1 Transformations géométriques

Samedi 4 octobre 2008 - Devoir de 5h
Christian CYRILLE
"Il ne s'agit ni de rire, ni de pleurer mais de comprendre"
Spinoza
La calculatrice est seule autorisée. L'usage de tout document est rigoureusement interdit
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements et des
représentations graphiques interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Détection d'un erreur éventuelle par le candidat :
Dans le cas où le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le
signale très lisiblement dans sa copie , propose la correction et poursuit l'épreuve
en conséquence.
1
Transformations géométriques
1.1
Soit un ensemble A. On appelle application identique de A, que l'on note
IdA , l'application de A dans A qui, à tout x de A associe x.
1. Démontrer que si f est une application d'un ensemble E vers un ensemble
F , si g est une application d'un ensemble F vers un ensemble E telles
que g o f = IdE et f o g = IdF alors f est bijective et son application
réciproque f −1 = g
2. On se place dans un plan ane euclidien P associé au plan vectoriel eu→
−
clidien P .
Soient O et Ω des points de ce plan et (∆) une droite de ce plan P . Soit
→
−
~u un vecteur de P .
(a) Déduire du 1) que la translation T~u de vecteur ~u est bijective. Quelle
est sa réciproque ?
(b) Déduire du 1) que la symétrie centrale SO est bijective. Quelle est sa
réciproque ?
(c) Déduire du 1) que la symétrie orthogonale d'axe (∆) est bijective.
Quelle est sa réciproque ?
(d) Déduire du 1) que l'homothétie de centre Ω et de rapport k 6= 0 est
bijective. Quelle est sa réciproque ?
1
1.2
Soit un ensemble A. On appelle involution de A ou application involutive de
A toute application f de A dans A telle que f o f = IdA
1. Démontrer que si f est une application involutive alors f est bijective.
Déterminer f −1
2. Donner trois exemples d'involutions géométriques du plan P
3. Donner deux exemples d'involutions de C
x+2
x−1
est une bijection d'un ensemble I sur un ensemble J que l'on précisera.
Dénir la bijection réciproque f −1 . Dessiner l'allure de la courbe représentative de f −1 .
4. Démontrer que la fonction numérique suivante f dénie par f (x) =
2
Partie 2
2.1
Résultat préliminaire à admettre
Soit f est une fonction numérique continue et strictement monotone sur un
intervalle I alors :
1. f réalise une bijection de I sur un l'intervalle J = f < I >
2. la fonction réciproque f −1 est continue sur J
3. Si de plus f est dérivable sur I et sa dérivée f 0 ne s'annule jamais sur I
1
alors f −1 est dérivable sur J et ∀y ∈ J l'on a (f −1 )0 (y) = 0 −1
f (f (y))
4. f −1 a le même sens de variation sur J que f sur I .
5. la courbe représentative Cf −1 est l'image de Cf par la symétrie orthogonale d'axe D : y = x dans un repère orthonormé.
.
2.2
Les fonctions trigonométriques inverses
π π
1. Soit f la restriction de la fonction sinus à l'intervalle I = [− ; ].
2 2
(a) Démontrer que f est une bijection de I sur un intervalle J que l'on
déterminera. On note alors Arcsin l'application réciproque de f .
(b) Dessiner les courbes représentatives de f et de Arcsin dans un même
repère orthonormé.
2. Soit g la restriction de la fonction cosinus à l'intervalle K = [0; π].
(a) Démontrer que g est une bijection de K sur un intervalle L que l'on
déterminera. On note alors Arccos l'application réciproque de g
(b) Dessiner les courbes représentatives de g et de Arccos dans un même
repère orthonormé.
π π
3. Soit h la restriction de la fonction tangente à l'intervalle M =] − ; [.
2 2
2
4.
5.
6.
7.
2.3
(a) Démontrer que h est une bijection de M sur un intervalle N que l'on
déterminera. On note alors Arctan l'application réciproque de h.
(b) Dessiner les courbes représentatives de h et de Arctan dans un même
repère orthonormé.
Sans utiliser les propriétés des graphiques, étudier la parité des 3 fonctions
Arcsin , Arccos et Arctan
Simplier les expressions suivantes après avoir déterminé leur ensemble de
dénition. Justier vos simplications.
(a) Arcsin(sin(x))
(b) Arccos(cos(x))
(c) Arctan(tan(x))
(d) sin(Arcsin(x))
(e) cos(Arccos(x))
(f) tan(Arctan(x))
(g) sin(Arccos(x))
(h) cos(Arcsin(x))
π
Démontrer que ∀y ∈ [−1; 1] on a Arcsin(y) + Arcos(y) =
2
Où et pourquoi les 3 fonctions Arcsin , Arccos et Arctan sont dérivables ?
