Exercice 1

Exercice 1 :
Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80% des élèves
mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à la cantine.
1°) Représentez les élèves dans un tableau, dans des ensembles, et dans un
arbre.
2°) Soient C et A les événements suivants : « Un élève pris au hasard mange à
la cantine » et « Un élève pris au hasard est angliciste ». Traduisez les
événements A ∩ C et A U C et donnez leurs probabilités. Quelle est la
probabilité de tomber à la cantine sur un angliciste ? Quelle est la probabilité
de tomber parmi les anglicistes sur quelqu’un ne mangeant pas à la cantine ?
3°) Un surveillant organise un jeu : on mise 1 €, et on tire un élève au hasard,
puis après l’avoir remis dans la cour on tire au hasard un 2ème élève. Chaque
élève non angliciste rapporte 2 €. Soit X la variable aléatoire donnant le gain
final au jeu. Déterminez sa loi de probabilité.
4°) Les autres surveillants ont-ils intérêt à participer au jeu ?
5°) Déterminez l’écart-type probable de ce jeu.
6°) On tire 3 élèves au hasard. Quelle devrait être la mise pour que le jeu soit
équitable ?
7°) On tire 2 élèves au hasard et on mise 1 €. Pour quel nombre d’élèves du
lycée ne mangeant pas à la cantine le jeu serait favorable à l’organisateur ?
Exercice 1 :
Un lycée comporte 1000 élèves. 70%
étudient l’anglais, 80% des élèves
mangent à la cantine, et 80 nonanglicistes ne mangent pas à la
cantine.
1°) Représentez les élèves dans un
tableau, dans des ensembles, et
dans un arbre.
Exercice 1 :
Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80%
mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à
la cantine.
1°) Représentez les élèves dans un tableau, dans des
ensembles, et dans un arbre.
A
A
on place les données de
C
800
l’énoncé dans le tableau.
C
80
700
1000
Exercice 1 :
Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80%
mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à
la cantine.
1°) Représentez les élèves dans un tableau, dans des
ensembles, et dans un arbre.
A
A
on complète
C
580
220 800
par addition ou soustraction.
C
120
80
200
700
300
1000
Exercice 1 :
Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80%
mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à
la cantine.
1°) Représentez les élèves dans un tableau, dans des
ensembles, et dans un arbre.
A
A
lycée
C
580
220 800
C
120
80
200
700
300
1000
Exercice 1 :
Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80%
mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à
la cantine.
1°) Représentez les élèves dans un tableau, dans des
ensembles, et dans un arbre.
A
A
lycée
C
580
220 800
anglicistes
C
120
80
200
700
300
1000
Exercice 1 :
Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80%
mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à
la cantine.
1°) Représentez les élèves dans un tableau, dans des
ensembles, et dans un arbre.
A
A
lycée
C
580
220 800
anglicistes
cantine
C
120
80
200
700
300
1000
Exercice 1 :
Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80%
mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à
la cantine.
1°) Représentez les élèves dans un tableau, dans des
ensembles, et dans un arbre.
A
A
lycée
C
580
220 800
anglicistes
cantine
C
120
80
200
580
700
300
1000
Exercice 1 :
Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80%
mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à
la cantine.
1°) Représentez les élèves dans un tableau, dans des
ensembles, et dans un arbre.
A
A
lycée
C
580
220 800
anglicistes
cantine
C
120
80
200
580
220
700
300
1000
Exercice 1 :
Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80%
mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à
la cantine.
1°) Représentez les élèves dans un tableau, dans des
ensembles, et dans un arbre.
A
A
lycée
C
580
220 800
anglicistes
cantine
C
120
80
200
120
580
220
700
300
1000
Exercice 1 :
Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80%
mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à
la cantine.
1°) Représentez les élèves dans un tableau, dans des
ensembles, et dans un arbre.
A
A
lycée
80
C
580
220 800
anglicistes
cantine
C
120
80
200
120
580
220
700
300
1000
Exercice 1 :
Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80%
mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à
la cantine.
1°) Représentez les élèves dans un tableau, dans des
ensembles, et dans un arbre.
