Mécanique / Electrocinétique. Problème I : Modélisation du phénomène d’avalanche. A.

Mécanique / Electrocinétique.
Problème I : Modélisation du phénomène d’avalanche.
A. Rôle des coefficients de frottement.
Dans une avalanche, une masse de neige se détache sur une pente et la
dévale en entraînant avec elle de la matière supplémentaire. Il en résulte
une amplification qui conduit à un phénomène violent même à partir
d’un déséquilibre faible.
On considère un bloc de neige de masse reposant sur un plan incliné
dont la pente est repérée par l’angle α (figure 2). Le contact entre la neige
et ce plan, décrit par les lois de Coulomb sur le frottement, est caractérisé
par des coefficients de frottement statique μS et dynamique μd. On
rappelle que μS > μd.
On note g l’accélération de la pesanteur.
A.1) Montrer que l’équilibre est possible tant que α < αc et exprimer
l’angle critique αc.
A.2) La masse de neige en équilibre sur une pente d’angle αc subit une
légère perturbation qui lui donne une vitesse initiale v0 ⃗⃗⃗⃗
𝑢𝑥 avec v0 >0.
Exprimer sa vitesse ultérieure v(t). En déduire son énergie cinétique Ec(t).
A.3) L’énergie acquise sert en fait à mettre en
mouvement de nouveaux blocs de neige, conduisant à
l’amplification
de
l’avalanche.
Les
valeurs
approximatives de μS et μd sont données dans le tableau
ci-dessous pour différents types de neige. D’après la
question précédente, quel type de neige conduit aux
avalanches les plus violentes ? On justifiera la réponse.
A.4) Animée d’une vitesse v1, la masse de neige arrive dans une région où l’angle prend une valeur α plus faible,
constante. À quelle condition portant sur α le mouvement est-il ralenti puis stoppé ?
A.5) Expliquer comment l’observation de nombreuses avalanches permet de déduire des valeurs numériques pour
μs et μd telles que celles données dans le tableau.
Lorsque l’avalanche rencontre dans sa course un sol rugueux, elle est soumise à de nouvelles forces de frottement
dont on étudiera une modélisation dans la partie B.
La masse de neige en mouvement est assimilée à un parallélépipède rectangle d’épaisseur d (selon Oy), de
longueur l (selon Ox) et de largeur L (selon Oz). Le contact avec le sol s’effectue donc sur un rectangle d’aire S
=L.l.
En introduisant ξ la rugosité du sol, on montre qu’il faut alors rajouter au bilan de force :
L’avalanche de masse m et d’épaisseur d dévale une pente d’angle α.
A.6) Déterminer l’équation du mouvement selon sous la forme d’une équation différentielle pour v(t).
A.7) Exprimer la vitesse limite vl atteinte par l’avalanche et la calculer numériquement pour α = 35° , μd =0,3, et
ξ = 103 m.s-2.
A.8) Comment l’énergie cinétique de l’avalanche varie-t-elle avec son épaisseur d, toutes choses égales par ailleurs
?
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A.9) L’avalanche ayant atteint sa vitesse limite rencontre un brusque changement de pente, dont l’angle avec
l’horizontale passe d’une valeur α à une autre valeur α’ . La vitesse limite va prendre, après une certaine distance
de transition, une nouvelle valeur vl’ . On suppose que la largeur L de l’avalanche reste la même, l’épaisseur d
pouvant par contre être modifiée. En admettant que le débit volumique D = v.L.d de neige est le même de part et
d’autre de ce changement de pente, démontrer la loi d’invariance :
vl et vl’ désignant respectivement la vitesse de l’avalanche avant et après la rupture de pente.
A.10) Application numérique : l’angle passe de 35° à 30°. De quel pourcentage la vitesse est-elle réduite ?
B. Modélisation des frottements dus à la rugosité.
L’avalanche est formée de paquets de neige sphériques de masse m0 descendant la ligne de plus grande pente avec
une vitesse v. Ces blocs sont empilés en couches distantes de b perpendiculairement à la pente. Dans une couche
donnée, parallèle au plan (0xz), les blocs sont en moyenne distants de a selon les directions x et z. Au niveau du
sol, ils rencontrent des aspérités assimilées à des cylindres de section circulaire et d’axe parallèle à Oz , séparés
d’une distance Δr. Ces chocs, caractérisés par l’angle d’incidence i fixé , sont supposés mous : après l’impact, le
vecteur vitesse du bloc est tangent à la surface de l’aspérité cylindrique au point de contact.
D’autre part, la composante tangentielle de sa vitesse est conservée dans le choc.
B.1) Un bloc se déplaçant selon Ox avec une vitesse moyenne v, exprimer la fréquence des chocs qu’il subit en
fonction de v et Δr
B.2) Quelle surface contient en moyenne un bloc ? En déduire le nombre moyen N de blocs dans la couche de
surface S en contact avec le sol en fonction de a et S.
B.3) Combien de chocs l’avalanche dans son ensemble subit-elle, pendant dt ? On notera ce nombre dN et on
l’exprimera en fonction de N, f et dt.
B.4) Pendant un choc, un bloc subit un changement de quantité de mouvement . Pour l’évaluer, reproduire le
schéma suivant, deux fois, en indiquant sur chaque schéma le vecteur vitesse avant et après le choc.
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En déduire la variation de Δ𝑝 = 𝑝après - 𝑝avant lors du choc. En utilisant la conservation de la vitesse tangentielle,
montrer que la projection Δpx dans la direction x s’écrit : Δpx = -m0 v cos2 (i)
B.5) Soit 𝑝 = p ⃗⃗⃗⃗
𝑢𝑥 la quantité de mouvement de l’avalanche. En déduire la variation de quantité de mouvement
causée par les chocs durant dt en fonction de dN et Δpx
B.6) En déduire que la force de frottement rugueux s’exerçant sur l’avalanche
est :
B.7) Soit la masse m totale de l’avalanche. Montrer que la force se met sous la forme
en donnant l’expression du paramètre de rugosité ξ en fonction de g ,Δr ,b et i.
B.8) Expliquer pourquoi ξ dépend de la nature du sol sur lequel l’avalanche s’écoule.
B.9) Certains paramètres du modèle pourraient dépendre de la vitesse, de sorte que ξ en dépendrait aussi.
Lesquels selon vous ?
Problème II: Etude d’un signal modulé.
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Proposer des valeurs des paramètres acquisitions afin d’obtenir correctement ce spectre en les
justifiants.
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Donner ses caractéristiques précises.
A la sortie du multiplicateur, on peut en linéarisant montrer que le signal s’(t) s’écrit sous la forme :
s’(t) = k.p(t).s(t)
= k Ap²/2 . [1 + cos(2fportt) +
𝑚
2
cos(2fport+fm)t) + m cos(2 fmt) +
𝑚
2
cos(2fport-fm) t)]
IV.C.1) Tracer l’allure du spectre de ce signal. Expliquer l’intérêt de cette multiplication.
b) Proposer un montage afin de réaliser le filtre (1). Indiquer des valeurs de composants
respectant les contraintes pour fport = 185 kHz.
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