Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Géométrie algébrique dérivée B. Toën (CNRS, Université de Montpellier 2) Mars 2014 1 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Derived Algebraic Geometry. Preprint arXiv :1401.1044. 2 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés ”Géométrie algébrique dérivée” : sujet relativement récent. 3 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés ”Géométrie algébrique dérivée” : sujet relativement récent. Fondements (∼ 2000-2004) : T-Vezzosi, J. Lurie 3 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés ”Géométrie algébrique dérivée” : sujet relativement récent. Fondements (∼ 2000-2004) : T-Vezzosi, J. Lurie Développements (∼ 2004-2014) : nombreuses interactions avec d’autres domaines. 3 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Origine des idées 4 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Origine des idées Théorie de l’intersection : ”formule des Tors” (J.P. Serre). 4 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Origine des idées Théorie de l’intersection : ”formule des Tors” (J.P. Serre). Théorie des déformations I : complexe cotangent (D. Quillen, L. Illusie). 4 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Origine des idées Théorie de l’intersection : ”formule des Tors” (J.P. Serre). Théorie des déformations I : complexe cotangent (D. Quillen, L. Illusie). Théorie des déformations II : ”Derived Deformation Theory” Déformations ! algèbre de Lie (P. Deligne, V. Drinfeld). 4 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Origine des idées Théorie de l’intersection : ”formule des Tors” (J.P. Serre). Théorie des déformations I : complexe cotangent (D. Quillen, L. Illusie). Théorie des déformations II : ”Derived Deformation Theory” Déformations ! algèbre de Lie (P. Deligne, V. Drinfeld). Théorie de Gromov-Witten : classes fondamentales virtuelles (M. Kontsevich, CiocanFontanine-Kapranov). 4 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Origine des idées Théorie de l’intersection : ”formule des Tors” (J.P. Serre). Théorie des déformations I : complexe cotangent (D. Quillen, L. Illusie). Théorie des déformations II : ”Derived Deformation Theory” Déformations ! algèbre de Lie (P. Deligne, V. Drinfeld). Théorie de Gromov-Witten : classes fondamentales virtuelles (M. Kontsevich, CiocanFontanine-Kapranov). Théorie de l’homotopie I : types d’homotopie algébriques, champs et champs supérieurs (A. Grothendieck, C. Simpson). 4 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Origine des idées Théorie de l’intersection : ”formule des Tors” (J.P. Serre). Théorie des déformations I : complexe cotangent (D. Quillen, L. Illusie). Théorie des déformations II : ”Derived Deformation Theory” Déformations ! algèbre de Lie (P. Deligne, V. Drinfeld). Théorie de Gromov-Witten : classes fondamentales virtuelles (M. Kontsevich, CiocanFontanine-Kapranov). Théorie de l’homotopie I : types d’homotopie algébriques, champs et champs supérieurs (A. Grothendieck, C. Simpson). Théorie de l’homotopie II : homotopie stable, ”brave new algebra” (J. Morava, W. Waldhausen, M. Hopkins). 4 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Interactions I 5 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Interactions I Théorie des représentations (Langlands géométrique) : BenZvi-Nadler, Arinkin-Gaitsgory. 5 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Interactions I Théorie des représentations (Langlands géométrique) : BenZvi-Nadler, Arinkin-Gaitsgory. Physique mathématique (renormalisation) : K. Costello. 5 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Interactions I Théorie des représentations (Langlands géométrique) : BenZvi-Nadler, Arinkin-Gaitsgory. Physique mathématique (renormalisation) : K. Costello. Géométrie algébrique (invariants Gromov-Witten, Donaldson-Thomas) : Brav-Bussi-Joyce, Borisov-Joyce. 5 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Interactions I Théorie des représentations (Langlands géométrique) : BenZvi-Nadler, Arinkin-Gaitsgory. Physique mathématique (renormalisation) : K. Costello. Géométrie algébrique (invariants Gromov-Witten, Donaldson-Thomas) : Brav-Bussi-Joyce, Borisov-Joyce. Géométrie arithmétique (théorie de Hodge p-adique) : S. Beilinson, B. Bhatt. 5 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Interactions I Théorie des représentations (Langlands géométrique) : BenZvi-Nadler, Arinkin-Gaitsgory. Physique mathématique (renormalisation) : K. Costello. Géométrie algébrique (invariants Gromov-Witten, Donaldson-Thomas) : Brav-Bussi-Joyce, Borisov-Joyce. Géométrie arithmétique (théorie de Hodge p-adique) : S. Beilinson, B. Bhatt. Monde quantique (quantification par déformation) : Pantev-T-Vaquié-Vezzosi. 5 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Interactions II Topologie algébrique (homotopie stable) : J. Lurie, Antieau-Gepner. Géométrie non-commutative (homologie cylique) : T-Vaquié-Vezzosi. 