A
A
lycée
80
C
580
220 800
anglicistes
cantine
C
120
80
200
120
580
220
700
300
1000
A
A
C
C
C
C
Exercice 1 :
Un lycée comporte 1000 élèves. 70% étudient l’anglais, 80%
mangent à la cantine, et 80 non-anglicistes ne mangent pas à
la cantine.
1°) Représentez les élèves dans un tableau, dans des
ensembles, et dans un arbre.
A
A
lycée
80
C
580
220 800
anglicistes
cantine
C
120
80
200
120
580
220
700
300
1000
700
300
580
A 120
A 220
80
C
C
C
C
et aussi
800
200
580
C 220
C 120
80
A
A
A
A
Exercice 1 :
2°) Soient C et A les événements suivants : « Un élève pris au
hasard mange à la cantine » et « Un élève pris au hasard est
angliciste ». Traduisez les événements A ∩ C et A U B et
donnez leurs probabilités.
A ∩ C est l’événement « L’élève tiré au hasard n’est pas
angliciste et mange à la cantine ».
On est en équiprobabilité donc p(A ∩ C) = 220/1000 = 0,22
A U C est l’événement « L’élève tiré au hasard est angliciste ou
mange à la cantine ».
On est en équiprobabilité donc p(A U C) = 920/1000 = 0,92
Exercice 1 :
2°) Soient C et A les événements suivants : « Un élève pris au
hasard mange à la cantine » et « Un élève pris au hasard est
angliciste ». Traduisez les événements A ∩ C et A U B et
donnez leurs probabilités.
A ∩ C est l’événement « L’élève tiré au hasard n’est pas
angliciste et mange à la cantine ».
On est en équiprobabilité donc p(A ∩ C) = 220/1000 = 0,22
A U C est l’événement « L’élève tiré au hasard est angliciste ou
mange à la cantine ».
On est en équiprobabilité donc p(A U C) = 920/1000 = 0,92
Quelle est la probabilité de tomber à la cantine sur un
angliciste ?
Exercice 1 :
2°) Soient C et A les événements suivants : « Un élève pris au
hasard mange à la cantine » et « Un élève pris au hasard est
angliciste ». Traduisez les événements A ∩ C et A U C et
donnez leurs probabilités.
A ∩ C est l’événement « L’élève tiré au hasard n’est pas
angliciste et mange à la cantine ».
On est en équiprobabilité donc p(A ∩ C) = 220/1000 = 0,22
A U C est l’événement « L’élève tiré au hasard est angliciste ou
mange à la cantine ».
On est en équiprobabilité donc p(A U C) = 920/1000 = 0,92
Quelle est la probabilité de tomber à la cantine sur un
angliciste ? p = 580 / 800 = 0,725
Exercice 1 :
2°) Soient C et A les événements suivants : « Un élève pris au
hasard mange à la cantine » et « Un élève pris au hasard est
angliciste ». Traduisez les événements A ∩ C et A U C et
donnez leurs probabilités.
A ∩ C est l’événement « L’élève tiré au hasard n’est pas
angliciste et mange à la cantine ».
On est en équiprobabilité donc p(A ∩ C) = 220/1000 = 0,22
A U C est l’événement « L’élève tiré au hasard est angliciste ou
mange à la cantine ».
On est en équiprobabilité donc p(A U C) = 920/1000 = 0,92
Quelle est la probabilité de tomber à la cantine sur un
angliciste ? p = 580 / 800 = 0,725 Quelle est la probabilité de
tomber parmi les anglicistes sur quelqu’un ne mangeant pas
à la cantine ? p = 120 / 700 = 12/70 = 6/35 ≈ 0,1714…
Exercice 1 :
3°) Un surveillant organise un jeu : on mise 1 €, et on tire au
hasard deux élèves. Chaque élève non angliciste rapporte 2 €.
Soit X la variable aléatoire donnant le gain final au jeu.
Déterminez sa loi de probabilité.
0,3
A
0,3
A 0,7 A Le 1er élève est remis dans la cour,
0,7
A 0,3 A
donc il s’agit d’un tirage
0,7
A
avec remise.
Exercice 1 :
3°) Un surveillant organise un jeu : on mise 1 €, et on tire au
hasard deux élèves. Chaque élève non angliciste rapporte 2 €.
