Les démonstrations de l`axiome d`Euclide, la théorie des

Jacques VERDIER.
BESANÇON 2007 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES 1
Mise au point vidéo projecteur.

Jacques VERDIER.
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LES DÉMONSTRATIONS DE L’AXIOME D’EUCLIDE
LA THÉORIE DES PARALLÈLES
AXIOME DIT « D’EUCLIDE »
Par un point donné (extérieur à une droite), on peut
mener une et une seule parallèle à cette droite.
Formulation de Playfair, XVIIIesiècle
Jacques VERDIER,
Besançon 2007

Jacques VERDIER.
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Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE
Les éléments d’Euclide : 10 « livres », débutant par 35
définitions et 5 « demandes » (ou postulats). Les 4 premiers
livres concernent la géométrie.
La 35edéfinition est celle des parallèles :
Les parallèles sont des droites qui, étant situées
dans un même plan, et étant prolongées à l'infini de
part et d'autre, ne se rencontrent ni d'un côté ni de
l'autre.
Le 5epostulat est le suivant :
Si une droite, tombant sur deux droites, fait les
angles intérieurs du même côté plus petits que
deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se
rencontreront du côté où les angles sont plus petits
que deux droits.
TABLE DES MATIÈRES
1.ÉLÉMENTS
D’EUCLIDE
Démonstrations
Contestations
2. COMMENTATEURS
ARABES :
Al Gauhuari
Ibn Qurra
Al Haytam
Al Khayyam
At Tusi
3. COMMENTATEURS
EUROPÉENS :
Wallis
Legendre
4. PRÉCURSEURS NON
EUCLIDIENS :
Saccheri
Lambert
5. LES 30 GLORIEUSES
Bolyaï
Gauss
Lobatchevski
6. LES MODÈLES
Poincaré
Autres

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Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE
Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles
intérieurs du même côté plus petits que deux droits,
ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du
côté où les angles sont plus petits que deux droits.
TABLE DES MATIÈRES
1.ÉLÉMENTS
D’EUCLIDE
Démonstrations
Contestations
2. COMMENTATEURS
ARABES :
Al Gauhuari
Ibn Qurra
Al Haytam
Al Khayyam
At Tusi
3. COMMENTATEURS
EUROPÉENS :
Wallis
Legendre
4. PRÉCURSEURS NON
EUCLIDIENS :
Saccheri
Lambert
5. LES 30 GLORIEUSES
Bolyaï
Gauss
Lobatchevski
6. LES MODÈLES
Poincaré
Autres

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Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE
Si une droite, tombant sur deux droites, fait les
angles intérieurs du même côté plus petits que
deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se
rencontreront du côté où les angles sont plus petits
que deux droits.
Formulation assez compliquée ?
Ressemble à une proposition (théorème) ?
Utilité : éviter l’infini ?
POSIDONIUS propose une nouvelle définition des
parallèles :
Deux droites sont parallèles si et seulement si leur
distance est constante en tout point
… mais cela équivaut au 5epostulat…
TABLE DES MATIÈRES
1.ÉLÉMENTS
D’EUCLIDE
Démonstrations
Contestations
2. COMMENTATEURS
ARABES :
Al Gauhuari
Ibn Qurra
Al Haytam
Al Khayyam
At Tusi
3. COMMENTATEURS
EUROPÉENS :
Wallis
Legendre
4. PRÉCURSEURS NON
EUCLIDIENS :
Saccheri
Lambert
5. LES 30 GLORIEUSES
Bolyaï
Gauss
Lobatchevski
6. LES MODÈLES
Poincaré
Autres