Aucun titre de diapositive - Cégep de Lévis

Primitives
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Introduction
Dans cette présentation, nous verrons :
• que l’aire sous une courbe peut représenter une grandeur
physique;
• que la dérivée de la fonction décrivant l’aire sous une courbe
est la fonction décrivant cette courbe;
• comment déterminer la fonction dont la dérivée est connue.
Débit et volume
Le débit est constant, sa représentation
graphique est une droite horizontale.
Le volume de liquide ajouté après 60
minutes est le produit du débit par
l’intervalle de temps écoulé. Cet
intervalle est :
∆t = 60 – 0 = 60 min
et V(60) = 15 L/min  60 min = 900 L
Débit (L/min)
Le réservoir illustré ci-contre contient 500 L
de liquide. L’opérateur ouvre la valve de la
conduite principale pour augmenter le volume
de liquide. L’indicateur de débit donne une
lecture de 15 L/min et l’opérateur referme la
valve après 1 h 40 min.
a) Représenter graphiquement la fonction
débit et calculer le volume de liquide
ajouté dans le réservoir 60 minutes après
l’ouverture de la valve.
∆V
∆t
40
30
20
10
20
∆t
40 60 80
Temps (min)
S
Débit et volume
b) Construire un modèle décrivant le volume
de liquide dans le réservoir en fonction du
temps et représenter graphiquement ce
modèle.
Le volume de liquide au temps t est le volume
initial plus le volume de liquide ajouté. On a
donc :
V = V0 + ∆V = 15∆t
Le modèle obtenu décrit l’aire sous la
courbe du débit en fonction du
temps t.
V(t)
Volume
(kL)
Débit (L/min)
Dans la situation présente, l’intervalle
de temps est :
∆t = t – 0 = t min
On a donc :
V(t) = 500 L + 15 L/min  t min
= 15 t + 500 L
40
2,0
30
1,5
20
1,0
10
∆V
∆t
0,5
∆t
20 40 60 80
20 40 60 80 100 t
Temps(min)
(min)
Temps
S
Vitesse et distance
Position
Vitesse (m)
(m/s)
Un mobile part d’un point fixe O et s’éloigne
vers la droite à une vitesse constante de 0,4 m/s
pendant 5 secondes.
O
∆s
a)
graphiquement
fonction
vitesse
et évaluer
∆s, la
b) Représenter
Décrire la position
du mobilelapar
rapport
au point
O en fonction
variation de la position de ce mobile durant les quatre premières
du temps t et représenter graphiquement cette fonction.
secondes.
Lavitesse
position
du mobile
est donnée
par :
La
étant
constante,
la représentation
graphique de la vitesse
en fonction du temps
une droite horizontale.
S
s = s0 +est
v ∆t
La
étant
où v vitesse
= 0,4 m/s
et s0 constante,
= 0 puisque,laà
v(t)
variation
estest
le au
produit
l’instant de
t =la0,position
le mobile
point
s(t)
∆s
2,0
de
vitesse
O.laDe
plus, par
∆t =let temps,
– 0 = t.soit
La:position
∆t
0,8
1,6
est alors : ∆t = 4 – 0 = 4 s
s(t) = 0,4t m
1,2
et ∆s = 0,4 m/s  4 s = 1,6 m
0,4
Graphiquement, cette fonction est un
0,8
segment de droite de pente 0,4 m/s
0,4
passant à l’origine et dont le domaine
1 2 3 4 5 tt
de validité est l’intervalle [0; 5].
1 Temps
2 3 (s) 4 5
∆t
Temps (s)
Aire sous une courbe
Les deux exemples qui précèdent nous ont permis de voir que l’aire
sous une courbe peut représenter, dans certaines situations, une
grandeur physique.
De plus, l’aire sous la courbe dans un intervalle [0; t] pouvait, dans les
situations présentées, se décrire à l’aide d’une fonction de t.
Nous allons tenter d’établir le lien entre la fonction décrivant la courbe
d’une fonction f et la fonction décrivant l’aire sous la courbe de f.
Évidemment, les cas les plus intéressants sont ceux pour lesquels la
courbe n’est pas une droite horizontale. C’est-à-dire :
• comment procède-t-on lorsque le débit n’est pas constant ?
