La Statistique Descriptive

La Statistique Descriptive
Professeur François KOHLER
[email protected]
Buts
• Ensembles de méthodes dont le but est de
présenter les données pour que l'on puisse en
prendre connaissance facilement.
• Cela peut concerner :
– une variable à la fois : statistique à une dimension,
– deux variables à la fois : statistique à deux dimensions,
– plus de deux variables à la fois : statistique
multidimensionnelle.
Statistique descriptive
• Ces méthodes comportent :
– Les tableaux : distributions de fréquences.
– Les diagrammes : graphiques.
– Les paramètres statistiques :
• Réduction des données à quelques valeurs
numériques caractéristiques.
Rappel
• 3 Types de données :
– Qualitatives (présence ou absence d’une
caractéristique)
• Binaires,
• Nominales.
– Quantitatives (compte ou mesure)
• Discontinues,
• Continues.
– Ordinales (rang)
Distributions de fréquences
• Concernent les 3 types de données avec des points
communs et des points spécifiques à chacun des types.
• Séries statistiques (tout type de données) :
– Enumération des résultats :
• Exemples :
– Couleurs des cheveux : blond, brun, blond, noir….
– Nombre d’enfants dans les familles : 1, 2, 1, 4, 0 ….
– Séries statistiques ordonnées :
• Ne concernent que les données quantitatives
et ordinales
• Enumération du plus petit au plus grand
– Exemple : Nombre d’enfants : 0, 1, 1, 2, 4 ….
• Le nombre total d’observations est l’effectif. Il est noté n
(certain le note N).
Distributions non groupées
• Données
– qualitatives,
– ordinales,
– quantitatives
discontinues
• Formellement, ces
tableaux ne concernent
pas les données
quantitatives continues.
xi
ni
fi
x1
n1
f1
x2
n2
f2
…
xp
…
np
…
fp
S1p
n
1
Distributions non groupées
xi
ni
fi
x1
n1
f1
x2
n2
f2
fi 
…
xp
…
np
…
fp
S1
n
1
p
ni
n
Chaque ligne correspond à
une valeur observée
différente. Il y a p valeurs
différentes observées.
ni correspond au nombre
d’observations (effectif) ayant
comme valeur xi
fi correspond à la fréquence
(pourcentage) d’observations
n
ayant comme valeur xi : f  n
i
i
Distributions non groupées
• Données ordinales et
quantitatives
discontinues.
• x1 est la plus petite
valeur, xp la plus grande
des valeurs observées.
• Effectifs cumulés.
– N2 = n2+n1
• Fréquences cumulées.
– F2 = f2+f1
xi
ni
fi
Ni
Fi
x1 n 1
f 1 N1 F 1
x2 n 2
f 2 N2 F 2
… …
xp n p
… …. …
f p Np F p
S1p n
1
Distributions non groupées
xi
ni
fi
Ni
Fi
x1 n 1
f 1 N1 F 1
x2 n 2
f 2 N2 F 2
… …
xp n p
… …. …
f p Np F p
S1p n
1
Ni est l’effectif cumulé c’est dire le
nombre d’observations ayant des
valeurs inférieures ou égales à xi :
i
Ni   n j
j1
Fi est la fréquence cumulée c’est à
dire la fréquence des
observations ayant des valeurs
inférieures ou égales à xi :
i
Fi   f j
j1
Distributions groupées
• Les valeurs sont mises en classes.
• Toutes les distributions relatives à des
variables continues doivent être considérées
comme des distributions groupées, puisque
l'infinité de valeurs admissibles est
condensée en un nombre fini de mesures en
fonction de la précision de la méthode de
mesure utilisée.
A propos des classes
• Leurs valeurs extrêmes sont appelées bornes des
classes.
• Les classes sont mutuellement exclusives.
• L'amplitude de la classe ou intervalle ou module de
classe :
D= borne supérieure - la borne inférieure.
• Le point central ou encore point médian est situé à mi
chemin entre les bornes.
– Ci = Binfi +Di/2
• Dans certains cas la limite inférieure de la première
classe ou supérieure de la dernière classe n'est pas
précisée. On parle de classes ouvertes. A éviter !...
A propos des classes
• L'intervalle de classe est généralement
constant, toutefois, on utilise parfois une
amplitude variable notamment pour les
classes des valeurs extrêmes.
• En cas de classes d'amplitudes différentes, la
densité de fréquence ni/ Di permet de
comparer les effectifs ou les fréquences d'une
classe à l'autre.
• la densité de fréquence est utilisée pour
tracer l’histogramme.
Données quantitatives
continues
• Remarques :
– Si l’on mesure le poids d’un nouveau né avec une
précision de 1g, l’enfant qui pèse 3500g a en fait
un poids compris entre [3499,5g et 3500,5g[.
3500g représente le centre de la classe.
– Si l’on mesure l’âge en années pleines des
individus, une personne de 20 ans a un âge
compris entre [20 ans (inclus) et 21 ans[ (exclu).
20 ans représente la borne inférieure de la classe.
Distribution groupée
• On remplace la colonne xi par une colonne qui
comprend soit les bornes de classes, soit le
centre de classe ou la borne inférieure de la
classe (données temporelles comme l’âge en
années pleines).