6 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Dans cet exposé : 7 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Dans cet exposé : donner une idée des objets de la géométrie algébrique dérivée : schémas (et champs) dérivés 7 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Dans cet exposé : donner une idée des objets de la géométrie algébrique dérivée : schémas (et champs) dérivés mentionner un exemple de développement récent/en cours : interactions avec la topologie des surfaces 7 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Dans cet exposé : donner une idée des objets de la géométrie algébrique dérivée : schémas (et champs) dérivés mentionner un exemple de développement récent/en cours : interactions avec la topologie des surfaces (quantification des espaces de modules de représentations de groupes fondamentaux). 7 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Plan 1 Solutions à homotopie près d’équations algébriques. 8 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Plan 1 2 Solutions à homotopie près d’équations algébriques. Schémas dérivés et espaces de modules d’applications. 8 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Plan 1 2 3 Solutions à homotopie près d’équations algébriques. Schémas dérivés et espaces de modules d’applications. Quantification des espaces de modules des G -fibrés. 8 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersections k un corps de base. La problèmatique de la géométrie algébrique dérivée : 9 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersections k un corps de base. La problèmatique de la géométrie algébrique dérivée : X une variété (algébrique) (e.g. X = k n ), Y , Z ⊂ X deux sous-variétés. 9 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersections k un corps de base. La problèmatique de la géométrie algébrique dérivée : X une variété (algébrique) (e.g. X = k n ), Y , Z ⊂ X deux sous-variétés. Comprendre leur intersection Y ∩ Z. 9 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersections k un corps de base. La problèmatique de la géométrie algébrique dérivée : X une variété (algébrique) (e.g. X = k n ), Y , Z ⊂ X deux sous-variétés. Comprendre leur intersection Y ∩ Z. Lorsque Y et Z sont transverses : TY ⊕ TZ = TX , 9 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersections k un corps de base. La problèmatique de la géométrie algébrique dérivée : X une variété (algébrique) (e.g. X = k n ), Y , Z ⊂ X deux sous-variétés. Comprendre leur intersection Y ∩ Z. Lorsque Y et Z sont transverses : TY ⊕ TZ = TX , Y ∩ Z est une sous-variété de X . 9 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersections k un corps de base. La problèmatique de la géométrie algébrique dérivée : X une variété (algébrique) (e.g. X = k n ), Y , Z ⊂ X deux sous-variétés. Comprendre leur intersection Y ∩ Z. Lorsque Y et Z sont transverses : TY ⊕ TZ = TX , Y ∩ Z est une sous-variété de X . Lorsque Y et Z ne sont pas transverses, l’intersection naı̈ve Y ∩ Z est souvent ”incorrecte”. 9 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersections : géométrie différentielle Approche géométrie différentielle : 10 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersections : géométrie différentielle Approche géométrie différentielle : petite perturbation de Y en Y ⊂ X qui rencontre Z transversalement. 10 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersections : géométrie différentielle Approche géométrie différentielle : petite perturbation de Y en Y ⊂ X qui rencontre Z transversalement. Y ∩ Z sous-variété qui ”approxime” Y ∩ X . 10 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersections : géométrie différentielle Approche géométrie différentielle : petite perturbation de Y en Y ⊂ X qui rencontre Z transversalement. Y ∩ Z sous-variété qui ”approxime” Y ∩ X . Deux contre-parties. 10 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersections : géométrie différentielle Approche géométrie différentielle : petite perturbation de Y en Y ⊂ X qui rencontre Z transversalement. Y ∩ Z sous-variété qui ”approxime” Y ∩ X . Deux contre-parties. Dépendance du choix de Y . 10 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersections : géométrie différentielle Approche géométrie différentielle : petite perturbation de Y en Y ⊂ X qui rencontre Z transversalement. Y ∩ Z sous-variété qui ”approxime” Y ∩ X . Deux contre-parties. Dépendance du choix de Y . En dehors du contexte différentiel, e.g. contexte algébrique, Y peut être rigide et Y ne pas exister. 10 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersections : schémas X = k n, Y = {F1 = F2 = · · · = Fp = 0} Z = {G1 = G2 = · · · = Gq = 0} pour Fi , Gj ∈ k[X1 , . . . , Xn ]. 