Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations Systèmes d’équations linéaires Corrigé des exercices Boualem Benseba Faculté de Mathématiques, USTHB Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations 1 Rang d’un système d’équations 2 Exemples de Résolutions de systèmes d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations Exemple1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations Exemple1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations Déterminons le rang de la matrice suivante x 1 −x1 x2 −4x3 +x4 −6x2 −x2 +5x3 +4x4 +6x2 +x3 +5x4 =0 =5 =0 =3 Exemple1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x 1 −x1 x2 −4x3 +x4 −6x2 −x2 +5x3 +4x4 +6x2 +x3 +5x4 =0 =5 =0 =3 La première colonne, relative à la variable x1 , n’étant pas nulle, on comence par identifier un pivot sur une ligne, il s’agit de la 2ème ligne dont le coefficient de x1 est 1 Exemple1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x 1 −x1 x2 −4x3 +x4 −6x2 −x2 +5x3 +4x4 +6x2 +x3 +5x4 =0 =5 =0 =3 On dèplace la ligne L1 à la première position, ce qui donne Exemple1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x1 −x1 −6x2 x2 −4x3 +x4 −x2 +5x3 +4x4 +6x2 +x3 +5x4 =5 =0 =0 =3 On dèplace la ligne L1 à la première position, ce qui donne Exemple1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x1 −x1 −6x2 x2 −4x3 +x4 −x2 +5x3 +4x4 +6x2 +x3 +5x4 =5 =0 =0 =3 Exemple1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x1 −x1 −6x2 x2 −4x3 +x4 −x2 +5x3 +4x4 +6x2 +x3 +5x4 =5 =0 =0 =3 Eliminons la variable x1 sur la ligne L4 , en faisant l’opération élémentaire L4 + L1 Exemple1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x1 −6x2 x2 −4x3 +x4 −x2 +5x3 +4x4 +x3 +5x4 =5 =0 =0 =8 Eliminons la variable x1 sur la ligne L4 , en faisant l’opération élémentaire L4 + L1 Exemple1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x1 −6x2 x2 −4x3 +x4 −x2 +5x3 +4x4 +x3 +5x4 =5 =0 =0 =8 Les coefficient de la deuxième variable x2 sur la deuxième colonne ne sont pas nuls à partir de la 2ème ligne, Exemple1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x1 −6x2 1x2 −4x3 +x4 −1x2 +5x3 +4x4 +x3 +5x4 =5 =0 =0 =8 Les coefficient de la deuxième variable x2 sur la deuxième colonne ne sont pas nuls à partir de la 2ème ligne, Exemple1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x1 −6x2 1x2 −4x3 +x4 −1x2 +5x3 +4x4 +x3 +5x4 =5 =0 =0 =8 on identifie un pivot sur cette colonne relative à la variable x2 . Exemple1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x1 −6x2 1x2 −4x3 +x4 −x2 +5x3 +4x4 +x3 +5x4 =5 =0 =0 =8 on identifie un pivot sur cette colonne relative à la variable x2 . Exemple1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x1 −6x2 1x2 −4x3 +x4 −x2 +5x3 +4x4 +x3 +5x4 =5 =0 =0 =8 Ce pivot est le coefficient de x2 dans la ligne L2 , et on procède à l’élimination de la variable x2 sur les autres lignes par l’opération élémentaire L3 + L2 Exemple1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x1 −6x2 x2 −4x3 +x4 x3 +5x4 +x3 +5x4 =5 =0 =0 =8 Ce pivot est le coefficient de x2 dans la ligne L2 , et on procède à l’élimination de la variable x2 sur les autres lignes par l’opération élémentaire L3 + L2 Exemple1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x1 −6x2 x2 −4x3 +x4 x3 +5x4 +x3 +5x4 =5 =0 =0 =8 Les coefficient de la troisième variable x3 sur la troisième colonne ne sont pas nuls à partir de la 3ème ligne, Exemple1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x1 −6x2 x2 −4x3 +x4 1.x3 +5x4 +1.x3 +5x4 =5 =0 =0 =8 Les coefficient de la troisième variable x3 sur la troisième colonne ne sont pas nuls à partir de la 3ème ligne, Exemple1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x1 −6x2 x2 =5 −4x3 +x4 = 0 1.x3 +5x4 = 0 +1.x3 +5x4 = 8 on identifie un pivot sur cette colonne relative à la variable x3 . Exemple1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x1 −6x2 x2 −4x3 +x4 1.x3 +5x4 +x3 +5x4 =5 =0 =0 =8 on identifie un pivot sur cette colonne relative à la variable x3 . Exemple1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x1 −6x2 x2 −4x3 +x4 1.x3 +5x4 +x3 +5x4 =5 =0 =0 =8 Ce pivot est le coefficient de x3 dans la ligneL3 , Exemple1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x1 −6x2 x2 −4x3 +x4 1.x3 +5x4 +x3 +5x4 =5 =0 =0 =8 Ce pivot est le coefficient de x3 dans la ligneL3 , Exemple1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x1 −6x2 x2 −4x3 +x4 1.x3 +5x4 +x3 +5x4 =5 =0 =0 =8 On procède à l’élimination de la variable x3 sur les autres lignes Exemple1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x1 −6x2 x2 −4x3 +x4 x3 +5x4 0 =5 =0 =0 =8 On procède à l’élimination de la variable x3 sur les autres lignes Exemple1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x1 −6x2 x2 −4x3 +x4 x3 +5x4 0 =5 =0 =0 =8 Le système est donc échelonnée selon les variables x1 , x2 et x3 , Exemple1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x 1 −x1 x2 −4x3 +x4 −6x2 −x2 +5x3 +4x4 +6x2 +x3 +5x4 =0 =5 =0 =3 Le système est donc échelonnée selon les variables x1 , x2 et x3 , ce qui montre que le rang du système est 3. Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations Résolvons le système d’équation suivant Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations Résolvons le système d’équation suivant x 1 −x1 x2 −4x3 +x4 −6x2 −x2 +5x3 +4x4 +6x2 +x3 +5x4 =0 =5 =0 =3 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Résolvons le système d’équation suivant Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x 1 −x1 x2 −4x3 +x4 −6x2 −x2 +5x3 +4x4 +6x2 +x3 +5x4 =0 =5 =0 =3 on a vu dans l’exemple de la recherche du rang de ce système, celui-ci est équivalent au système suivant Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations x1 Exemples de Résolutions de systèmes d’équations −6x2 x2 −4x3 +x4 x3 +5x4 0 =5 =0 =0 =8 on a vu dans l’exemple de la recherche du rang de ce système, celui-ci est équivalent au système suivant On constate qu’à la ligne L4 on a l’équation 0 = 8 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x1 −6x2 x2 −4x3 +x4 x3 +5x4 0 =5 =0 =0 =8 on a vu dans l’exemple de la recherche du rang de ce système, celui-ci est équivalent au système suivant On constate qu’à la ligne L4 on a l’équation 0 = 8 le système est donc incompatible. Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x1 −6x2 x2 −4x3 +x4 x3 +5x4 0 =5 =0 =0 =8 on a vu dans l’exemple de la recherche du rang de ce système, celui-ci est équivalent au système suivant On constate qu’à la ligne L4 on a l’équation 0 = 8 le système est donc incompatible. Par conséquent, le système Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x 1 −x1 x2 −4x3 +x4 −6x2 −x2 +5x3 +4x4 +6x2 +x3 +5x4 =0 =5 =0 =3 Par conséquent, le système n’a pas de soliution Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations Résolvons le système d’équation suivant Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations mx x x x +y +y +y +my +z +mz +z +z +t +t +mt +t = = = = 1 1 1 1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations mx x x x +y +y +y +my +z +mz +z +z +t +t +mt +t = = = = 1 1 1 1 La première colonne, relative à la variable x , n’étant pas nulle, Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations mx 1x 1x 1x +y +y +y +my +z +mz +z +z +t +t +mt +t = = = = 1 1 1 1 La première colonne, relative à la variable x , n’étant pas nulle, on comence par identifier un pivot sur une ligne, Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations mx 1x 1x 1x +y +y +y +my +z +mz +z +z +t +t +mt +t = = = = 1 1 1 1 on comence par identifier un pivot sur une ligne, Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations mx 1x x x +y +y +y +my +z +mz +z +z +t +t +mt +t = = = = 1 1 1 1 on comence par identifier un pivot sur une ligne, on choisit celui de la 2ème ligne dont le coefficient de x est 1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations mx 1x x x +y +y +y +my +z +mz +z +z +t +t +mt +t = = = = 1 1 1 1 On dèplace la ligne L1 à la première position, ce qui donne Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations x mx Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x x +y +y +y +my +mz +z +z +z +t +t +mt +t = = = = 1 1 1 1 Eliminons la variable x sur les lignes L2 , L3 et L4 , en faisant les opérations élémentaires suivantes : L2 − mL1 , L3 − L1 puis L4 − L1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x +y (1 − m)y (m − 1)y +mz +(1 − m2 )z (1 − m)z +(1 − m)z +t = 1 (1 − m)t = 1 − m +(m − 1)t = 0 = 0 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x +y (1 − m)y (m − 1)y +mz +(1 − m2 )z (1 − m)z +(1 − m)z +t = 1 (1 − m)t = 1 − m +(m − 1)t = 0 = 0 Les coefficient de la deuxième variable y sur la deuxième colonne ne sont pas nuls à partir de la 2ème ligne, Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x +y (1 − m)y (m − 1)y +mz +(1 − m2 )z (1 − m)z +(1 − m)z +t = 1 (1 − m)t = 1 − m +(m − 1)t = 0 = 0 Les coefficient de la deuxième variable y sur la deuxième colonne ne sont pas nuls à partir de la 2ème ligne, Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x +y (1 − m)y (m − 1)y +mz +(1 − m2 )z (1 − m)z +(1 − m)z +t = 1 (1 − m)t = 1 − m +(m − 1)t = 0 = 0 on identifie un pivot sur cette colonne relative à la variable y . Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x +y (1 − m)y (m − 1)y +mz +(1 − m2 )z (1 − m)z +(1 − m)z +t = 1 (1 − m)t = 1 − m +(m − 1)t = 0 = 0 on identifie un pivot sur cette colonne relative à la variable y . Ce pivot est le coefficient de y dans la ligne L2 , Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x +y (1 − m)y (m − 1)y +mz +(1 − m2 )z (1 − m)z +(1 − m)z +t = 1 (1 − m)t = 1 − m +(m − 1)t = 0 = 0 Ce pivot est le coefficient de y dans la ligne L2 , et on procède à l’élimination de la variable y sur les autres lignes par l’opération élémentaire L4 + L2 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x +y (1 − m)y +mz +(1 − m2 )z (1 − m)z +(2 − m − m2 )z +t (1 − m)t +(m − 1)t (1 − m)t = 1 = 1−m = 0 = 1−m et on procède à l’élimination de la variable y sur les autres lignes par l’opération élémentaire L4 + L2 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x +y (1 − m)y +mz +(1 − m2 )z (1 − m)z +(2 − m − m2 )z +t (1 − m)t +(m − 1)t (1 − m)t = 1 = 1−m = 0 = 1−m Sur la troisième colonne, et à partir de la 3ème ligne, les coefficient de la deuxième variable z ne sont pas nuls . Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x +y (1 − m)y +mz +(1 − m2 )z (1 − m)z +(2 − m − m2 )z +t (1 − m)t +(m − 1)t (1 − m)t = 1 = 1−m = 0 = 1−m Sur la troisième colonne, et à partir de la 3ème ligne, les coefficient de la deuxième variable z ne sont pas nuls . Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x +y (1 − m)y +mz +(1 − m2 )z (1 − m)z +(2 − m − m2 )z +t (1 − m)t +(m − 1)t (1 − m)t = 1 = 1−m = 0 = 1−m On identifie un pivot, sur cette colonne, relatif à la variable z. Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x +y (1 − m)y +mz +(1 − m2 )z (1 − m)z +(2 − m − m2 )z +t (1 − m)t +(m − 1)t +(1 − m)t = 1 = 1−m = 0 = 1−m On identifie un pivot, sur cette colonne, relatif à la variable z. Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x +y (1 − m)y +mz +(1 − m2 )z (1 − m)z +(2 − m − m2 )z +t (1 − m)t +(m − 1)t +(1 − m)t Ce pivot est le coefficient de z dans la ligne L3 , = 1 = 1−m = 0 = 1−m Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x +y (1 − m)y +mz +(1 − m2 )z (1 − m)z +(2 − m − m2 )z +t (1 − m)t +(m − 1)t +(1 − m)t = 1 = 1−m = 0 = 1−m Ce pivot est le coefficient de z dans la ligne L3 , et on procède à l’élimination de la variable z sur les autres lignes par l’opération élémentaire L4 − (m + 2)L2 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x +y (1 − m)y +mz +(1 − m2 )z (1 − m)z +t (1 − m)t +(m − 1)t (1 − m)(m + 3)t = 1 = 1−m = 0 = 1−m Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x +y (1 − m)y Si m 6= 1, +mz +(1 − m2 )z (1 − m)z +t (1 − m)t +(m − 1)t (1 − m)(m + 3)t = 1 = 1−m = 0 = 1−m Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x +y (1 − m)y +mz +(1 − m2 )z (1 − m)z +t (1 − m)t +(m − 1)t (1 − m)(m + 3)t = 1 = 1−m = 0 = 1−m Si m 6= 1, en divisant les équation L2 , L3 et L4 par (1 − m), alors le système équivaut à, Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x +y y +mz +(1 + m)z z +t t −t (m + 3)t = = = = 1 1 0 1 Si m 6= 1, en divisant les équation L2 , L3 et L4 par (1 − m), alors le système équivaut à, Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x +y y +mz +(1 + m)z z +t t −t (m + 3)t Si m 6= 1, et si dans ce cas m + 3 = 0, = = = = 1 1 0 1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x +y y +mz +(1 + m)z z +t t +t 0 Si m 6= 1, et si dans ce cas m + 3 = 0, = 1 = 1−m = 0 = 1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x +y y +mz +(1 + m)z z +t t +t 0 = 1 = 1−m = 0 = 1 Si m 6= 1, et si dans ce cas m + 3 = 0,alors le système présente une incompatibilité, 0 = 1, dans la dernière équation. Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations mx x x x +y +y +y +my +z +mz +z +z +t +t +mt +t = = = = 1 1 1 1 Si m 6= 1, et si dans ce cas m + 3 = 0, ceci entraine que le système n’a pas de solution Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations x Exemples de Résolutions de systèmes d’équations Si m 6= 1, +y y +mz +(1 + m)z z et si m + 3 6= 0, alors +t t −t (m + 3)t = = = = 1 1 0 1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x +y y +mz +(1 + m)z z +t t −t (m + 3)t = = = = 1 1 0 1 Si m 6= 1, et si m + 3 6= 0, alors le système est échelonné de rang maximal, ce qui entraine que Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations x Exemples de Résolutions de systèmes d’équations +y y +mz +(1 + m)z z +t t −t (m + 3)t = = = = 1 1 0 1 Si m 6= 1, et si m + 3 6= 0, alors le système est échelonné de rang maximal, ce qui entraine que ce système est de Cramer et admet donc une unique solution Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x +y y +mz +(1 + m)z z +t t −t (m + 3)t = = = = 1 1 0 1 Si m 6= 1, et si m + 3 6= 0, alors ce système est de Cramer et admet donc une unique solution Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x +y y +mz +(1 + m)z z +t t −t t = 1 = 1−m = 0 1 = m+3 Si m 6= 1, et si m + 3 6= 0, alors ce système est de Cramer et admet donc une unique solution Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x +y y +mz +(1 + m)z +t +t z t = = = = 1 1 1 m+3 1 m+3 Si m 6= 1, et si m + 3 6= 0, alors ce système est de Cramer et admet donc une unique solution Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x +y +mz +t y z t = = = = 1 1 m+3 1 m+3 1 m+3 Si m 6= 1, et si m + 3 6= 0, alors ce système est de Cramer et admet donc une unique solution Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x y z t = 1 − y − mz − t 1 = m+3 1 = m+3 1 = m+3 Si m 6= 1, et si m + 3 6= 0, alors ce système est de Cramer et admet donc une unique solution Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x y z t = = = = 1 m+3 1 m+3 1 m+3 1 m+3 Si m 6= 1, et si m + 3 6= 0, alors ce système est de Cramer et admet donc une unique solution Le cas m = 1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations Le cas m = 1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations mx x x x +y +y +y +my +z +mz +z +z +t +t +mt +t = = = = 1 1 1 1 Le cas m = 1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations mx x x x +y +y +y +my +z +mz +z +z +t +t +mt +t = = = = 1 1 1 1 Si m = 1, le système d’équation équivaut au système suivant : Le cas m = 1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations Si m = 1, le système d’équation équivaut au système suivant : x x x x +y +y +y +y +z +z +z +z +t +t +t +t = = = = 1 1 1 1 Le cas m = 1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations x x x x +y +y +y +y +z +z +z +z qui n’est autre que l’équation +t +t +t +t = = = = 1 1 1 1 Le cas m = 1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations qui n’est autre que l’équation x +y +z +t =1 Le cas m = 1 Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations qui n’est autre que l’équation x +y +z +t =1 qui admet une infinité de solution Récapitulons Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations Récapitulons Systèmes d’équations linéaires Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations on considère le système d’équations linéaires suivant (S) : mx x x x +y +y +y +my +z +mz +z +z +t +t +mt +t = = = = 1 1 1 1 Récapitulons Systèmes d’équations linéaires on considère le système d’équations linéaires suivant Boualem Benseba Rang d’un système d’équations Exemples de Résolutions de systèmes d’équations (S) : mx x x x +y +y +y +my +z +mz +z +z +t +t +mt +t = = = = 1 1 1 1 Si m = 1 le système (S) admet une infinité de solutions Si m = −3, le système (S) n’admet pas de solution Si m 6= 1 et m 6= −3, alors le système est de Cramer et admet donc une unique solution x =y =z =t= 1 m+3
