Cours analyse spectrale

Cours analyse spectrale Part I
ESPEO 3ème année
Philippe Ravier 2000-2001
Déroulement du cours
1.
2.
3.
4.
Définitions : spectre, dsp, corrélation
Procédure d’estimation
Estimation de la fonction de corrélation
Mesure de fonctions de corrélation par TFD
1.Définitions : spectre, dsp, corrélation
Terminologie : X ( )  TF{x(t )} est le spectre complexe de x(t )
 On définit :
- le spectre d’amplitude
X ( )  Re  X ( )  Im  X ( )
2
2
 Im  X ( )  
- le spectre de phase  X ( )  Arctg  

 Re  X ( )  
- on parle de spectre de raies pour le spectre d’un signal
constitué de fréquences pures
 La dsp est définie à partir de la fonction d’autocorrélation comme
S x ( )  TF{ x ( )}
Théo. de Wiener-Kintchine
Comparaisons corrélations - dsp
 x ( )
S x ( )
Forte corrélation

 x ( )

S x ( )
Faible corrélation

 x ( )

S x ( )
Corrélation négative


Corrélation, dse et dsp (cas certain)
 signal déterministe ou certain
• signal à énergie finie
 x ( ) 

 x(t ) x (t   )dt
*
 S x ( )  X ( )
2
dse

• signal à puissance moyenne finie
 x ( )  limT 
X T ( )
T
T / 2
1
*
x
(
t
)
x
(t   )dt  S x ( )  limT 

T T / 2
2
dsp
• signal périodique (T) : cas particulier du signal à puissance moy. finie
1
 x ( ) 
T
X T ( )
*
x
(
t
)
x
(
t


)
dt

S
(

)

x

T
T / 2

T / 2
Décomposable en séries de Fourier : S x ( ) 

k 
2
X k  ( 
2
dsp
k
)
T
Corrélation, dse et dsp (cas aléatoire)
 signal aléatoire centré
2

 x ( )  E  x(t ) x (t   )  S x ( )  E X ( ) 


*
Comment calculer la dsp avec une espérance mathématique ?
Si le processus aléatoire est
stationnaire et ergodique, alors :
T / 2
1
 x ( )  lim
x(t ) x* (t   )dt

T  T
T / 2
dont on prend la TF
Corrélogramme
Si le signal est stationnaire et ergodique, on
peut remplacer E par un moyennage sur
plusieurs réalisations indépendantes.
On ne dispose que d’une réalisation. On va
envisager plusieurs réalisations d’un même
processus par tronçonnage de ce processus.
Périodogramme moyenné
2.Procédure d’estimation
En pratique, l’observation peut être considérée comme la réalisation
d’un processus aléatoire, que le signal soit déterministe ou aléatoire.
 Notions de biais et variance pour un estimateur
Spectre
vrai
Xˆ ( )
Spectre
estimé
X ( )
Variance
Biais
Formulations mathématiques des statistiques de l’estimateur
X̂ est estimé à partir des observations Y
Biais (moment du 1er ordre)
E  Xˆ   X  biais( Xˆ )
Variance (moment du 2ème ordre)


2

Var  Xˆ   E Xˆ  E  Xˆ  




2

ˆ
Erreur entre la grandeur réelle et l’estimée EQM  E X  X 


EQM  Var  Xˆ   biais( Xˆ )2
• Si biais( Xˆ )  0 l’estimateur est dit non biaisé
• On a une borne inférieure de la variance :
Var  Xˆ  
1
  2 ln pY , X ( y, x ) 
E 

2

x


Borne de Cramér-Rao
pour un estimateur sans biais
• Si la variance atteint la borne de CR, on dit que l’estimateur
est efficace
L’estimateur idéal est non biaisé et efficace mais variance
et biais sont liés par l’EQM
Antagonisme biais-variance
• L’estimateur est dit consistent si le biais et la variance
tendent vers 0 quand le nombre d’observations tend vers l’infini
Exemple avec l’estimateur de la moyenne
Signal aléatoire X(n)
mx  E  X (n)
Stationnaire et ergodique
1
mx  lim
N  N
N 1
 x(n )
n 0
Durée limitée de N points
Moyenne estimée
1
mˆ x 
N
N 1
 x(n )
n 0
Variable aléatoire sur l’ensemble
des réalisations de X(n)
1
Mˆ x 
N
N 1
 X (n)
n 0
2
On trouve E  Mˆ x   mx et Var  Mˆ x  
N
(éch. indép. de var 2)
Exemple avec l’estimateur de la corrélation
1
1
*
 x ( )  lim  x(t ) x (t   )dt   x (m)  lim
T  T
N  N
T
Estimateur « naturel »
pour un nombre N de points
1
ˆ x ( m) 
N
N 1
*
x
(
n
)
x
( n  m)

n 0
N 1
 x(n) x (n  m)
*
n 0
Est-ce un bon estimateur ?
Cet estimateur est biaisé car on ne tient pas compte de la durée
finie des signaux. Pour « rendre » le signal à énergie finie, on
utilise des fonctions de pondération qui atténuent les extrémités.
1
ˆ

