Prévision de la trajectoire d`une avalanche

Prévision de la trajectoire d'une
avalanche
dense
J’indiquerais en vert mes principales questions, ceci n’apparaitra pas dans la présentation finale.
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Construction d’une simulation numérique de l’écoulement d’une
avalanche dense
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Modélisation
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Mise en équation et résolution
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Traitement par un ordinateur
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Tracés
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Comment marche le programme ?
Testons le réalisme de la simulation (C’est ici que votre aide est
vraiment nécessaire )
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Ecart avec le réel (diapo 11)
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Et les recherches actuelles ?
Modélisation
1) Modélisation d’une avalanche par des grains
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Visuellement: l’avalanche que ce soit l’observation de l’écoulement ou des dépôts présente une
structure granulaire.
Expérimentalement:
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L’avalanche de neige dense présente les même hauteurs de dépôts que l’avalanche de
grains. Ici le profil du relief est dessiné en noir, la hauteur de dépôt est notée h.
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Les angles pour lesquels on peut observer un écoulement permanent et uniforme insensible
aux perturbation sont les mêmes pour l’avalanche de neige dense et celle de grain. Ces
angles sont notés Al1 pour l’angle à partir duquel il n’y a plus accumulation des grains et Al2
l’angle à partir duquel le système est sensible aux perturbations.
Modélisation
2) Utilisation de grains bidisperses
On utilise expérimentalement des grains bidisperses (c’est-à-dire de deux tailles différentes) afin de
tenir compte des différentes répartitions des vitesses en fonction de la hauteur. En effet, les petits
grains vont finir par se placer sous les plus gros créant une répartition des vitesses similaire à celle
mesurée dans les avalanches réelles.
La simulation de ce TIPE ne prendra pas en compte cet aspect du phénomène et on modélisera
l’avalanche par un ensemble de grains identiques. Quel en est l’impact ?
Modélisation
3) Bilan des forces
Un grain est modélisé par une masse ponctuelle.
Il subit les forces suivantes:
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Le poids
𝑃 = 𝑚. 𝑔
avec 𝑔 = 9.8 𝐾𝑔. 𝑚−3 et 𝑚 =
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𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑙 ′ 𝑎𝑣𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐ℎ𝑒
𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑖𝑛
Les frottements
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Force de frottement solide coulombien:
R t = −µ𝑅𝑁
𝑉
𝑉
Avec µ un coefficient variant entre 0,1 et
0,8 selon les caractéristiques de
l’avalanche (masse volumique, la
viscosité..), V la vitesse et 𝑅𝑁 la réaction
normale.
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Force de frottement traduisant la dissipation turbulente (Modèle de Voellmy):
Dt = −𝑚. 𝑔. 𝑣
𝑣
Ɛℎ
Avec Ɛ un coefficient variant entre 400 et 2000 selon les caractéristiques du milieu (présence d’arbre,
rugosité des couloirs…) et h la hauteur caractéristique de l’écoulement (c’est à dire la hauteur
maximale atteinte). Que représente physiquement la dissipation turbulente ?
Mise en équation du problème et résolution
1) Résolution exacte dans un cas simple (angle A constant)
Principe fondamental de la dynamique
𝑑𝑣
𝑚.
= 𝑅𝑡 + 𝑃 + 𝐷𝑡 + 𝑅𝑛
𝑑𝑡
𝑣
En projetant sur l’axe perpendiculaire à et en faisant l’hypothèse supplémentaire que
𝑉
l’avalanche ne subit aucun mouvement selon cet axe:
0 = −µ𝑚𝑔 cos 𝐴 + 𝑅𝑛
𝑑𝑣
𝑣2
𝑚.
= −µ𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠 𝐴 + 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛 𝐴 − 𝑚𝑔
𝑑𝑡
Ɛℎ
2𝑔𝑥
2
𝑣 𝑥 =
𝑒 Ɛℎ
2𝑔
Ɛℎ
−2𝑔𝑥
Ɛℎ
( g.cos A.(tan A − µ)(1−e
) + 𝑣2 0 .
2𝑔
)
Ɛℎ
avec 𝑣 2 0 = 𝑣 2 0
Si tan 𝐴 ≥ µ la vitesse est définie, sinon elle peut s’annuler pour 𝑥𝑎𝑟𝑟𝑒𝑡
𝑔
𝑣 20.
1
Ɛℎ
𝑥𝑎𝑟𝑟𝑒𝑡 = 𝑔 ln(1 −
)
𝑔𝑐𝑜𝑠
𝐴
(tan
𝐴
−
µ
)
2
Ɛℎ
Si tan 𝐴 ≥ µ , on atteint une vitesse limite
Mise en équation du problème et résolution
2) Résolution approchée par ordinateur
Principe fondamental de la dynamique
𝑚.
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑅𝑡 + 𝑃 + 𝐷𝑡 + 𝑅𝑛
Par itération
𝑣2 = 𝑅𝑡 + 𝑃 + 𝐷𝑡 + 𝑅𝑛 .
𝑡2 − 𝑡1
+ 𝑣1
𝑚
•
On se place dans un repère indépendant du profil du relief.
