Théorie du producteur

ECO1 Introduction à l’économie
Amphi 3
Théorie(s) du producteur
Xavier Timbeau
[email protected]
Théorie(s) du producteur

La fonction de production





Minimiser le coût: le choix du plan de production optimal





Cardinale, inputs, outputs
Rendements croissants, constants, décroissants
Coût fixe, coût variable
Taux marginal de substitution
Programme du producteur
Représentation graphique
Cout marginal et coût moyen
Court terme et long terme, facteurs fixes
Maximiser le profit: fonction d’offre



Profit et programme du producteur
Concurrence parfaite, fonction d’offre, fonction d’offre agrégée
Monopole
 Il n’y a pas de fonction d’offre!
La fonction de production

Représentation de la technologie de production



𝑦𝑖 = 𝑓( 𝑥𝑖 ) où les 𝑦𝑖 sont les outputs, les 𝑥𝑖 sont les inputs
 Un seul output : 𝑓 croissante en les inputs, 𝑓({0}) = 0
 𝑌 = 𝑓(𝐾, 𝐿) un seul output deux inputs
1−𝛼 𝛼
 𝑌 = 𝐴. 𝐾
. 𝐿 fonction de production Cobb-Douglas
Notion de plan de production:
 Un vecteur {𝑧1 , 𝑧2 , … . , 𝑧𝑛 } et on note les inputs négatifs et les outputs positifs (ou nuls)
 Notation utile puisque les inputs sont produits par quelqu’un (chaîne de valeur)
Isoquantes de production et TMS
𝐾
Production de 𝑌 croissante

𝜏𝑖,𝑗 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑗
𝐿
Rendements

On appelle rendement

𝜇 = lim
𝜆→1


𝑑𝑓 𝜆. 𝑥𝑖
𝑓 𝜆. 𝑥𝑖
𝑑𝜆
𝜆
=
1
𝑓
𝑥𝑖 .
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
De combien est multipliée la production lorsqu’on double les inputs
 Si 2 rendements constants, supérieur à 2 croissants, inférieur à 2 décroissants
Coût fixe et coût variable
 Le coût fixe est la quantité d’inputs qu’il faut pour produire une quantité strictement positive
 Pas nécessairement de chaque input
 Coût variable (to be continued)
 Dérivée de 𝑓 en fonction des différents inputs
 𝑑𝑦 =

𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
. 𝑑𝑥𝑖
Exemple: cas d’un seul input
 𝑦 = 𝑎. (𝑥 − 𝑥) si 𝑥 > 𝑥; 𝑦 = 0 si 𝑥 < 𝑥
 𝑥 est un coût perdu (sunk cost)

𝜇 𝑥>𝑥 =
𝑥
𝑥−𝑥
𝑦
>1
 Si la fonction 𝑓 est concave, alors il
est possible d’avoir 𝜇 < 1 pour 𝑥
assez grand
𝑥
𝑥
Optimiser la production: minimiser le coût

Minimiser le coût, indépendamment de la structure de marché

Un vecteur de prix d’input (donnés, pas de pouvoir de marché du producteur) {𝑝𝑖 }
Minimiser le coût, pour une production donnée (𝑦 ou {𝑦𝑖 })
 𝐶 𝑝𝑖 , 𝑦𝑖
= 𝑝𝑖 . 𝑥𝑖 sous contrainte {𝑦𝑖 } ≤ 𝑓( 𝑥𝑖 )
Le programme dual : maximiser 𝑦 = 𝑓({𝑥𝑖 }) sous contrainte de 𝑐

Le lagrangien s’écrit (un seul output)


ℒ=

𝑝𝑖 . 𝑥𝑖 − 𝜆. 𝑦 − 𝑓 𝑥𝑖
Les conditions de premier ordre (CPO)
∀𝑖,
𝜕ℒ
𝜕ℒ
= 0;
= 0;
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝜆
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝑝𝑖
𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗
⇒
=
𝑜𝑢 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑟𝑒 𝜏𝑖,𝑗 =
𝑝𝑖
𝑝𝑗
𝑝𝑗
Minimisation du coût, interprétation graphique
𝐾
𝜏𝐿,𝐾 =
isocoût
𝑝𝐿
𝑤
=
𝑝𝐾 𝑝𝐾
isoproduction
𝐿
On appelle élasticité de substitution 𝜎 =
𝐿
𝑑 𝐾
𝐿
𝐾
𝑤
𝑑 𝑝
𝐾
𝑤
𝑝𝐾
=
𝑑 ln
𝐿
𝐾
𝑑 ln 𝜏𝐿,𝐾
𝐾
isoproduction
𝜎 est une mesure de la convexité des courbes d’iso-production,
𝜎 nul correspond à des iso production à angle droit (facteurs complémentaires)
𝜎 infini à des courbes d’iso-production droite (facteurs parfaitement substituables)
𝐿
Coût marginal et coût moyen