11 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersections : schémas X = k n, Y = {F1 = F2 = · · · = Fp = 0} Z = {G1 = G2 = · · · = Gq = 0} pour Fi , Gj ∈ k[X1 , . . . , Xn ]. Intersection en tant que schéma Y ∩ Z = Spec k[X1 , . . . , Xn ]/(Fi , Gj ) 11 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersections : schémas X = k n, Y = {F1 = F2 = · · · = Fp = 0} Z = {G1 = G2 = · · · = Gq = 0} pour Fi , Gj ∈ k[X1 , . . . , Xn ]. Intersection en tant que schéma Y ∩ Z = Spec k[X1 , . . . , Xn ]/(Fi , Gj ) L’ensemble algébrique Y ∩ Z ⊂ k n est muni de 11 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersections : schémas X = k n, Y = {F1 = F2 = · · · = Fp = 0} Z = {G1 = G2 = · · · = Gq = 0} pour Fi , Gj ∈ k[X1 , . . . , Xn ]. Intersection en tant que schéma Y ∩ Z = Spec k[X1 , . . . , Xn ]/(Fi , Gj ) L’ensemble algébrique Y ∩ Z ⊂ k n est muni de 1 une topologie (de Zariski), 11 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersections : schémas X = k n, Y = {F1 = F2 = · · · = Fp = 0} Z = {G1 = G2 = · · · = Gq = 0} pour Fi , Gj ∈ k[X1 , . . . , Xn ]. Intersection en tant que schéma Y ∩ Z = Spec k[X1 , . . . , Xn ]/(Fi , Gj ) L’ensemble algébrique Y ∩ Z ⊂ k n est muni de 1 2 une topologie (de Zariski), un faisceau d’anneaux induit par k[X1 , . . . , Xn ]/(Fi , Gj ). 11 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersections : schémas X = k n, Y = {F1 = F2 = · · · = Fp = 0} Z = {G1 = G2 = · · · = Gq = 0} pour Fi , Gj ∈ k[X1 , . . . , Xn ]. Intersection en tant que schéma Y ∩ Z = Spec k[X1 , . . . , Xn ]/(Fi , Gj ) L’ensemble algébrique Y ∩ Z ⊂ k n est muni de 1 2 une topologie (de Zariski), un faisceau d’anneaux induit par k[X1 , . . . , Xn ]/(Fi , Gj ). k[X1 , . . . , Xn ]/(Fi , Gj ) peut ne pas être réduit : 11 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersections : schémas X = k n, Y = {F1 = F2 = · · · = Fp = 0} Z = {G1 = G2 = · · · = Gq = 0} pour Fi , Gj ∈ k[X1 , . . . , Xn ]. Intersection en tant que schéma Y ∩ Z = Spec k[X1 , . . . , Xn ]/(Fi , Gj ) L’ensemble algébrique Y ∩ Z ⊂ k n est muni de 1 2 une topologie (de Zariski), un faisceau d’anneaux induit par k[X1 , . . . , Xn ]/(Fi , Gj ). k[X1 , . . . , Xn ]/(Fi , Gj ) peut ne pas être réduit : F = X 2 − Y , G = Y , k[], 2 = 0. 11 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersections : théorie de l’homotopie Approche homotopique : X , Y et Z des espaces topologiques. 12 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersections : théorie de l’homotopie Approche homotopique : X , Y et Z des espaces topologiques. ”Intersection homotopique” Y ×hX Z = {(y , z, α)/(y , z) ∈ Y × Z α : [0, 1] → X , α(0) = y , α(1) = z.} 12 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersections : théorie de l’homotopie Approche homotopique : X , Y et Z des espaces topologiques. ”Intersection homotopique” Y ×hX Z = {(y , z, α)/(y , z) ∈ Y × Z α : [0, 1] → X , α(0) = y , α(1) = z.} Paradigme homotopique : ”=” est remplacé par ”être homotope à”. 12 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Géométrie algébrique dérivée : nouvelle approche pour Y ∩ Z . 13 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Géométrie algébrique dérivée : nouvelle approche pour Y ∩ Z . Combinaison de la théorie des schémas et de la théorie de l’homotopie. 13 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Géométrie algébrique dérivée : nouvelle approche pour Y ∩ Z . Combinaison de la théorie des schémas et de la théorie de l’homotopie. Notion de solution à homotopie prés d’équations algébriques. 13 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Solutions à homotopie près I Si F1 , . . . , Fp ∈ k[X1 , . . . , Xn ], ”une solution de {Fj = 0}” : 14 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Solutions à homotopie près I Si F1 , . . . , Fp ∈ k[X1 , . . . , Xn ], ”une solution de {Fj = 0}” : une k-algèbre commutative A et un morphisme de k-algèbre φ : k[X1 , . . . , Xn ]/(F1 , . . . , Fp ) −→ A. 14 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Solutions à homotopie près I Si F1 , . . . , Fp ∈ k[X1 , . . . , Xn ], ”une solution de {Fj = 0}” : une k-algèbre commutative A et un morphisme de k-algèbre φ : k[X1 , . . . , Xn ]/(F1 , . . . , Fp ) −→ A. {φ(Xi ) = ai ∈ A / Fj (a1 , . . . , an ) = 0 ∀j}. 14 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Solutions à homotopie près I Si F1 , . . . , Fp ∈ k[X1 , . . . , Xn ], ”une solution de {Fj = 0}” : une k-algèbre commutative A et un morphisme de k-algèbre φ : k[X1 , . . . , Xn ]/(F1 , . . . , Fp ) −→ A. {φ(Xi ) = ai ∈ A / Fj (a1 , . . . , an ) = 0 ∀j}. Il existe une solution universelle : A = k[X1 , . . . , Xn ]/(F1 , . . . , Fp ). 14 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Solutions à homotopie près I Si F1 , . . . , Fp ∈ k[X1 , . . . , Xn ], ”une solution de {Fj = 0}” : une k-algèbre commutative A et un morphisme de k-algèbre φ : k[X1 , . . . , Xn ]/(F1 , . . . , Fp ) −→ A. {φ(Xi ) = ai ∈ A / Fj (a1 , . . . , an ) = 0 ∀j}. Il existe une solution universelle : A = k[X1 , . . . , Xn ]/(F1 , . . . , Fp ). Modèles locaux pour les schémas (loc. type fini sur k). 