le faire disparaitre.
Exemple: Calculer une primitive sur R de la fonction
f : R → R
t 7→ (t 2 + 3t) et .
Remarque: Plus généralement, on peut montrer par récurrence que si P
est un polynôme de degré n, alors il existe un polynôme Q de degré n tel
que les primitives sur R de x 7−→ P(x) ex sur R sont les fonctions de la
forme x 7−→ Q(x) ex +C où C ∈ R.
()
Calcul de primitives et d’intégrales
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Fonctions de la forme f (x) = P(x) cos(ax) ou f (x) = P(x) sin(ax) où
P ∈ R[X ] et a ∈ R
On applique plusieurs fois la méthode d’intégration par parties en dérivant
le polynôme.
Z π
Exemple: Calculer
(x 2 + 2x − 3) sin(2x)dx.
0
()
Calcul de primitives et d’intégrales
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Plan
1
Primitives et intégrale d’une fonction continue sur un intervalle
2
Première méthode de calcul : reconnaı̂tre la dérivée d’une fonction
3
Transformations d’expressions
4
Intégration par parties
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Changements de variables
6
Exploiter les symétries et/ou la périodicité de la fonction à intégrer
()
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Changement de variable
Théorème
Soit f une fonction continue sur un intervalle J à valeurs dans R. Soit ϕ
une fonction de classe C 1 sur un intervalle I à valeurs dans J. Soit a et b
deux éléments de I . On a
Z b
Z ϕ(b)
0
(f ◦ ϕ)(x) ϕ (x) dx =
f (y ) dy .
a
()
ϕ(a)
Calcul de primitives et d’intégrales
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Démonstration. Soit F une primitive de f sur J. La fonction (f ◦ ϕ) ϕ0
est la dérivée de la fonction F ◦ ϕ et elle est continue sur [a, b] car f ◦ ϕ et
ϕ0 le sont. Par conséquent, on a
Z
b
(f ◦ ϕ)(x) ϕ0 (x) dx = F ◦ ϕ(b) − F ◦ ϕ(a)
a
= F (ϕ(b)) − F (ϕ(a))
Z ϕ(b)
=
f (y ) dy .
ϕ(a)
()
Calcul de primitives et d’intégrales
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Technique
Disons que l’on veuille effectuer un changement de variable dans l’intégrale
Z
b
f (x) dx.
a
Cette méthode s’applique de deux manières différentes :
()
Calcul de primitives et d’intégrales
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1er cas.
On exprime une nouvelle variable en fonction de l’ancienne : t = ϕ(x).
Cette technique est très utilisée lorsque la fonction f est presque sous la
forme f (x) = ϕ0 (x)g (ϕ(x)).
Il faut alors effectuer chacune des étapes suivantes :
1 Vérification du caractère C 1 : On verifie que ϕ est bien de classe C 1
sur le segment d’extrémités a et b.
2 Transformation des bornes : On transforme les bornes de l’intégrale :
si x = a, alors t = ϕ(a) et si x = b, alors t = ϕ(b).
3 Transformation de l’intégrande : On transforme ensuite f (x) dx en
effectuant les opérations suivantes :
4
1
calcul de la différentielle dt = ϕ0 (x) dx ;
2
écriture de f sous la forme f (x) = g ϕ(x) ϕ0 (x) dx ;
3
remplacement de ϕ0 (x) dx par dt et de ϕ(x) par t.
Écriture de la nouvelle intégrale.. et calcul, bien sûr.
()
Calcul de primitives et d’intégrales
38 / 53
Exemple: Calculer
Z
5π/2
cos(x) cos(sin x) dx
0
()
Calcul de primitives et d’intégrales
39 / 53
2ème cas :
On exprime l’ancienne variable en fonction d’une nouvelle : x = ψ(t). Il
s’agit de reprendre le processus à l’envers . Il faut alors effectuer
chacune des étapes suivantes :
1
2
3
Transformation des bornes de l’intégrale. On détermine α et β tel que
ψ(α) = a et ψ(β) = b.
Vérification du caractèreC 1 On vérifie que ψ est de classe C 1 sur le
segment d’extrémités α et β.
