Situation #2

Un système d’équations linéaires est un ensemble
d’équations de la forme:
a1 x1  a2 x2  a3 x3  ................  an xn  b
où
a1 , a2 , a3 ,......, an , b
sont des constantes
et
x1 , x2 , x3 ,......, xn
sont les inconnus.
Situation #1
Un technicien doit administrer 2 g de protéines et 0,5 g de
gras à un animal de laboratoire. Il dispose de deux produits
dont la composition est donnée dans le tableau suivant.
On désire déterminer la quantité de chaque produit
que le technicien doit administrer.
Situation #2
Les lois de Kirchhoff permettent de trouver la valeur du courant
dans un circuit électrique comme celui-ci :
Le système formé des équations qu’on obtient en appliquant
ces lois est :
Situation #3
Les équations en chimie traduisent les quantités de substances
absorbées et produites au cours d'une réaction chimique. Lors
de la combustion du propane par exemple, le propane (C3H8)
se mélange à l'oxygène (02) pour former du dioxyde de
carbone (C02) et de l'eau (H20) selon une équation de la forme:
( x1 )C3 H8  ( x2 )O2  ( x3 )CO2  ( x4 ) H 2O
« Pondérer» cette équation pour un chimiste signifie trouver des
nombres entiers x1,…., x4 tels que le nombre total d'atomes de
carbone (C), d'hydrogène (H) et d'oxygène (O) du membre de
gauche soit égal aux nombres d'atomes correspondants du
membre de droite (car les atomes ne sont ni détruits, ni créés au
cours d'une réaction).
Le système d’équations correspondant est donc :
3 x1  x3
8 x1  2 x4
2 x2  2 x3
ou le système équivalent
3 x1
8 x1
 x3
0
 2 x4  0
2 x2  2 x3
0
Situation #4
Les chercheurs, les ingénieurs et les économistes rencontrent
aussi des systèmes d'équations linéaires lorsqu'ils étudient le
flux de certaines quantités dans un réseau. Les urbanistes et les
ingénieurs en charge de la circulation surveillent la manière dont
les véhicules se répartissent dans un certain ensemble de rues
d'une ville. Les ingénieurs calculent l'intensité du courant dans
les circuits électriques. Et les économistes étudient la
distribution des produits entre les producteurs et les
consommateurs à travers un réseau de grossistes et de
détaillants. Dans beaucoup de réseaux, les systèmes d'équations
impliquent des centaines et parfois des milliers de variables et
d'équations.
Exemple
Le réseau de la figure 2 de la page suivantes montre comment
s'écoule le trafic (en nombre de véhicules par heure) dans
plusieurs rues à sens unique d'un quartier de Baltimore durant une
période précise de la journée.
Figure 2.
Solution
On écrit des équations qui décrivent le flux et on résout
ensuite le système. On choisit des notations pour les
intersections des rues et pour les flux inconnus sur
chaque branche (voyez la figure 2). À chaque
croisement, le flux qui entre en ressort.
Ce sont des opérations qu’il est possible d’effectuer sur les lignes
d’un système d’équations linéaires sans changer l’ensemble
solution du système.
O1 : Inverser deux lignes
Notation: Li  L j
O2 : Multiplier une ligne par une constante non nulle
Notation: Li  kLi
O3 : Additionner un multiple d’une ligne à une autre ligne
Notation: Li  Li  kL j