14 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Solutions à homotopie près II Si F1 , . . . , Fp ∈ k[X1 , . . . , Xn ], une solution à homotopie près de {Fj = 0} : 15 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Solutions à homotopie près II Si F1 , . . . , Fp ∈ k[X1 , . . . , Xn ], une solution à homotopie près de {Fj = 0} : une k-algèbre topologique commutative A et 15 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Solutions à homotopie près II Si F1 , . . . , Fp ∈ k[X1 , . . . , Xn ], une solution à homotopie près de {Fj = 0} : une k-algèbre topologique commutative A et des éléments ai ∈ A, 15 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Solutions à homotopie près II Si F1 , . . . , Fp ∈ k[X1 , . . . , Xn ], une solution à homotopie près de {Fj = 0} : une k-algèbre topologique commutative A et des éléments ai ∈ A, des chemins continus αj : [0, 1] −→ A, j = 1, . . . , p, avec αj (0) = Fj (a1 , . . . , an ) αj (1) = 0 ∀j 15 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Solutions à homotopie près II Si F1 , . . . , Fp ∈ k[X1 , . . . , Xn ], une solution à homotopie près de {Fj = 0} : une k-algèbre topologique commutative A et des éléments ai ∈ A, des chemins continus αj : [0, 1] −→ A, j = 1, . . . , p, avec αj (0) = Fj (a1 , . . . , an ) αj (1) = 0 ∀j Il existe une solution à homotopie prés universelle A. 15 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Solutions à homotopie près II Si F1 , . . . , Fp ∈ k[X1 , . . . , Xn ], une solution à homotopie près de {Fj = 0} : une k-algèbre topologique commutative A et des éléments ai ∈ A, des chemins continus αj : [0, 1] −→ A, j = 1, . . . , p, avec αj (0) = Fj (a1 , . . . , an ) αj (1) = 0 ∀j Il existe une solution à homotopie prés universelle A. π0 (A) ' k[X1 , . . . , Xn ]/(F1 , . . . , Fp ). 15 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Solutions à homotopie près II Si F1 , . . . , Fp ∈ k[X1 , . . . , Xn ], une solution à homotopie près de {Fj = 0} : une k-algèbre topologique commutative A et des éléments ai ∈ A, des chemins continus αj : [0, 1] −→ A, j = 1, . . . , p, avec αj (0) = Fj (a1 , . . . , an ) αj (1) = 0 ∀j Il existe une solution à homotopie prés universelle A. π0 (A) ' k[X1 , . . . , Xn ]/(F1 , . . . , Fp ). Modèles locaux pour les schémas dérivés. 15 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersection au sens de la géométrie algébrique dérivée I X = kn Y = {F1 = F2 = · · · = Fp = 0} Z = {G1 = G2 = · · · = Gq = 0} 16 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersection au sens de la géométrie algébrique dérivée I X = kn Y = {F1 = F2 = · · · = Fp = 0} Z = {G1 = G2 = · · · = Gq = 0} Intersection dérivée Y ∩ Z : ”Spec A” 16 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersection au sens de la géométrie algébrique dérivée I X = kn Y = {F1 = F2 = · · · = Fp = 0} Z = {G1 = G2 = · · · = Gq = 0} Intersection dérivée Y ∩ Z : ”Spec A” l’espace topologique Spec π0 (A) ⊂ k n (topologie de Zariski) 16 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersection au sens de la géométrie algébrique dérivée I X = kn Y = {F1 = F2 = · · · = Fp = 0} Z = {G1 = G2 = · · · = Gq = 0} Intersection dérivée Y ∩ Z : ”Spec A” l’espace topologique Spec π0 (A) ⊂ k n (topologie de Zariski) faisceau d’anneaux topologiques induit par A. 16 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersection au sens de la géométrie algébrique dérivée II Remarque : i πi (A) ' Tork[X ] (k[X ]/(F ), k[X ]/(G )). 17 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersection au sens de la géométrie algébrique dérivée II Remarque : i πi (A) ' Tork[X ] (k[X ]/(F ), k[X ]/(G )). Intersection dérivée contient plus que l’intersection schématique. 17 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Intersection au sens de la géométrie algébrique dérivée II Remarque : i πi (A) ' Tork[X ] (k[X ]/(F ), k[X ]/(G )). Intersection dérivée contient plus que l’intersection schématique. Par exemple, elle contient les multiplicités d’intersection lorsque (formule des Tors de J.P. Serre). 17 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Principe fondateur Géométrie algébrique dérivée : théorie des schémas où l’on remplace les anneaux commutatifs par les anneaux topologiques commutatifs, pris à homotopie près 18 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Principe fondateur Géométrie algébrique dérivée : théorie des schémas où l’on remplace les anneaux commutatifs par les anneaux topologiques commutatifs, pris à homotopie près Attention : La topologie sur OX est très différente de la topologie usuelle sur les anneaux de fonctions : 18 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Principe fondateur Géométrie algébrique dérivée : théorie des schémas où l’on remplace les anneaux commutatifs par les anneaux topologiques commutatifs, pris à homotopie près Attention : La topologie sur OX est très différente de la topologie usuelle sur les anneaux de fonctions : k est un corps discret ! 18 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Principe fondateur Géométrie algébrique dérivée : théorie des schémas où l’on remplace les anneaux commutatifs par les anneaux topologiques commutatifs, pris à homotopie près Attention : La topologie sur OX est très différente de la topologie usuelle sur les anneaux de fonctions : k est un corps discret ! Modèle combinatoire : anneaux commutatifs simpliciaux. 