A l’optimum (coût minimal, 𝑦 donné), on peut définir la fonction de coût



𝑐 ∗ 𝑝𝑖 , 𝑦 est la fonction de coût
On appelle coût marginal
coût moyen
𝜕𝑐 ∗
𝑐𝑚 =
𝜕𝑦
𝑐∗
𝑐𝑀 =
𝑦


𝑐𝑚
𝑐
𝑐𝑀 → ∞ si il y a un coût fixe (𝑐(𝜖) > 0)
Si 𝑐𝑚 coupe 𝑐𝑀 , alors c’est au minimum de 𝑐𝑀

𝜕𝑐𝑀
𝜕𝑦


𝑐𝑀


𝑦
1
𝑦
= . (𝑐𝑚 − 𝑐𝑀 )
Si coût fixe, alors 𝑐𝑚 𝜖 < 𝑐𝑀 (𝜖)
Si 𝑐𝑚 𝜖 < 𝑐𝑀 (𝜖), alors 𝑐𝑀 est décroissant au
voisinage de 0
Si les deux courbes se coupent, alors, c’est un
minimum du coût moyen
Exemple: 𝑦 = 𝑎. 𝑥 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 𝑥; 𝑦 = 0 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑥
𝑦

𝑐 = 𝑝𝑥 . (𝑥 + ) (px . 𝑥 est le coût fixe,
𝑎
variable ou marginal)

𝑐𝑚 = 𝑝𝑥 .

𝑐𝑀 =
𝑦
𝑎
𝑥
𝑝𝑥 . (
𝑦
1
𝑎
+ )
𝑝𝑥
𝑎
est le coût
𝑐
𝑐𝑀
𝑐𝑚
𝑦
Est-ce que c’est possible ? Qu’est ce que ça peut représenter ?
𝑐
𝑐𝑀
𝑐𝑚
𝑦
Court terme et long terme

Certains facteurs de production peuvent être fixés dans le court terme, d’autre non



Définition du long terme: tous les facteurs peuvent être modifiés
Définition du court terme: seuls certains facteurs sont modifiables
Une définition plus précise peut être donnée lorsqu’on prend en compte le temps
 Mais plus complexe, une analyse en deux temps peut être éclairante
 Comment faire:
∞ −𝑟𝑡
𝑒 .𝐶
𝐿 𝑡 ,𝐼(𝑡) 0
min
𝐿(𝑡), 𝐾(𝑡), 𝑌(𝑡) . 𝑑𝑡 s.c. 𝑌 ≤ 𝑓(𝐿, 𝐾) et
𝑑𝐾 𝑡
𝑑𝑡
= −𝛿. 𝐾 𝑡 + 𝐼(𝑡)
Se résout en utilisant le Hamiltonien (to be continued)

Le capital est fixe à court terme, le travail est flexible (définition Mashallienne)

Le programme
min 𝐶 = 𝑤. 𝐿 + 𝑝𝑘 . 𝐾 s.c. 𝑌 = 𝑓(𝐾, 𝐿)
𝐾,𝐿
devient alors
min 𝐶 = 𝑤. 𝐿 s.c. 𝑌 = 𝑓(𝐾, 𝐿)
𝐿

Et est trivial (si 𝑓 est croissante en 𝐾 et 𝐿 alors, 𝐿 est défini par 𝑌 et 𝐾, pas de choix
Le programme peut être plus complexe s’il y a à la fois un coût d’achat du capital et un coût d’usage
 𝑢 est le taux d’utilisation du capital 𝐾. Si on ne se sert pas du capital alors, il ne coûte pas (il ne
se déprécie par par exemple)
min 𝐶 = 𝑤. 𝐿 + (𝑝𝑘 +𝑞𝑘 . 𝑢). 𝐾 s.c. 𝑌 = 𝑓(𝑢. 𝐾, 𝐿) à long terme
𝐾,𝐿,𝑢
min 𝐶 = 𝑤. 𝐿 + 𝑞𝑘 . 𝑢. 𝐾 s.c. 𝑌 = 𝑓(𝑢. 𝐾, 𝐿) à court terme
𝐿,𝑢
Maximiser le profit et construction de la fonction d’offre