Soit X la variable aléatoire donnant le gain final au jeu.
Déterminez sa loi de probabilité.
mise 1 €
0,3
A 4 € gagnés valeurs xi -1
1
3
0,3
A 0,7 A 2 €
p( X = xi ) 0,49
0,7
A 0,3 A 2 €
gain global = 0 – 1 = - 1
0,7
A 0€
0,7 × 0,7 = 0,49
Exercice 1 :
3°) Un surveillant organise un jeu : on mise 1 €, et on tire au
hasard deux élèves. Chaque élève non angliciste rapporte 2 €.
Soit X la variable aléatoire donnant le gain final au jeu.
Déterminez sa loi de probabilité.
mise 1 €
0,3
A 4 € gagnés valeurs xi -1
1
3
0,3
A 0,7 A 2 €
p( X = xi ) 0,49
0,09
0,7
A 0,3 A 2 €
0,7
A 0€
0,3 × 0,3 = 0,09
Exercice 1 :
3°) Un surveillant organise un jeu : on mise 1 €, et on tire au
hasard deux élèves. Chaque élève non angliciste rapporte 2 €.
Soit X la variable aléatoire donnant le gain final au jeu.
Déterminez sa loi de probabilité.
mise 1 €
0,3
A 4 € gagnés valeurs xi -1
1
3
0,3
A 0,7 A 2 €
p( X = xi ) 0,49 0,42 0,09
0,7
A 0,3 A 2 €
0,7
A 0€
0,3 × 0,7 + 0,7 × 0,3 = 0,42
Exercice 1 :
3°) Un surveillant organise un jeu : on mise 1 €, et on tire au
hasard deux élèves. Chaque élève non angliciste rapporte 2 €.
Soit X la variable aléatoire donnant le gain final au jeu.
Déterminez sa loi de probabilité.
mise 1 €
0,3
A 4 € gagnés valeurs xi -1
1
3
0,3
A 0,7 A 2 €
p( X = xi ) 0,49 0,42 0,09
0,7
A 0,3 A 2 €
0,7
A 0€
4°) Les autres surveillants ont-ils intérêt à participer au jeu ?
E(X) = Σ pi xi = 0,49 (-1) + 0,42 (1) + 0,09 (3) = 0,20 €
E(X) > 0 donc le jeu est favorable au joueur, donc OUI.
Exercice 1 :
4°) Les autres surveillants ont-ils intérêt à participer au jeu ?
E(X) = Σ pi xi = 0,49 (-1) + 0,42 (1) + 0,09 (3) = 0,20 €
E(X) > 0 donc le jeu est favorable au joueur. Réponse : OUI.
5°) Déterminez l’écart-type probable de ce jeu.
σ(X) = √ [ ∑ pi xi² - ( E(X) )² ]
= √ [ 0,49 (-1)² + 0,42 (1)² + 0,09 (3)² - 0,20² ]
= √ 1,68 valeur exacte
≈ 1,296 valeur approchée
Exercice 1 :
4°) Les autres surveillants ont-ils intérêt à participer au jeu ?
E(X) = Σ pi xi = 0,49 (-1) + 0,42 (1) + 0,09 (3) = 0,20 €
E(X) > 0 donc le jeu est favorable au joueur. Réponse : OUI.
5°) Déterminez l’écart-type probable de ce jeu.
σ(X) = √ [ ∑ pi xi² - ( E(X) )² ]
= √ [ 0,49 (-1)² + 0,42 (1)² + 0,09 (3)² - 0,20² ]
= √ 1,68
≈ 1,296
-1
0
1
2
3
Exercice 1 :
4°) Les autres surveillants ont-ils intérêt à participer au jeu ?
E(X) = Σ pi xi = 0,49 (-1) + 0,42 (1) + 0,09 (3) = 0,20 €
E(X) > 0 donc le jeu est favorable au joueur. Réponse : OUI.
5°) Déterminez l’écart-type probable de ce jeu.
σ(X) = √ [ ∑ pi xi² - ( E(X) )² ]
= √ [ 0,49 (-1)² + 0,42 (1)² + 0,09 (3)² - 0,20² ]
= √ 1,68
≈ 1,296
-1,1
1,5
-1
0
1
2
3