18 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Principe fondateur Géométrie algébrique dérivée : théorie des schémas où l’on remplace les anneaux commutatifs par les anneaux topologiques commutatifs, pris à homotopie près Attention : La topologie sur OX est très différente de la topologie usuelle sur les anneaux de fonctions : k est un corps discret ! Modèle combinatoire : anneaux commutatifs simpliciaux. Remarque : théorie de l’homotopie des anneaux topologiques coı̈ncident avec celle des anneaux simpliciaux. 18 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Définition I Définition (Mensongère) Un schéma dérivé consiste en un couple (X , OX ), où X est un espace topologique et OX est un faisceau de k-algèbres topologiques commutatives sur X , localement équivalent à Spec A, pour A la solution à homotopie près universelle d’un système d’équations algébriques. 19 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Définition I Définition (Mensongère) Un schéma dérivé consiste en un couple (X , OX ), où X est un espace topologique et OX est un faisceau de k-algèbres topologiques commutatives sur X , localement équivalent à Spec A, pour A la solution à homotopie près universelle d’un système d’équations algébriques. Remarque : ”Mensongère” : autoriser aussi que les homotopies αj satisfassent des équations algèbriques à homotopie près et ainsi de suite. 19 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Définition II 20 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Définition II Le schéma (X , π0 (OX )) est le le schéma sous-jacent. Noté t0 (X ). 20 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Définition II Le schéma (X , π0 (OX )) est le le schéma sous-jacent. Noté t0 (X ). Les faisceaux cohérents πi (OX ) sur t0 (X ) réfletent la structure dérivée 20 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Définition II Le schéma (X , π0 (OX )) est le le schéma sous-jacent. Noté t0 (X ). Les faisceaux cohérents πi (OX ) sur t0 (X ) réfletent la structure dérivée (faisceau structural virtuel, nilpotents généralisés). 20 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Un exemple important Y ⊂ Z = Spec A variétés lisses. 21 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Un exemple important Y ⊂ Z = Spec A variétés lisses. Y d’idéal I ⊂ A. X = Y ∩ Y , comme schéma dérivé. 21 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Un exemple important Y ⊂ Z = Spec A variétés lisses. Y d’idéal I ⊂ A. X = Y ∩ Y , comme schéma dérivé. On a π∗ (OX ) ' ∧∗A/I (I /I 2 ). 21 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Un exemple important Y ⊂ Z = Spec A variétés lisses. Y d’idéal I ⊂ A. X = Y ∩ Y , comme schéma dérivé. On a π∗ (OX ) ' ∧∗A/I (I /I 2 ). Si Z plus affine, vrai localement mais pas globalement (classe d’Atiyah). 21 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Définition III Point délicat : la notion de morphismes entre schémas dérivés. 22 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Définition III Point délicat : la notion de morphismes entre schémas dérivés. Car les anneaux simpliciaux sont pris à homotopie près. 22 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Définition III Point délicat : la notion de morphismes entre schémas dérivés. Car les anneaux simpliciaux sont pris à homotopie près. Les schémas dérivés forment une ∞-catégorie. 22 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Définition III Point délicat : la notion de morphismes entre schémas dérivés. Car les anneaux simpliciaux sont pris à homotopie près. Les schémas dérivés forment une ∞-catégorie. Une richesse du sujet : deux morphismes entre schémas dérivés peuvent être homotopes. 22 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Complexes tangents I Fait (Théorèmes Lurie, T-Vezzosi) Les énoncé et techniques standards de la théorie des schémas s’étendent aux schémas dérivés. 23 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Complexes tangents I Fait (Théorèmes Lurie, T-Vezzosi) Les énoncé et techniques standards de la théorie des schémas s’étendent aux schémas dérivés. Exemples : morphismes étales, lisses, plats, cohomologie (cohérente, de Rham), dimension, catégories dérivées (quasi-cohérentes, l-adiques, D-modules) etc . . .. 23 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Complexes tangents I Fait (Théorèmes Lurie, T-Vezzosi) Les énoncé et techniques standards de la théorie des schémas s’étendent aux schémas dérivés. Exemples : morphismes étales, lisses, plats, cohomologie (cohérente, de Rham), dimension, catégories dérivées (quasi-cohérentes, l-adiques, D-modules) etc . . .. Notion de champs algébriques dérivés (”orbifolds dérivées”), quotients par des groupe (groupoı̈des) lisses. 23 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Complexes tangents II Un schéma dérivé X a un ”complexe cotangent” LX ∈ Dqcoh (X ). 