Transformation de l’intégrande On effectue ensuite la transformation
de f (x) dx en effectuant les opérations suivantes :
1
2
3
4
calcul de la différentielle dx = ψ 0 (t) dt ;
remplacement de dx par ψ 0 (t) dt
remplacement de x par ψ(t) ;
Écriture de la nouvelle intégrale
Z
Exemple: Calculer
1√
1 − x 2 dx.
−1
()
Calcul de primitives et d’intégrales
40 / 53
Attention :
Lorsqu’on exprime la nouvelle variable en fonction de l’ancienne
t = ϕ(x), on doit voir apparaı̂tre dans l’intégrale ϕ0 (x)dx et ϕ(x). Si
on n’y arrive pas, on peut essayer de transformer la relation t = ϕ(x)
pour exprimer x en fonction de t (x = ψ(t)), ce qui ramène à la
deuxième méthode.
Lorsqu’on exprime l’ancienne variable en fonction de la nouvelle, il
faut bien vérifier que le changement de variable est bien de classe C 1
entre les bornes de la nouvelle l’intégrale... sinon on court à la
catastrophe.
()
Calcul de primitives et d’intégrales
41 / 53
Calcul de primitives d’éléments simples par changement de
variable affine
On veut primitiver
dx + e
,
+ bx + c
ax 2
a, b, c, d, e ∈ R, ∆ = b 2 − 4ac < 0.
On fait ces trois étapes dans l’ordre, en sautant les étapes si nécessaire
(voir exemples plus bas).
Si d 6= 0 (c’est à dire si il y a du x au numérateur), on fait apparaitre
la dérivée du dénominateur au numérateur en ajustant les constantes.
Ce qui permet de séparer l’élément simple en deux fractions. Une
0
fraction est de la forme uu (de primitive en ln |u|) et une autre est de
1
la forme ax 2 +bx+c
.
1
On s’occupe de ax 2 +bx+c
. Si au dénominateur, on a le terme bx, on
utilise une identité remarquable pour faire apparaitre un carré + une
constante. On fait un changement de variable pour se ramener à une
fraction du type Ax 21+B .
()
Calcul de primitives et d’intégrales
42 / 53
Quand il ne reste qu’un élément de la forme Ax 21+B , on fait un
deuxième changement de variable pour se ramener à une fraction du
type x 21+1 , dont une primitive est arctan x.
Il est possible de faire en une seule fois les deux changements de variable
pour aller plus vite.
()
Calcul de primitives et d’intégrales
43 / 53
Faire apparaitre au numérateur la dérivée du dénominateur
Si y a du x au numérateur, on fait apparaitre la dérivée du dénominateur
au numérateur. Ce qui permet de calculer le début de la primitive. Il
1
à primitiver ensuite.
restera un terme en ax 2 +bx+c
Z 1
2x
Exemple: Calculer
dx.
2 + 2x + 2
x
0
Le discriminant du trinôme x 2 + 2x + 2 est strictement négatif, donc on ne
peut pas décomposer davantage, c’est un élément simple. On utilise le x
du numérateur pour faire apparaitre la dérivée du dénominateur.
()
Calcul de primitives et d’intégrales
44 / 53
Faire apparaitre un carré + constante au dénominateur
On fait apparaı̂tre une identité remarquable au dénominateur en utilisant
le terme en x 2 et le terme en x, et on compense avec une constante. Après
le changement de variable, on a une fraction du type at 21+b avec a, b
constantes non nulles.
Exemple: (suite) Il reste à calculer
Z
0
1
dx
x 2 + 2x + 2
On fait apparaı̂tre une identité remarquable au dénominateur en utilisant
le terme en x 2 et le terme en x
()
Calcul de primitives et d’intégrales
45 / 53
Faire apparaitre la dérivée d’une Arctangente. On veut calculer une
primitive de at 21+b avec a et b deux nombres réels strictement positifs,
c’est à dire calculer pour tout x ∈ R :
Z x
dt
2+b
at
0
L’objectif est de faire apparaitre
1
1
=
+b
b
1
a 2
bt
+1
On regroupe l’autre terme dans un seul carré :
at 2
3
qu’on sait primitiver.