• comment procède-t-on lorsque la vitesse n’est pas constante ?
• comment procède-t-on lorsque l’accélération n’est pas constante ?
Établissons une première relation entre la fonction décrivant l’aire
sous la courbe et celle décrivant la courbe.
Aire sous une courbe
Soit
une : fonction continue et non
On afdonc
f(x) ∆A = A(x+h) – A(x)
négative sur un intervalle [a; x] dont la
A(x+h)
– A(x) ≈ f (c)  h
frontière∆A
droite
est
variable.
=
h
h
h
L’aire sous la courbe de la fonction f
En considérant
la dépend
limite lorsque
h tend vers 0, on a :
sur
cet intervalle
de la valeur
A(x)
de x. Notons-la A(x).
limtenter
∆A d’établir
– A(x)
lim A(x+h)
Nous allons
le lien
REMARQUE
= :
h0 A
h et lahfonction
0
entre la fonction
f. h
a
x
x
La dérivée
de la fonction
décrivant
Considérons
un accroissement
h de
la
limcourbe
x+h
f (c) est
 h la fonction
lim f (c)
l’aire
sous
la
valeur d’abscisse.
= h0
= h0
h
décrivant
la courbe.
L’aire s’accroît
alors
d’une valeur :
lim ∆A
Or, par définition
de
la
dérivée
:
A'(x)
=
∆A = A(x+h) – A(x)
h0 h
Cette différence
peut être approchée par
lim f d’aire
(c) = f (x)
De
plus,
l’aire du rectangle
h  0 de largeur h et de hauteur f(c), où
c On
est le
point donc
milieu: deA'(x)
l’intervalle
= f (x) [x; x+h]. Soit :
obtient
x
x+h
∆A = A(x+h) – A(x) ≈ f(c)  h
c
SS
Exemple
Déterminer l’aire sous la courbe de la
fonction définie par f(x) = x2 sur l’intervalle
[0; 2].
Puisque :
A'(x) = f (x)
f (x)
(2; f(2))
on doit déterminer la fonction dont la
dérivée est f(x) = x2. On obtient facilement :
1 3
x
A(x) =
Conclusion
:
3
Cependant, ce n’est pas la seule solution.
L’aire
sous la
On constate que les
fonctions
: courbe de la fonction
définie par f(x) = x2 sur l’intervalle
1 3
1 3
x + 2 [0;
+ d’unités
3
2]
est
égale
àx8/3
d’aire.
A(x) =
A(x)
=
et
3
3
satisfont également à la condition : A'(x) = f (x)
2
Cependant, dans la situation présente, on doit avoir A(0) = 0 et on
retient :
1 3 On trouve alors : A(2) = 1 23 8
=
x
A(x) =
3
3
3
SS
x
Primitive
DÉFINITION
Fonction primitive
Soit f, une fonction. On appelle primitive de f toute fonction F telle
d
que :
F(x) = f(x)
dx
Dans l’exemple précédent, nous avons constaté qu’une fonction a
plusieurs primitives. Ainsi :
1 3
1 3
1 3
x
x
+
2
x +3
A(x) =
, A(x) =
et A(x) =
3
3
3
sont toutes des primitives de f(x) = x2.
On constate que ces primitives ne diffèrent que par une constante.
Existe-t-il des primitives d’une fonction f qui diffèrent autrement que
par une constante ?
Si on ne considère que des valeurs de f contenues dans un intervalle I,
la réponse est non.
Intégration et notations
Théorème
Fonction primitive
Soit F(x) une primitive de f(x). Alors, pour tout valeur de k, la
fonction F(x) + k est également une primitive de la fonction f(x).
De plus, sur un intervalle donné, toute primitive de f(x) s’exprime
comme la somme de F(x) et d’une constante k.
Le procédé consistant à trouver une primitive s’appelle l’intégration.
Pour indiquer que l’on recherche les primitives d’une fonction on
utilise la notation suivante :
f(x) dx = F(x) + k
qui se lit : l’intégrale indéfinie de la fonction f(x) est égale à F(x) + k.
Dans cette notation :
est le symbole d’intégration,
f(x) est l’intégrande, F(x) est une primitive,
k est la constante d’intégration.
S
Exercice
Effectuer l’intégration suivante :
cos x dx.