24 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Complexes tangents II Un schéma dérivé X a un ”complexe cotangent” LX ∈ Dqcoh (X ). ”Faisceau des 1-formes sur X ”. 24 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Complexes tangents II Un schéma dérivé X a un ”complexe cotangent” LX ∈ Dqcoh (X ). ”Faisceau des 1-formes sur X ”. Pour un affine X = Spec, A c’est le complexe cotangent de Quillen. 24 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Complexes tangents II Un schéma dérivé X a un ”complexe cotangent” LX ∈ Dqcoh (X ). ”Faisceau des 1-formes sur X ”. Pour un affine X = Spec, A c’est le complexe cotangent de Quillen. Pour X un schéma (non dérivé) c’est le complexe cotangent d’Illusie. 24 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Complexes tangents II Un schéma dérivé X a un ”complexe cotangent” LX ∈ Dqcoh (X ). ”Faisceau des 1-formes sur X ”. Pour un affine X = Spec, A c’est le complexe cotangent de Quillen. Pour X un schéma (non dérivé) c’est le complexe cotangent d’Illusie. Définition Le complexe tangent de X est le dual OX -lineaire de LX TX := Hom(LX , OX ). 24 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Complexes tangents III Comprendre le complexe tangent TX ,x c’est comprendre la structure locale de X en x (en caractéristique nulle). 25 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Complexes tangents III Comprendre le complexe tangent TX ,x c’est comprendre la structure locale de X en x (en caractéristique nulle). Théorème (Folklorique, Ciocan-Fontanine-Kapranov, Hinich, Lurie) 1 2 Le complexe TX ,x [−1] possède une structure de lie. On a Xbx ' Spf (Sym\ k(x) (LX ,x )) 25 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Complexes tangents III Comprendre le complexe tangent TX ,x c’est comprendre la structure locale de X en x (en caractéristique nulle). Théorème (Folklorique, Ciocan-Fontanine-Kapranov, Hinich, Lurie) 1 2 Le complexe TX ,x [−1] possède une structure de lie. On a Xbx ' Spf (Sym\ k(x) (LX ,x )) Remarque : ici Symk(x) (LX ,x ) est muni de la différentielle de Chevalley-Eilenberg 25 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Complexes tangents III Comprendre le complexe tangent TX ,x c’est comprendre la structure locale de X en x (en caractéristique nulle). Théorème (Folklorique, Ciocan-Fontanine-Kapranov, Hinich, Lurie) 1 2 Le complexe TX ,x [−1] possède une structure de lie. On a Xbx ' Spf (Sym\ k(x) (LX ,x )) Remarque : ici Symk(x) (LX ,x ) est muni de la différentielle de anneau topologique. Chevalley-Eilenberg dg-anneau 25 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Schémas (champs) dérivés d’applications I Un exemple important : 26 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Schémas (champs) dérivés d’applications I Un exemple important : espace de modules d’applications X → Y. 26 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Schémas (champs) dérivés d’applications I Un exemple important : espace de modules d’applications X → Y. Théorème (T-Vezzosi) Soit X une variété algébrique projective et lisse, et Y un schéma (champ) dérivé de présentation finie. 26 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Schémas (champs) dérivés d’applications I Un exemple important : espace de modules d’applications X → Y. Théorème (T-Vezzosi) Soit X une variété algébrique projective et lisse, et Y un schéma (champ) dérivé de présentation finie. 1 Il existe un schéma (champ) dérivé Map(X , Y ) avec 26 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Schémas (champs) dérivés d’applications I Un exemple important : espace de modules d’applications X → Y. Théorème (T-Vezzosi) Soit X une variété algébrique projective et lisse, et Y un schéma (champ) dérivé de présentation finie. 1 Il existe un schéma (champ) dérivé Map(X , Y ) avec Hom(S, Map(X , Y )) ' Hom(S × X , Y ). 26 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Schémas (champs) dérivés d’applications I Un exemple important : espace de modules d’applications X → Y. Théorème (T-Vezzosi) Soit X une variété algébrique projective et lisse, et Y un schéma (champ) dérivé de présentation finie. 1 Il existe un schéma (champ) dérivé Map(X , Y ) avec Hom(S, Map(X , Y )) ' Hom(S × X , Y ). 2 TMap(X ,Y ) ' p∗ π ∗ (TY ) pour Map(X , Y ) o p Map(X , Y ) × X π / Y . 26 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Schémas (champs) dérivés d’applications II Remarques : t0 (Map(X , Y )) est le schéma des morphismes (Grothendieck). 27 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Schémas (champs) dérivés d’applications II Remarques : t0 (Map(X , Y )) est le schéma des morphismes (Grothendieck). Le point (2) du théorème est faux pour le schéma des morphismes non-dérivé. 27 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Schémas (champs) dérivés d’applications II Remarques : t0 (Map(X , Y )) est le schéma des morphismes (Grothendieck). Le point (2) du théorème est faux pour le schéma des morphismes non-dérivé. En un point f ∈ Map(X , Y ), correspondant à f : X → Y TMap(X ,Y ),f ' H ∗ (X , f ∗ (TY )). 