On factorise b au dénominateur pour faire apparaı̂tre le +1.
at 2
2
1
y 2 +1
1
1
= p 2
a
+b
b
t
+
1
b
On fait le changement de variable y =
()
pa
bt
Calcul de primitives et d’intégrales
(le terme dans le carré).
46 / 53
p
On fait le changement de variable y = ba t dans l’intégrale
Z x
dt
2
0 at + b
p
p
On a dy = ba dt et les bornes qui deviennent 0 et ba x. Donc
Z
0
x
1
dt =
at 2 + b
Z √ax
b
=
1
=√
ab
()
Z √ax
b
0
0
x
Z
0
pa
dt
p pb a
a 2
b
+1
b
bt
1
2
b (y + 1)
1
r
b
dy
a
1
1
dy = √ arctan
y2 + 1
ab
Calcul de primitives et d’intégrales
r
a
x
b
47 / 53
Quotients de polynômes trigonométriques
Supposons que l’on soit amené à calculer une primitive d’une fonction
rationnelle en sin et cos, c’est-à-dire d’un quotient de polynômes
trigonométriques de la forme
f (x) =
P(sin(x), cos(x))
Q(sin(x), cos(x))
où P(X , Y ) et Q(X , Y ) désignent des polynômes à deux indéterminées.
On pense alors à effecter un changement de variable du type u = cos(x),
u = sin(x) ou u = tan(x). La plupart du temps, il est facile de voir le ou
lesquels de ces changements de variable est possible et permet de mener à
bien le calcul.
()
Calcul de primitives et d’intégrales
48 / 53
Par exemple, pour calculer
π/2
Z
0
2 cos(x) sin(x)
dx
2 + cos2 (x)
on voit sans peine que l’intégrande s’écrit sous la forme
2 cos(x) sin(x)
−2 cos(x)
=
cos0 (x) dx
2
2 + cos (x)
2 + cos2 (x)
si bien qu’il est naturel de poser u = cos(x), la fonction cos étant bien de
classe C 1 sur [0, π/2]. On obtient alors :
π/2
Z
0
Z
=
0
()
1
2 cos(x) sin(x)
dx =
2 + cos2 (x)
Z
0
1
−2u
du
2 + u2
h
i1
2u
2
du
=
ln(2
+
u
)
= ln(3) − ln(2).
2 + u2
0
Calcul de primitives et d’intégrales
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Si le changement de variable à effectuer ne vous saute pas aux yeux,
au-delà des classique u = cos x, u = sin x, u = tan x, on peut essayer
u = cos(2x) ou u = tan( x2 ) avec les formules de l’angle moitié (qui sont à
savoir !). Il faut faire attention lorsque l’on effectue un changement de
variable avec la fonction tangente de ne pas intégrer sur un intervalle
π
contenant un élément de la forme + kπ (k ∈ Z).
2
Exemple: Calculer une primitive sur R de la fonction x 7→
()
Calcul de primitives et d’intégrales
sin3 (x)
.
1 + cos2 (x)
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Plan
1
Primitives et intégrale d’une fonction continue sur un intervalle
2
Première méthode de calcul : reconnaı̂tre la dérivée d’une fonction
3
Transformations d’expressions
4
Intégration par parties
5
Changements de variables
6
Exploiter les symétries et/ou la périodicité de la fonction à intégrer
()
Calcul de primitives et d’intégrales
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Exploiter les symétries et/ou la périodicité de la fonction à
intégrer
On peut exploiter certaines propriétés des fonctions pour simplifier le
calcul d’une intégrale :
Soit a ∈ R et f une fonction paire et continue, alors
Z a
Z 0
Z a
Z a
f (t)dt =
f (t)dt +
f (t)dt = 2
f (t)dt
−a
−a
0
0
Soit a ∈ R et f une fonction impaire et continue, alors
Z a
Z 0
Z a
f (t)dt =
f (t)dt +
f (t)dt = 0
−a
−a
0
Soit a, b ∈ R et f une fonction T -périodique et continue, alors
Z b+T
Z b
f (t)dt =
f (t)dt
a+T
a
Toutes ces propriétés se prouvent par changement de variable.
()
Calcul de primitives et d’intégrales
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Exemple: Calculer
Z
I =
0
()
2π
sin3 (x)
dx.
1 + cos2 (x)
Calcul de primitives et d’intégrales
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