Angles inscrits, angles au centre

CHAPITRE
Angles inscrits,
angles au centre
Objectifs du chapitre.
Énigme du chapitre.
est un quadrilatère inscrit dans un cercle
de centre O.
ABC D
A
??
40
D
O
50
B
30
14
C
[
Quelle est la mesure en degrés de l’angle B AO ?
La figure est volontairement fausse.
— Connaître etutiliser la relation entre un
angle inscrit et l’angle au centre qui intercepte le même arc.
I/ Angles inscrits et angles au centre
Activité A. Angle inscrit et angle au centre
1. Reproduire une figure du même type que celle-ci pour laquelle le point
cercle C passant par les points A, B et D.
O est le centre du
D
A
B
O
[
2. Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est un point de ce cercle et
dont les côtés coupent ce cercle.
B AD est un angle inscrit dans le cercle (C ).
(b) Tracer en rouge l’arc de cercle le plus court reliant les points B et D. On dit que l’angle
_
inscrit B AD intercepte l’arc de cercle BD.
(a) Justifier que l’angle
[
\
3. Un angle au centre d’un cercle est un angle dont le sommet est le centre de ce cercle.
Par exemple, l’angle B OD est un angle au centre du cercle C . On dit qu’il intercepte
_
l’arc de cercle BD.
Citer deux autres angles au centre du cercle
()
(C ) en précisant l’arc de cercle intercepté.
1) Angle inscrit dans un cercle
Définition
Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est un point de ce cercle et dont les
côtés coupent ce cercle.
[
()
Exemple
L’angle DBA est un angle inscrit dans le
d.
cercle C ; il intercepte l’arc AD
(C )
A
D
O
B
2) Angle au centre dans un cercle
Définition
On appelle angle au centre d’un cercle un angle dont le sommet est le centre de ce cercle.
[
Exemple
Dans le cercle
centre
(C ) de centre
O, l’angle au
_
(C )
A
DOA intercepte l’arc AD.
D
O
Faire les exercices 1 2 3 F
II/ De nouvelles propriétés
1) Avec un angle au centre et un angle inscrit
Activité B. Comparer un angle au centre et un angle inscrit
Partie A : Conjecture avec GeoGebra
1. (a)
Placer un point
O sur la fenêtre Graphique.
(b)
Créer un cercle de centre
(c)
Créer trois points
O.
[
[
(d)
A, B et C sur ce cercle tels que l’angle ACB soit aigu.
_
Afficher l’angle inscrit ACB qui intercepte l’angle AB et vérifier s’il est aigu.
(e)
Créer les demi-droites
(f)
Afficher la mesure de l’angle au centre
[OA) et [OB).
(g) Que remarque-t-on ?
2. (a)
(b)
Déplacer le point
[
_
AOB qui intercepte le même arc AB .
C sur le cercle. Que constate-t-on ?
Déplacer les points
A et B sur le cercle. Que constate-t-on ?
[ =2 \
Partie B : Démonstration
A, B et M sont trois points du cercle de centre O de telle sorte que les angles
_
AMB.
interceptent l’arc de cercle AB . On montre que AOB
\
1. Premier cas :
l’angle AMB .
\ [
AMB et AOB
[AM ] est un diamètre du cercle. On désigne par x la mesure en degrés de
OMB ? Justifier la réponse.
(b) Exprimer les mesures des angles du triangle OMB en fonction de x .
(c) En déduire la mesure de l’angle AOB .
(a) Quelle est la nature du triangle
[
\ [ ]
\ [
\ \
2. Deuxième cas : Le point O appartient au
secteur angulaire AMB . On appelle N le
point du cercle de sorte que MN soit un
diamètre.
(a) Que dire des angles
AMN et AON ?
(b) Que dire des angles
N MB et N OB ?
(c) Montrer alors que, dans ce cas, la propriété est vérifiée.
\
3. Troisième cas : Le point O n’appartient pas
au secteur angulaire AMB .
[ =2
[ ]
\
En considérant le diamètre MN , montrer
comme au deuxième cas que AOB
AMB .
Propriété
Dans un cercle, si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc, alors l’angle
au centre mesure le double de l’angle inscrit.
Exemple
La figure ci-contre représente un cercle C
d mesure ˚.
de centre O. L’angle CIL
d et l’angle
Dans le cercle, l’angle inscrit CIL
_
au centre C OL interceptent le même arc CL.
Donc l’angle au centre C OL mesure le
d.
double de l’angle inscrit CIL
[
[
76
[
d = 2 76˚ = 152˚:
C OL = 2 CIL
()
2) Avec deux angles inscrits
Activité C. Comparer des angles inscrits
1. Démonstration : Sur la figure ci-contre, les
points A, B , C et D appartiennent au cercle
de centre O.
(a) Quel est l’angle au centre qui intercepte
A
_
B
O
l’arc AC ?
(b) Exprimer la mesure de chacun des angles
ACB et ADB en fonction de celle de
l’angle AOB .
(c) Que peut-on en déduire pour les mesurse
des angles ACB et ADB ?
(d) Que peut-on dire au sujet de deux angles
inscrits dans un cercle interceptant le
même arc ?
[ [[
[ [
C
D
2. Application : Sur la figure ci-contre, D, E , F et
O.
Quelle est la mesure de l’angle DGF ? Justifier.
[
G sont quatre points du cercle de centre
E
G
63
63
O
F
D
Propriété
Si deux angles sont inscrits dans un même cercle et s’ils interceptent le même arc, alors ils ont la
même mesure.
Exemple
[ [
Sur la figure ci-contre, l’angle
˚.
67
Les angles
le cercle C .
[
OT E mesure
OT E et OLE sont inscrits dans
Ils interceptent tous les deux l’arc
[[
_
OE .
Donc ils ont la même mesure.
OT E mesure 67˚.
Donc l’angle OLE mesure 67˚.
L’angle
Faire les exercices 4 5 6 7 8 F 9 F 10 F 11 F 12 F
Problèmes :
Faire les exercices 13 F 14 F 15 F