27 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Espaces de modules dérivé de G -fibrés I G un groupe algébrique réductif (e.g. G = Gln ). 28 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Espaces de modules dérivé de G -fibrés I G un groupe algébrique réductif (e.g. G = Gln ). Il existe un champ algébrique des G -fibrés principaux : 28 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Espaces de modules dérivé de G -fibrés I G un groupe algébrique réductif (e.g. G = Gln ). Il existe un champ algébrique des G -fibrés principaux : BG = [∗/G ]. 28 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Espaces de modules dérivé de G -fibrés I G un groupe algébrique réductif (e.g. G = Gln ). Il existe un champ algébrique des G -fibrés principaux : BG = [∗/G ]. Corollaire Pour X projective et lisse il existe un champ dérivé des G -fibrés sur X 28 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Espaces de modules dérivé de G -fibrés I G un groupe algébrique réductif (e.g. G = Gln ). Il existe un champ algébrique des G -fibrés principaux : BG = [∗/G ]. Corollaire Pour X projective et lisse il existe un champ dérivé des G -fibrés sur X BunG (X ) := Map(X , BG ) 28 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Espaces de modules dérivé de G -fibrés I G un groupe algébrique réductif (e.g. G = Gln ). Il existe un champ algébrique des G -fibrés principaux : BG = [∗/G ]. Corollaire Pour X projective et lisse il existe un champ dérivé des G -fibrés sur X BunG (X ) := Map(X , BG ) On connait le tangent en ρ : X → BG 28 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Espaces de modules dérivé de G -fibrés I G un groupe algébrique réductif (e.g. G = Gln ). Il existe un champ algébrique des G -fibrés principaux : BG = [∗/G ]. Corollaire Pour X projective et lisse il existe un champ dérivé des G -fibrés sur X BunG (X ) := Map(X , BG ) On connait le tangent en ρ : X → BG Tρ ' H ∗ (X , gρ )[1] 28 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Espaces de modules dérivé de G -fibrés I G un groupe algébrique réductif (e.g. G = Gln ). Il existe un champ algébrique des G -fibrés principaux : BG = [∗/G ]. Corollaire Pour X projective et lisse il existe un champ dérivé des G -fibrés sur X BunG (X ) := Map(X , BG ) On connait le tangent en ρ : X → BG Tρ ' H ∗ (X , gρ )[1] (donc aussi la structure locale de BunG (X )). 28 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Espaces de modules dérivé de G -fibrés II De même, si X est un espace topologique ”fini” 29 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Espaces de modules dérivé de G -fibrés II De même, si X est un espace topologique ”fini” (équivalent à un complexe cellulaire fini). 29 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Espaces de modules dérivé de G -fibrés II De même, si X est un espace topologique ”fini” (équivalent à un complexe cellulaire fini). Il existe un champ dérivé des ”G -fibrés sur X ”, 29 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Espaces de modules dérivé de G -fibrés II De même, si X est un espace topologique ”fini” (équivalent à un complexe cellulaire fini). Il existe un champ dérivé des ”G -fibrés sur X ”, i.e. des représentations de π1 (X ) dans G 29 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Espaces de modules dérivé de G -fibrés II De même, si X est un espace topologique ”fini” (équivalent à un complexe cellulaire fini). Il existe un champ dérivé des ”G -fibrés sur X ”, i.e. des représentations de π1 (X ) dans G BunG (X ) := Map(X , BG ). 29 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Espaces de modules dérivé de G -fibrés II De même, si X est un espace topologique ”fini” (équivalent à un complexe cellulaire fini). Il existe un champ dérivé des ”G -fibrés sur X ”, i.e. des représentations de π1 (X ) dans G BunG (X ) := Map(X , BG ). On a Tρ ' H ∗ (X , gρ )[1] 29 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Espaces de modules dérivé de G -fibrés II Théorème (Pantev-T-Vaquié-Vezzosi) Si X est orienté de dimension d, alors BunG (X ) possède une quantification naturelle. 30 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Espaces de modules dérivé de G -fibrés II Théorème (Pantev-T-Vaquié-Vezzosi) Si X est orienté de dimension d, alors BunG (X ) possède une quantification naturelle. Remarques : ”Quantification” = ”déformation non-commutative”. 