Donner ensuite (Arcsin)0 (y) , (Arccos)0 (y) et (Arctan)0 (y) en précisant
dans chaque cas l'ensemble auquel appartient y .
Les fonctions hyperboliques inverses
Vincenzo Riccati est un mathématicien italien jésuite né en 1707 à Castelfranco Veneto et mort en 1775 à Trévise . Il est le ls du mathématicien et
physicien Jacopo Riccati dont il a publié et prolongé les ÷uvres. Il est particulièrement connu pour son travail sur les équations diérentielles (équation de
Riccati) et sa méthode de résolution par tractoire.Il est aussi le père des fonctions hyperboliques (cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique, tangente hyperbolique).
2.3.1
Un petit problème à résoudre
Soient c et s deux fonctions dérivables sur R qui vérient les 3 propriétés
suivantes :
P1 : ∀x ∈ R (c(x))2 − (s(x))2 = 1
P2 : ∀x ∈ R c(x) = s0 (x)
P3 : c(0) = 1
1.
2.
3.
4.
Démontrer que ∀x ∈ R c(x) 6= 0
Calculer s(0)
En dérivant chaque membre de P1 démontrer que ∀x ∈ R s(x) = c0 (x)
On pose u = c + s et v = c − s
(a) Calculer u(0) et v(0)
(b) Démontrer que u0 = u et que v 0 = −v
(c) Déterminer les fonctions u et v
(d) En déduire les expressions de c(x) et de s(x)
3
2.3.2
2
courbes particulières
1
1
Soient les fonctions f et g dénies sur R par f (x) = ex et g(x) = e−x .
2
2
→
→
1. Dans le repère orthonormé R1 = (0, −
u,−
v ) avec une unité graphique de 2
cm, dessiner avec 2 couleurs diérentes les courbes représentatives Cf et
Cg de f et de g sans procéder à l'étude de ces 2 fonctions.
2. Préciser sur chacune de ces 2 courbes les points d'abscisse 0 et 1.
2.3.3
Etude de la fonction
sh
Soit la fonction sinus hyperbolique sh dénie sur R par sh(x) =
ex − e−x
2
1. Démontrer que sh est impaire
2. Etudier les variations de sh puis dresser le tableau de variations de sh
3. Démontrer que la courbe représentative Csh de sh admet comme asymptote au voisinage de +∞ la courbe Cf
4. Etudier la position relative des courbes Csh et Cf
5. Démontrer que la courbe représentative Csh de sh admet comme asymptote au voisinage de −∞ la courbe Ck d'une fonction k que l'on précisera.
6. Etudier la position relative des courbes Csh et Ck
→
→
7. Ajouter dans le repère orthonormé R1 = (0, −
u,−
v ) le dessin des courbes
Csh et Ck . Dessiner également la tangente en 0 à Csh .
2.3.4
Etude de la fonction
ch
Soit la fonction cosinus hyperbolique ch dénie sur R par ch(x) =
ex + e−x
2
1. Démontrer que ch est paire
2. Etudier les variations de ch puis dresser le tableau de variations de ch
3. Démontrer que la courbe représentative Cch de ch admet comme asymptote au voisinage de +∞ la courbe Cf
4. Etudier la position relative des courbes Cch et Cf
5. Démontrer que la courbe représentative Cch de ch admet comme asymptote au voisinage de −∞ la courbe d'une fonction que l'on précisera.
6. Etudier la position relative de la courbes Cch et de son asymptote au
voisinage de −∞
→
→
7. Ajouter dans le repère orthonormé R1 = (0, −
u,−
v ) le dessin de la courbes
Cch . Dessiner également la tangente en 0 à Cch .
2.3.5
Quelques propriétés
1 x
1
e et sh(x) ∼ ex
2
2
1
1
2. Démontrer qu'au voisinage de −∞ on a ch(x) ∼ e−x et sh(x) ∼ − e−x
2
2
3. Démontrer la formule suivante pour tout réel a l'on a :
1. Démontrer qu'au voisinage de +∞ on a ch(x) ∼
ch2 (a) − sh2 (a) = 1
4
2.3.6
Etude la fonction
th
sh(x)
ch(x)
1. Etudier les variations de cette fonction puis dresser son tableau de variations
2. Dessiner la courbe représentative de th dans un repère orthonormé. On
précisera la tangente en 0
Soit la fonction tangente hyperbolique th dénie sur R par th(x) =
2.3.7
Fonctions hyperboliques inverses
1. Démontrer que la restriction de la fonction ch à R+ est une application
bijective de R+ sur un intervalle J que l'on précisera. On appellera argument cosinus hyperbolique que l'on notera argch la bijection réciproque
de la restriction de la fonction ch à R+
2. Dessiner dans un nouveau repère orthonormé R2 les courbes représentatives de la restriction de la fonction ch à R+ et de argch.
