Présentation de la méthode d`euler

TD Physique
première approche de la méthode d'euler…
Le premier modèle simple de chute libre donné en cours donnait une équation horaire
(expression en fonction du temps)de la forme:
Comme nous l'avons vu en TP puis en cours, ce modèle ne "colle" pas toujours à la
réalité. Il faut prendre en compte les forces de frottement…
Supposons qu'en plus du poids, notre balle de tennis soit soumise à une force de
frottement verticale, s'opposant au mouvement et de la forme f=-k
 Montrer, en appliquant la deuxième loi de Newton, et en projetant cette relation
vectorielle dans le repère ci-contre, que l'équation du mouvement peut se mettre sous
la forme:
 Nous allons essayer de résoudre cette équation différentielle par une méthode
numérique, et non par une méthode analytique. Pour cela nous allons devoir faire des
approximations.
 Sachant que la masse de la balle est 0,2 kg et que k=0,2 kg.s-1, réécrire l'équation
différentielle précédente avec des coefficients numériques.
La méthode d'Euler consiste à résoudre cette équation différentielle en calculant pas à pas les valeurs de la
vitesse:
Etape 1 t=0s (remplissage de la première ligne du tableau)
D'après les conditions initiales, v=0. Si on introduit ce résultat dans l'équation différentielle on trouve .
Ces deux résultats permettent de remplir les deux premières cases du tableau de valeur.
La méthode d'Euler consiste à approximer, à chaque pas, la fonction v(t) par une droite de pente .
On a donc, d'après cette approximation v(t)=10t (droite de pente 10 passant par le point de coordonnées (0s;0ms-1))
Etape 2 t=0,5s (remplissage de la deuxième ligne du tableau)
 On calcule la valeur de v(t) pour t=0,5s grâce à l'approximation de l'étape 1: v(0,5)=10x0,5=5m.s-1
 On introduit ce résultat dans l'équation différentielle et on trouve:
 D'après l'approximation de la méthode d'Euler, on a v(t)= v(t)=5(t-0,5)+5 (droite de pente 5 passant par le point
de coordonnées (0,5s;5m.s-1))
Etape 3 t=1s (remplissage de la troisième ligne du tableau)
On calcule la valeur de v(t) pour t=1s grâce à l'approximation de l'étape 2: v(1)=5(1-0,5)+5=7,5m.s-1
On introduit ce résultat dans l'équation différentielle et on trouve:
 D'après l'approximation de la méthode d'Euler, on a v(t)= v(t)=2,5(t-0,5)+7,5 (droite de pente 2,5 passant par le
point de coordonnées (1s;7,5m.s-1))
Et ainsi de suite…. A vous de remplir le tableau ci-contre en
suivant le modèle donné, puis de tracer la courbe
représentant v en fonction de t pour t variant entre 0
et7,5s. Puis répondez aux questions suivantes:
1°) Quelle semble être la valeur vers laquelle tend la vitesse?
2°) On nomme cette valeur la vitesse limite. Essayons de
retrouver cette valeur à partir de l'équation différentielle
de départ, pour cela suivez les étapes suivantes:
a) Lorsque la vitesse limite est atteinte, quelle est la valeur
de dv/dt ?
b) Introduire cette valeur de dv/dt dans l'équation
différentielle précédente.
c) Calculer la valeur de v correspondante, c'est la vitesse
limite.
²gt
2
1
)t(x 
v
m
k
g
dt
dv 
2
s.m5510
dt
dv 
dt
dv
t(s)
v(m.s-1)
approximation de v
0
0
10
v(t)=10t
0,5
5
5
v(t)=5(t-0,5)+5
1
7,5
2,5
v(t)=2,5(t-1)+7,5
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
6,5
7
7,5
2
s.m10010
dt
dv 
2
s.m5,25,710
dt
dv 
à t=0, v=0 et x=0
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