•
On regroupe sous la notation 𝐹𝑟 la somme 𝐷𝑡 + 𝑅𝑡
Mise en équation du problème et résolution
2) Résolution approchée par ordinateur
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Calcul des forces
• Le poids:
𝑃(0, −𝑚. 𝑔 , 0)
•
•
La réaction normale
• Direction et sens obtenus avec le terrain: On choisit deux vecteurs non
colinéaires du plan tel que le produit vectoriel de ces deux vecteurs aie
une composante selon 𝑦 positive. On norme le produit vectoriel et on
obtient un vecteur unitaire dans le sens et la direction de la réaction
normale noté 𝑢𝑅𝑛
• Norme obtenue par projection (produit scalaire) de 𝑃 sur 𝑢𝑅𝑛
𝑅𝑛 = (𝑃. 𝑢𝑅𝑛 )𝑢𝑅𝑛
Les frottements
•
Direction et sens obtenus grâce à 𝑣1 , qu’on norme et ainsi 𝑢𝐹𝑟 = −
•
Norme 𝐹𝑟 = µ𝑅𝑛 + 𝑚𝑔
𝑣2
Ɛℎ
𝑣2
𝐹𝑟 = µ𝑅𝑛 + 𝑚𝑔
𝑢
Ɛℎ 𝐹𝑟
𝑣1
𝑣1
Mise en équation du problème et résolution
3) Comparaison des résultats
• Application numérique
• Données:
A = 0,64 rad, Ɛ=1000, µ = 0,5,h = 10m le profil est le suivant, on mesure la distance d’arrêt à partir du point O
D’après les calculs précédents 𝑉𝑙𝑖𝑚 = 44 m. 𝑠 −1 d’où 𝑥𝑎𝑟𝑟𝑒𝑡 = 166,98 m
On trouve avec le programme pour une vitesse V en O de 44 m. 𝑠 −1 et un pas de 0,01 on trouve
𝑥𝑎𝑟𝑟𝑒𝑡 = 167,27 m. L’erreur est due au pas qui pourrait être encore plus resserré.
4) Généralisation
• La méthode utilisée ici pour un plan inclinée peut se généraliser à tout type de relief. En effet sur une
courte distance le relief peut être assimilé à un plan incliné et on peut utiliser les mêmes méthodes de
calculs. On va rajouter une hypothèse supplémentaire pour simplifier la mise en œuvre du programme:
les grains n’interagiront pas entre eux c’est-à-dire que la gestion des collision ne sera pas prise en compte.
•
Ici on pourrait faire en sorte de tenir compte de certains échanges par exemple faire en sorte que certains
grains donne un peu de leur masse à d’autres, le problème c’est de savoir combien selon quelle loi, d’où ça
vient etc.. Et il est difficile d’avoir des informations à ce sujet.
Traitement par ordinateur
Tracés
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Caractéristiques
pas = 0.01 en secondes
g = 9.8 𝑁. 𝐾𝑔−1
largeur = 50 m
longueur = 50 m
épaisseur = 10 m
Ɛ = 1000
µ = 0.5
Masse volumique = 100.Kg. 𝑚−3
Traitement par ordinateur
Défauts et sources d’erreurs du programme
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Le profil de la montagne est fait à partir
d’une image en noir et blanc qu’on recouvre
d’une texture (ici en blanc et bleu). Le blanc
correspond à une hauteur élevée et le noir
une hauteur faible. On dispose de 256
niveaux de couleurs donc 266 niveaux de
hauteurs. Le rendu est l’image en bas.
La précision du terrain est extrêmement
approximative puisque seule 256 hauteurs
peuvent être atteintes. De plus le logiciel
utilisé pour faire les images noir et blanc
(Gimp) peut être source d’erreur
supplémentaire. Enfin les tracés sont fait
sur une image plane (la texture) et donc les
rendus en 3 dimension peuvent différer
légèrement de ce qui a été calculé par le
programme.
Enfin les erreurs dues aux hypothèses de
calcul: l’avalanche ne décolle pas, les grains
n’interagissent pas entre eux, la méthode
par itération, la validité des modèles utilisés.
Comparaison avec le réel
C’est ici que j’ai vraiment besoin d’aide. Il faudrait que j’aie accès à un article assez
précis pour pouvoir me permettre de dresser un profil de la montagne et vérifier les
résultats de mon programme avec ceux donnés par l’article.
Et aujourd’hui ?
Aujourd’hui la méthode pour construire les moyes de protection contre les avalanches est la
suivante: elle est incomplète et peut être erronée est-ce que je pourrais avoir des précisions
sur la méthode actuelle utilisée?
• On observe une avalanche déjà tombée on mesure la hauteur des dépôts, la teneur en
eau liquide on arrive à en déduire le volume de l’avalanche, la masse de celle-ci et le
coefficient de frottement solide (on le considère ici constant mais comment varie – t il en
réalité ?).
• Avec un prototype expérimental on mesure la hauteur caractéristique de l’écoulement et
on accède à des nombres caractéristiques (nombre de Froude)
• On a ainsi toutes les données d’entrées du programme qui peut donner l’énergie cinétique
de l’avalanche à tout instant et prévoir l’effet qu’auront tas freineurs, digue déviatrice,
tunnel paravalanche, digue d’arrêt ainsi que les dimensions et la résistance nécessaire de
ces protections passives.