Supposons donné le (vecteur des) prix de vente 𝑝 du (des) bien(s) produit(s)

Le profit est égal à
Π = 𝑝. 𝑌 −

Le comportement du producteur est la maximisation du profit
max Π = 𝑝. 𝑌 −
𝑌,𝑥𝑖


𝑝𝑖 . 𝑥𝑖
𝑝𝑖 . 𝑥𝑖 s.c. 𝑌 = 𝑓({𝑥𝑖 }) et Π ≥ 0
𝑌 ∗ (𝑝, {𝑝𝑖 }) est la fonction d’offre (à comparer à la fonction de demande marshallienne)
Ce programme est équivalent à celui-ci
max Π = 𝑝. 𝑌 − 𝐶 ∗ (Y) s.c. Π ≥ 0
𝑌,𝑥𝑖
∗
Où 𝐶 (𝑌) est la solution du programme
min 𝐶 𝑦 =
𝑥𝑖
Pourquoi ?
𝑝𝑖 . 𝑥𝑖 s.c. 𝑦 ≤ 𝑓( 𝑥𝑖 )
Maximiser le profit et construction de la fonction d’offre

Supposons donné le (vecteur des) prix de vente 𝑝 du (des) bien(s) produit(s)

Le profit est égal à
Π = 𝑝. 𝑌 −

Le comportement du producteur est la maximisation du profit
max Π = 𝑝. 𝑌 −
𝑝𝑖 . 𝑥𝑖 s.c. 𝑌 = 𝑓({𝑥𝑖 }) et Π ≥ 0
𝑌,𝑥𝑖


𝑝𝑖 . 𝑥𝑖
𝑌 ∗ (𝑝, {𝑝𝑖 }) est la fonction d’offre (à comparer à la fonction de demande marshallienne)
Ce programme est équivalent à celui-ci
max Π = 𝑝. 𝑌 − 𝐶 ∗ (Y) s.c. Π ≥ 0
𝑌,𝑥𝑖
∗
Où 𝐶 (𝑌) est la solution du programme
min 𝐶 𝑦 =
𝑥𝑖
𝑝𝑖 . 𝑥𝑖 s.c. 𝑦 ≤ 𝑓( 𝑥𝑖 )
maximiser sur les 𝒙𝒊 pour un 𝒚 quelconque, puis pour 𝒚 est équivalent à maximiser sur les {𝒙𝒊 , 𝒚}
max(max 𝑝. 𝑦 −
𝑦
𝑥𝑖
max 𝑝. 𝑦 −
𝑥𝑖
𝑝𝑖 . 𝑥𝑖 𝑠. 𝑐. 𝑦 = 𝑓 𝑥𝑖 ) ⇔ [max 𝑝. 𝑦 −
𝑦,𝑥𝑖
𝑝𝑖 . 𝑥𝑖 𝑠. 𝑐. 𝑦 = 𝑓 𝑥𝑖 ⇔ min
𝐶𝑃𝑂1 : 𝐶 ∗ ′𝑦
∗
𝐶 ′ 𝑦 . 𝑑𝑦 =
𝑝𝑖 . 𝑥𝑖 𝑠. 𝑐. 𝑦 = 𝑓 𝑥𝑖
𝑥𝑖
On peut aussi par le théorème de l’enveloppe
𝑝𝑖 . 𝑑𝑥𝑖 =
𝑝𝑖 . 𝑥𝑖 𝑠. 𝑐. 𝑦 = 𝑓 𝑥𝑖 ]
𝜕𝐶 ∗
𝜕𝑦
=
𝜕𝐶
𝜕𝑦 𝑥 ∗
𝑝𝑖
= 𝑝; 𝐶𝑃𝑂2 : ∀𝑖 𝜆 = ′ = 𝑝
𝑓𝑥𝑖
𝜆. 𝑓𝑥′𝑖 . 𝑑𝑥𝑖 = 𝜆. 𝑑𝑦 𝑒𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐶𝑃𝑂2 ⇔ 𝐶𝑃𝑂1
Concurrence parfaite, fonction d’offre, courbe de coût