La fonction F(x) = sin x est une primitive de f(x) = cos x pour tout x
sur l’intervalle ]–∞; ∞[. On a donc :
cos x dx = sin x + k
Effectuer l’intégration suivante :
ex dx.
La fonction F(x) = ex est une primitive de f(x) = ex pour tout x sur
l’intervalle ]–∞; ∞[. On a donc :
ex dx = ex + k
S
Fonction, dérivée et primitive
F (x)
Il faut bien distinguer fonction, fonction
dérivée et fonction primitive.
x
Considérons, par exemple, la fonction
définie par f(x) = x2.
f (x)
Sa dérivée est obtenue en appliquant
l’opérateur de dérivation :
d
dx
x2 = 2x
x
Sa famille de primitives est obtenue en
appliquant l’opérateur d’intégration :
x2
f ' (x)
x
1 3
dx =
x +k
3
S
Intégrale de fonctions usuelles
On constate que toute formule de dérivation est équivalente à une
formule d’intégration. On obtient ainsi les intégrales de base :
d
x =1
dx = x + k
dx
r +1
d xr +1
x
n
r
=x
x dx =
+ k , où r ≠ –1
dx r +1
r +1
d
x dx = ex + k
ex = ex
e
dx
d
= cos x
cos x dx = sin x + k
dx sin x
d
sin x dx = –cos x + k
dx –cos x = sin x
d
2x dx = tan x + k
= sec2x
tan
x
sec
dx
d
= sec x tan x
sec x tan x dx = sec x + k
dx sec x
...
...
L’étudiant doit compléter et mémoriser.
Un cas délicat
Dans le cours de calcul différentiel, on a vu comment dériver la
fonction définie par f(x) = ln x et on a généralisé aux fonctions
composées. On a alors obtenu :
d
1
1 du
d
et
dx ln x = x
dx ln u = u dx
Il est bon de rappeler que le domaine de la fonction f(x) = ln x est
]0; ∞[. La fonction est définie seulement pour x > 0 (ou u > 0).
Considérons d ln |x| On rencontre alors deux cas :
dx
1
Si x > 0, on a |x| = x et d ln |x| =
x
dx
Si x < 0, on a |x| = –x et la dérivation en chaîne donne :
d
1 d
1
d
ln
|x|
= dx ln (–x) = –x dx –x = x
dx
On a donc la formule d’intégration suivante :
1
x dx = ln |x| + k
Relations dérivée intégrale
Remarque
On peut décrire la relation entre la dérivée et l’intégrale de la façon
suivante :
d
f(x) dx = f(x)
dx
Cette expression est utile en particulier pour vérifier le résultat
obtenu en intégrant une fonction.
En dérivant la primitive obtenue en intégrant, on doit obtenir
l’intégrande.
Propriétés
Théorème
Propriétés de l’intégrale indéfinie
Soit f et g, deux fonctions intégrables, c’est-à-dire :
f(x) dx = F(x) + k1
et
g(x) dx = G(x) + k2
et c, une constante. Alors :
a)
c f(x) dx = c
f(x) dx
L’intégrale du produit d’une fonction par une constante est égale au
produit de la constante par l’intégrale de la fonction.
b)
[ f(x) + g(x)] dx = f(x) dx +
g(x) dx
L’intégrale d’une somme de fonctions est la somme des intégrales de
ces fonctions.
Exercice
Effectuer l’intégration suivante :
[3 sin x + 2 cos x] dx
Par les propriétés de l’intégrale, on a :
[3 sin x + 2 cos x] dx
= 3 sin x dx + 2 cos x dx , par la propriété de la somme;
=3
sin x dx + 2 cos x dx , par la propriété du produit
par une constante;
= – 3 cos x + 2 sin x + k
, par définition de l’intégrale
indéfinie.
S
Conclusion
L’aire sous la courbe d’une grandeur physique peut également
représenter une grandeur physique.
La dérivée de la fonction décrivant l’aire sous une courbe est
la fonction décrivant cette courbe.
On appelle primitive d’une fonction f(x) toute fonction dont la
dérivée est f(x).
Dans cette présentation, nous n’avons pas défini de façon
stricte ce que l’on entend par aire, nous avons eu recours à une
compréhension intuitive. Nous devrons éventuellement donner
une telle définition en ayant recours à la notion de limite.