(
m
)

Estimateur non biaisé x
Nm
N 1
*
x
(
n
)
x
( n  m)

n 0
3.Estimation de la fonction de corrélation
On multiplie le signal temporel par une fonction d’apodisation
(pondération ou lissage) g(t)
Forme générale
de la fonction
d’apodisation
g(t)
T
0
Rôle :
• atténue les discontinuités qui apparaissent aux 2 extrémités du signal observé
• permet de régler le biais de l’estimateur
• intervient sur la variance de l’estimateur
La fonction d’auto-corrélation est alors estimée par

ˆ x ( )  K ( )  g (t ) x(t ) g * (t   ) x* (t   )dt où K ( ) est un facteur de normalisation

ˆ x ( )  K ( ) g ( ) x ( )
 Moyenne de l’estimateur E  

Fonction de corrélation de g(t) :  g ( ) 

 g (t ) g (t   )dt

Pour obtenir un estimateur non biaisé, il suffit de fixer : K ( ) 
Si   T alors  g ( )   g (0) et ˆ x ( ) 
1
 g ( )
1
*
*
g
(
t
)
x
(
t
)
g
(
t


)
x
(t   )dt

 g (0) T
Estimateur approximativement non biaisé
1
Cas de la fenêtre rectangulaire ˆ x ( )   x(t ) x (t   )dt
TT
 Variance de l’estimateur


2
Var  ˆ x ( )   K (0)  g (t )dt    x ( w)   x ( w   ) x ( w   ) dw
2
4


Expression approchée pour le cas gaussien et un support de fonction de corrélation
petit par rapport à la durée d’observation, soit <<T
Introduisons quelques grandeurs


2
g
(
t
)
dt


1
 

Tin 



4
K 2 (0)  g 4 (t )dt
g
 (t )dt

- On définit le temps d’intégration

2

C’est une mesure de la durée de g(t) qui est le temps d’observation
sur lequel on effectue l’estimation.
- On définit la largeur de bande équivalente de bruit
Beq




S x ( )d


2


2
S x ( )d
2
 x (0)
2

2


 x ( )d
2
C’est une mesure de la largeur de bande de x(t). Elle est définie à partir
de la bande équivalente d’un bruit associé à x(t).
Tc 
- On définit le temps de corrélation
1
Beq
C’est une mesure de la durée de la fonction de corrélation
Variance relative à la puissance de l’estimateur avec ces notations
Var  ˆ x ( ) 
 x (0)
2
1

Fx ( )
BeqTin
2



x ( w)   x ( w   )  x ( w   )  dw


Fx ( ) 
2
2   x ( w)dw
dépend de la fonction de corrélations de x(t)
Si   0  x ( w   ) x ( w   )   x ( w)  Fx ( )  1
1
Si  Tc  x ( w   )  x ( w   )  0  Fx ( ) 
2
2
La variance est essentiellement contrôlée par le produit BeqTin
Var  ˆ x ( ) 
 x (0)
2
1
T
 c
BeqTin Tin

• Pour avoir une variance faible, il faut prendre un temps d’intégration le plus grand
possible, bien plus grand que le temps de corrélation du signal.
• Autre interprétation : Tin / Tc correspond au nombre de supports de la fonction de corrélation
contenus dans la durée du signal observé. C’est le nombre de tranches indépendantes (décorrélées)
du signal utilisées pour faire l’estimation.
Variance relative (pour un retard quelconque)
Var  ˆ x ( ) 
 x ( )
2
2
2
1   x (0) 


 Fx ( )
BeqTin   x 2 ( ) 
 1 
La dispersion relative des estimations
augmente pour les retards importants.
L’estimation est moins bonne pour les
 grands.
4.Mesure de fcts de corrélation par TFD
N 1
ˆ (k )    x( n ) x(n  k )  TFD 1  X ( m) 2 
x


n 0
L’estimation par la TFD introduit une estimation de la corrélation circulaire.
La notation [n-k] signifie :
[n-k] = n-k modulo N
1) Signaux à énergie finie
Forme incorrecte
venant du repliement
induit par la translation
circulaire
2) Signaux périodiques
3) Signaux aléatoires
1
ˆ x (k ) 
N
N 1
 x(n) x(n  k ) 
n 0
1
2
TFD 1  X ( m) 


N
L’estimateur est une variable aléatoire qui a un biais et une variance.
Retards > 0 pour 0  k 
Retards < 0 pour
N
2
N
kN
2
Même variance que dans le cas continu
N 1
où N c 
Bilan :
2  x (n)
2
n 0
N 1
Var  ˆ x (k ) 
 x (0)
2

2  x (n)
2
n 0
N

1
 N 
N 
 c
est la longueur du support de corrélation en nombre d’échantillons.
N
- signaux à énergie finie : ajout de zéros pour calcul par TFD
- signaux périodiques : estimation erronée sauf si on connaît la période
- signaux aléatoires stationnaires : estimation correcte si le calcul est effectué sur une
durée supérieure au temps de corrélation. La variance relative croît pour les retards forts.