La solution du programme conduit aux CPO:
𝜕𝐶
= 𝐶𝑦′ = 𝐶𝑚 = 𝑝
𝜕𝑦
La condition limite est Π ≥ 0
𝑐𝑚
𝑐
𝑐
𝑐𝑀
𝑐𝑀
𝑝2
𝑝2
Π>0
Π>0
Π=0
𝑝1
𝑝0
Π<0
𝑦0
𝑦1
𝑦2
𝑝0
𝑦
𝑦
Coût marginal croissant à partir d’un certain niveau de production
Une fonction d’offre bien définie, croissante, éventuellement 𝑦 𝑝 = 0, 𝑠𝑖 𝑝 < 𝑝∗
𝑦
𝑐𝑚
−1
𝑆(𝑦) = 𝑐𝑚
(𝑝)
𝑝
Coût marginal constant (rendements d’échelle)
Pas de fonction d’offre définie
Agrégation des fonctions d’offre

2 (𝑘) producteurs, 𝑓 𝑘 fonctions de production, même vecteur de prix des inputs

Pour chaque producteur on a minimisation des coûts
𝑝𝑖

𝑘
𝜏𝑖,𝑗
=

Et si les courbes de coûts ont les bonnes propriétés, on a des fonction d’offre
𝑝𝑗
𝑙
= 𝜏𝑖,𝑗
et donc deux fonctions de coûts 𝐶 𝑘 (𝑦, 𝑝𝑖 )
−1

𝑘
𝑆 𝑘 𝑝, 𝑝𝑖 = 𝑐𝑚
(𝑝, 𝑝𝑖 )
On peut définir 𝑆 = 𝑆 1 + 𝑆 2
𝑆 est la somme des solutions de 𝑚𝑎𝑥 Π

𝑆 est la solution de 𝑚𝑎𝑥


𝑦
Π où l’on choisit les 𝑥𝑖𝑘 tel que 𝑦 =
𝑆1 + 𝑆 2
𝑆2
𝑆1
𝑝
Coût marginal constant (rendements d’échelle)
Pas de fonction d’offre définie
𝑓 𝑘 (𝑥𝑖𝑘 )
Jusqu’où des producteurs ? Nullité du profit

On détermine la fonction d’offre agrégée comme celle qui conduit à un profit nul




Si le profit est positif, alors un entrepreneur s’installe sur le marché
Si le coût d’entrée est nul et le nombre de producteurs assez grand, alors le profit est nul
 Le profit total tend vers 0 en 1/N
Si le coût d’entrée est non nul, …
Si il n’y a pas de fonction d’offre (rendements croissants)

Minimisation des coûts et libre entrée ne sont pas compatible
 Il est efficace d’imposer un monopole
 Un monopole s’impose (le prix est choisit par le monopoleur): monopole naturel
max Π = 𝑝. 𝒀(𝒑) −
𝒑,𝑥𝑖
𝑝𝑖 . 𝑥𝑖 s.c. 𝑌 = 𝑓({𝑥𝑖 }) et Π ≥ 0
Ou encore
max Π = 𝑝. 𝒀(𝒑) − 𝐶 𝑌 𝑝
𝒑
et Π ≥ 0
𝑌 𝑝 est une fonction de demande (marchalienne)
En notant 𝑃 = 𝑌 −1 , l’inverse de la demande,
max Π = 𝑃(𝑦). 𝑦 − 𝐶 𝑦 et Π ≥ 0
𝑦
La condition de premier ordre s’écrit alors:
𝑃 + 𝑃′ . 𝑦 = 𝑐𝑚
𝑃. 1 +
𝑃
𝑃′
. 𝑦 = 𝑐𝑚 ou encore 𝑃 =
𝑐𝑚
1+
1
𝜖𝐷
avec 𝜖𝐷 =
𝑑𝑦
𝑦
𝑑𝑝
𝑝
(élasticité prix de la demande)
Monopole: représentation graphique
𝑝
1
𝐷𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑒 (𝐷 = 𝑝−ϵ , 𝑝 = 𝐷 −𝜖 )

Dans le cas du monopole, il existe un profit, si le
monopole fixe son prix


𝑐𝑀

𝑝∗
Si 2 producteurs, alors on a un duopole
(équilibre à la Cournot, to be continued…)
Pas d’entrée parce que coût d’entrée supérieur
au profit attendu en cas de duopole
Ou alors régulation et fixation d’un prix visant à
réduire le profit de monopole, et augmenter ce
que reçoivent les consommateurs
Π
𝑅𝑚 = 𝑝. (1 +
1
)
𝜖𝐷
𝑦∗
𝑃𝑚𝑜𝑛𝑜𝑝𝑜𝑙𝑒 −𝑃𝑐𝑜𝑛𝑐𝑢𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒
𝑃𝑚𝑜𝑛𝑜𝑝𝑜𝑙𝑒
1
= − 𝜖 = 𝐿 indice de distortion monopolistique de Lerner
𝐷
𝑦