On précisera la tangente au point d'abscisse 1 de la courbe de argch
p
3. Démontrer que pour tout y ∈ J l'on a : argch(y) = ln(y + y 2 − 1)
4. Où et pourquoi argch est dérivable ? préciser ensuite (argch)0 (y)
5. Démontrer que la fonction sh est une application bijective de R sur un
intervalle K que l'on précisera. On appellera argument sinus hyperbolique
que l'on notera argsh la bijection réciproque de la fonction sh
6. Dessiner dans un nouveau repère R3 les courbes représentatives de la fonction sh et de argsh.
p
7. Démontrer que pour tout y ∈ K l'on a : argsh(y) = ln(y + y 2 + 1)
8. Où et pourquoi argsh est dérivable ? préciser ensuite (argsh)0 (y)
9. Démontrer que la fonction th est une application bijective de R sur un
intervalle L que l'on précisera. On appellera argument tangente hyperbolique que l'on notera argth la bijection réciproque de la fonction th
10. Dessiner dans un nouveau repère R4 les courbes représentatives de la fonction th et de argth.
1
1+y
11. Démontrer que pour tout y ∈ L l'on a : argth(y) = ln(
)
2
1−y
12. Où et pourquoi argth est dérivable ? préciser ensuite (argth)0 (y)
2.3.8
Encore quelques propriétés
Démontrer les formules suivantes pour tous réels a et b l'on a :
1. ch(a + b) = ch(a)ch(b) + sh(a)sh(b)
2. sh(a + b) = sh(a)ch(b) + sh(b)ch(a)
th(a) + th(b)
3. th(a + b) =
1 + th(a)th(b)
En déduire les formules de multiplication des arcs : ch(2a) (3 formules) ; sh(2a)
et th(2a)
1 + t2
2t
2t
Démontrer alors que ch(x) =
; sh(x) =
et th(x)
où le para1 − t2
1 − t2
1 + t2
x
mètre t = th( )
2
5
2.3.9
Quelques minorations, ma jorations et encadrements
1. Démontrer que pour tout réel x ≥ 0, on a : x ≤ sh(x)
2. En déduire les inégalités suivantes pour tout réel x ≥ 0 :
x2
≤ ch(x)
(a) 1 +
2
x3
(b) x +
≤ sh(x)
6
3. Démontrer que pour tout réel x compris entre 0 et 1, on a :
(a) sh(x) ≤ 2x
(b) ch(x) ≤ 1 + x2
4. En déduire les inégalités suivantes pour tout réel x compris entre 0 et 1 :
x3
(a) sh(x) ≤ x +
3
x2
x4
(b) ch(x) ≤ 1 +
+
2
12
5. Justier que , pour tout réel x compris entre 0 et 1, , on a :
0 ≤ ch(x) − (1 +
1
x2
)≤
2
12
Qu'en est-il pour sh(x) ?
2.3.10
Etude d'une suite pour terminer
(
Soit la f onction F def inie sur R par F (x) =
x
si x 6= 0
sh(x)
1 si x = 0
1.
2.
3.
4.
5.
Etudier la parité de F
Démontrer que la fonction F est continue en 0
Démontrer ensuite que la fonction F est dérivable en 0 et déterminer F 0 (0)
Justier que F est dérivable sur R∗ puis calculer F 0 (x) pour x 6= 0
On pose H(x) = sh(x) − xch(x) pour x ≥ 0. Etudier les variations de H
puis en déduire le signe de H(x)
6. Déterminer les variations de F sur R+ puis donner l'allure approximative
de la courbe représentative de la fonction F dans un nouveau repère.
7.
un+1 = F (un ) si n ∈ N
Soit la suite (un ) def inie par
u0 = 1
(a) Justier que F < [0.8; 1] >⊂ [0.8; 1] puis que un ∈ [0.8; 1] ∀n ∈ N.
(b) Montrer que l'équation F (x) = x admet une solution unique α sur
R.
(c) Donner un encadrement de α.
H(1)
H(0.8)
Justier que ∀x ∈ [0.8; 1] 2
≤ F 0 (x) ≤
sh (0.8
sh2 (1)
(d) Montrer que ∀n ∈ N on a |un+1 − α| ≤ 0.5|un − α| puis que ∀n ∈ N
on a |un+1 − α| ≤ 0.2(0.5)n
(e) En déduire lim un
n7→+∞
6