30 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Espaces de modules dérivé de G -fibrés II Théorème (Pantev-T-Vaquié-Vezzosi) Si X est orienté de dimension d, alors BunG (X ) possède une quantification naturelle. Remarques : ”Quantification” = ”déformation non-commutative”. Point clé : construction de formes symplectiques sur BunG (X ) 30 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Espaces de modules dérivé de G -fibrés II Théorème (Pantev-T-Vaquié-Vezzosi) Si X est orienté de dimension d, alors BunG (X ) possède une quantification naturelle. Remarques : ”Quantification” = ”déformation non-commutative”. Point clé : construction de formes symplectiques sur BunG (X ) à l’aide de la forme d’intersection sur H ∗ (X , grho ) 30 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Espaces de modules dérivé de G -fibrés II Théorème (Pantev-T-Vaquié-Vezzosi) Si X est orienté de dimension d, alors BunG (X ) possède une quantification naturelle. Remarques : ”Quantification” = ”déformation non-commutative”. Point clé : construction de formes symplectiques sur BunG (X ) à l’aide de la forme d’intersection sur formes symplectiques décalées. H ∗ (X , grho ) 30 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Espaces de modules dérivé de G -fibrés II Théorème (Pantev-T-Vaquié-Vezzosi) Si X est orienté de dimension d, alors BunG (X ) possède une quantification naturelle. Remarques : ”Quantification” = ”déformation non-commutative”. Point clé : construction de formes symplectiques sur BunG (X ) à l’aide de la forme d’intersection sur formes symplectiques décalées. H ∗ (X , grho ) Faux pour espace de module non dérivé. 30 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Espaces de modules dérivé de G -fibrés II Théorème (Pantev-T-Vaquié-Vezzosi) Si X est orienté de dimension d, alors BunG (X ) possède une quantification naturelle. Remarques : ”Quantification” = ”déformation non-commutative”. Point clé : construction de formes symplectiques sur BunG (X ) à l’aide de la forme d’intersection sur formes symplectiques décalées. H ∗ (X , grho ) Faux pour espace de module non dérivé. X = ∗ on retrouve le groupe quantique. 30 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Variété des caractères I Σ une surface de Riemann compact orientée, G un groupe réductif. La variété des caractères de Σ est χ(Σ) := Hom(π1 (Σ), G )/G . 31 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Variété des caractères I Σ une surface de Riemann compact orientée, G un groupe réductif. La variété des caractères de Σ est χ(Σ) := Hom(π1 (Σ), G )/G . Variété affine en général singulière 31 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Variété des caractères I Σ une surface de Riemann compact orientée, G un groupe réductif. La variété des caractères de Σ est χ(Σ) := Hom(π1 (Σ), G )/G . Variété affine en général singulière problème pour la quantification (e.g. au sens de Fock-Goncharov) dû aux singularités. 31 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Variété des caractères II Géométrie algébrique dérivée : 32 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Variété des caractères II Géométrie algébrique dérivée : BunG (Σ) se quantifie en tant que champ dérivé. 32 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Variété des caractères II Géométrie algébrique dérivée : BunG (Σ) se quantifie en tant que champ dérivé. Algébriquement : déformation de la k-algèbre topologique O(BunG (Σ)), des fonctions sur BunG (Σ). 32 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Variété des caractères II Géométrie algébrique dérivée : BunG (Σ) se quantifie en tant que champ dérivé. Algébriquement : déformation de la k-algèbre topologique O(BunG (Σ)), des fonctions sur BunG (Σ). Sur les π0 : algèbre ”skein”. 32 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Variété des caractères II Géométrie algébrique dérivée : BunG (Σ) se quantifie en tant que champ dérivé. Algébriquement : déformation de la k-algèbre topologique O(BunG (Σ)), des fonctions sur BunG (Σ). Sur les π0 : algèbre ”skein”. Espoir : l’homotopie supérieure de O(BunG (Σ)) permet de surpasser les difficultés liées aux singularités 32 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Variété des caractères II Géométrie algébrique dérivée : BunG (Σ) se quantifie en tant que champ dérivé. Algébriquement : déformation de la k-algèbre topologique O(BunG (Σ)), des fonctions sur BunG (Σ). Sur les π0 : algèbre ”skein”. Espoir : l’homotopie supérieure de O(BunG (Σ)) permet de surpasser les difficultés liées aux singularités (en cours). 32 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Variété des caractères III Formellement en ρ ∈ BunG (Σ), tout se décrit à l’aide de l’algèbre de Lie H ∗ (Σ, gρ ) 33 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Variété des caractères III Formellement en ρ ∈ BunG (Σ), tout se décrit à l’aide de l’algèbre de Lie H ∗ (Σ, gρ ) (”lemme de Darboux”). 33 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Variété des caractères III Formellement en ρ ∈ BunG (Σ), tout se décrit à l’aide de l’algèbre de Lie H ∗ (Σ, gρ ) (”lemme de Darboux”). BunG (X ) se quantifie pour X de dimension arbitraire : 33 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Variété des caractères III Formellement en ρ ∈ BunG (Σ), tout se décrit à l’aide de l’algèbre de Lie H ∗ (Σ, gρ ) (”lemme de Darboux”). BunG (X ) se quantifie pour X de dimension arbitraire : nouveau monde à explorer (en particulier DimX > 3). 33 / 34 Introduction Solutions à homotopie près d’équations algébriques Schémas dérivés Quantification des espaces de modules de G -fibrés Merci. 34 / 34