Licence de Mathématiques. Topologie 1993-1994 TD de

Universit´e de Rouen
Facult´e des Sciences
Licence de Math´ematiques. Topologie 1993-1994
T.D. de TOPOLOGIE - Fiche No7 : CONNEXIT´ E
Exercice 1 : L’ensemble X=a, b, cest-il connexe pour les topologies :
T1=∅,{b},{b, c}, Xet T2=∅,{b},{c},{a, c},{b, c}, X?
D´eterminer les composantes connexes de Xpour ces topologies.
Exercice 2 : L’ensemble X=a, b, c, d, eest-il connexe pour les topologies :
T=∅,{a},{c, d},{a, c, d},{b, c, d, e}, X? Le sous-espace {b, d, e}est-il connexe ? Quelles
sont les composantes connexes des points de X?
Exercice 3 : Les espaces suivants sont-ils connexes : un espace discret, un espace grossier, un
espace cofini, un espace s´epar´e ayant un point isol´e, une partie finie d’un espace s´epar´e ?
D´eterminer les composantes connexes de Q,R∗,Q×Rpour la topologie usuelle.
Exercice 4 : On suppose (X, T) connexe et une topologie T0⊂ T . (X, T0) est-il connexe ?
Exercice 5 : Soit Aune partie connexe d’un espace topologique X. Les parties suivantes
sont-elles connexes : A,F r(A) , ˚ A ? ( consid´erer dans R2la r´eunion de 2 disques ferm´es
tangents ).
Exercice 6 : Soient Aune partie de Xet Bun sous-espace connexe de Xqui rencontre Aet
Ac. Montrer que Brencontre la fronti`ere de A. En d´eduire que dans un espace m´etrique
Enon born´e et connexe, les sph`eres S(x, r) = y∈E/d(x, y) = r,r > 0, sont non vides.
Exercice 7 : Soient Aet Bdeux parties non vides d’un espace topologique X.
a) On suppose Aet Bconnexes. A∩Best-il connexe ? Si de plus A∩B6=∅, montrer
que A∪Best connexe.
b) On suppose que Aet Bsont ferm´es et que A∪Bet A∩Bsont connexes. A l’aide
d’un exemple sur R, montrer que la conclusion n’est plus valable si Aou Bn’est pas
ferm´e.
Exercice 8 : Soient Xun espace topologique, Yun espace topologique discret et fune
application continue de Xdans Y. Montrer que fest constante sur chaque composante
connexe de X. En d´eduire que Xest non connexe si et seulement si il existe une surjection
continue de Xsur {0,1}discret.
Exercice 9 : Montrer que toute partie de X`a fois ouverte et ferm´ee contient la composante
connexe de chacun de ses points. Montrer que si Xa un nombre fini de composantes
connexes, celles-ci sont `a la fois ouvertes et ferm´ees dans X, et que la r´eciproque est vraie
si Xest compact.
Exercice 10 : Soit (An)n∈Nune suite d´ecroissante de parties compactes connexes non vides
d’un espace topologique X. Montrer que A=\
n∈N
Anest un compact connexe non vide.

Exercice 11 : Soit (X, d) un espace m´etrique.
a) Soient x∈Xet ε > 0 ; on pose : Γx,ε =y∈X/ il existe une ε-chaine de x`a y.
Montrer que Γx,ε est ouvert et ferm´e dans X.
b) On suppose que Xest compact et soit Γx=Tε>0Γx,ε. Montrer que Γx, la composante
connexe de xet l’intersection des parties ouvertes et ferm´ees contenant x, sont
identiques.
c) Si Xest localement compact, montrer l’´equivalence des propositions suivantes :
(i) pour tout xde Xla composante connexe de Xest {x}.
(ii) tout point de Xadmet une base de voisinages ouverts et ferm´es.
Exercice 12 : Montrer que X=nx, sin 1
x/ x ∈]0,1]o∪{0}×[−1,1]est un sous-espace
compact et connexe de R2. Est-il localement connexe ?
CONNEXIT´ E PAR ARC
D´efinition : Soit x0,x1/inX. On dit que γest une courbe dans Xreliant x0et x1s’il existe
aet br´eels tels que γsoit une application continue de [a, b] dans Xv´erifiant γ(a) = x0et
γ(b) = x1. L’espace est dit connexe par arc si pour tous x0et x1de X, il existe une courbe
dans Xreliant x0`a x1.
Exercice 13 : Montrer que si Xest connexe par arc, alors Xest connexe. En d´eduire que
l’ensemble Ades points de R2ayant au moins une coordonn´ee rationnelle est connexe.
Exercice 14 : Montrer que tout ouvert connexe de Rn(plus g´en´eralement d’un espace vectoriel
norm´e) est connexe par arc. Cela reste-t-il vrai pour un connexe quelconque ? (voir ex. 12)
Exercice 15 : Soient Xet Ydeux espaces connexes, Aune partie propre de X(i.e. non vide
et diff´erente de X) et Bune partie propre de Y.
Montrer que (A×B)cest connexe dans X×Y.
Application : dans Rn,n > 1, le compl´ementaire d’un pav´e born´e est connexe.