Exemple
Classe
Ci
ni
fi
Ni
Fi
[140-160[ 150,0 10 0,05 10 0,05
[160-165[ 162,5 20 0,10
[165-170[ 167,5 30 0,15
30 0,15
60 0,30
[170-175[ 172,5 45 0,23 105 0,53
[175-180[
[180-185[
[185-190[
[190-200[
177,5 40 0,20 145 0,73
182,5 35 0,18 180 0,90
187,5 15 0,08 195 0,98
195,0 5 0,03 200 1,00
Pour les calculs, le
centre de classe Ci est
utilisé en remplacement
de xi sauf de façon
usuelle pour l’âge
(données temporelles).
Formules
ni
fi 
n
n  i 1 n i
p

p
p = nombre de valeurs différentes observées
f 1
i 1 i
Total des valeurs  i 1 x i  i 1 n i x i
n
p
Total des carrés des valeurs  i 1 x  i 1 n i x i2
n
2
i
p
En pratique
• Pour les calculs des paramètres statistiques
usuels des données quantitatives et
uniquement de ce type de données.
• On complète la distribution par :
– Une colonne ni * xi pour calculer le total,
– Une colonne ni * xi2 pour calculer le total des carrés.
Les graphiques représentent
les distributions
• Distributions non cumulées
– Distributions non groupées
• Données qualitatives :
– Diagramme sectoriel
 Angle au centre proportionnel à ni (ou fi).
• Données quantitatives discrètes
– Diagramme en bâtons
 On trace parallèlement à l'axe des ordonnées, en regard des xi
qui sont portés en abscisse, un segment de longueur
proportionnel à ni
– Polygone des fréquences
 Ligne brisée joignant les bâtons.
 Fréquences absolues / fréquences relatives.
Exemple : Données qualitatives
• Diagramme sectoriel
Groupes
sanguins
A
B
O
AB
Répartition des groupes sanguins
ni
fi
35 35%
9
9%
40 40%
16 16%
100 100%
16
40
35
A
B
O
9
AB
Exemple : Donnée quantitative
discontinue
nombre
d'enfants
(xi)
0
1
2
3
4
>4
nombre de
familles (ni)
25
20
10
20
15
5
3
0
15
10
5
0
0
Polygone des fréquences
1
2
3
4
>4
Les graphiques représentent
les distributions
• Distributions non cumulées
– Distributions groupées
• Données quantitatives
– Histogramme :
 Composé de rectangles ayant comme base
l'intervalle de classe et comme hauteur la
densité de fréquence (ni/Di).
 La surface est proportionnelle à ni.
Les graphiques représentent
les distributions
• Distributions cumulées
– Uniquement pour des données
quantitatives
• Polygone des fréquences :
– Distributions non groupées = escalier.
– Distributions groupées = ligne brisée.
• Histogrammes.
Exemple : Histogramme
Classe
[140-160[
[160-165[
[165-170[
[170-175[
[175-180[
[180-185[
[185-190[
[190-200[
ni
10
20
30
45
40
35
15
5
Densité
(*10)
5
40
60
90
80
70
30
5
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
140
160 170 180 190 200
Aspects de la distribution
• Distribution non cumulée :
– en forme de : Cloche, J, U ;
– À une seule bosse, à plusieurs bosses ;
– …….
• Symétrie – Aplatissement.
60
50
40
30
20
10
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Remarques
• Autres représentations :
– Diagramme de Pareto et courbe ABC ;
– Boite à moustache (Box-plot).
• Attention :
– Les tableurs comme Excel ou Calc ne permettent
pas facilement de faire des histogrammes.
Diagramme de Pareto
• Dans le domaine de la qualité, on étudie les
causes de dysfonctionnement d'un système.
• Quand il s'agit de variables qualitatives
binaires, on présente les résultats sous forme
de diagramme de Pareto et de courbe ABC.
• Objectif : Visualiser les causes les plus
fréquentes de défaut de qualité.
Exemple
• La tenue des dossiers médicaux fait l'objet de
textes règlementaires contraignants.
• l'évaluation de la qualité des dossiers fait
partie du processus de certification.
• Un dossiers peut avoir plusieurs anomalies.
• On a étudié les anomalies rencontrées sur 200
dossiers.
Résultats
Etude de la qualité du dossier du patient : anomalies
rencontrées
Nombre de dossiers analysés
200
Effectif des
Pourcentage
anomalies
de dossiers
Dossiers non retrouvés
3
1,50%
Absence d'une pièce réglementaire
80
40,00%
Délai de la lettre de sortie non
respecté
150
75,00%
Dossier comportant des pièces non
"signées"
180
90,00%
Dossier comportant des pièces sans
identification du patient
10
5,00%
Doosier ne permettant pas de
retrouver la démarche clinique
30
15,00%
Effectif
Dossier comportant des pièces
non "signées"
Délai de la lettre de sortie non
respecté
Absence d'une pièce
réglementaire
Doosier ne permettant pas de
retrouver la démarche clinique
Dossier comportant des pièces
sans identification du patient
Dossiers non retrouvés
Total
% d'anomalies
180
39,74%
150
33,11%
80
17,66%
30
6,62%
10
3
453
2,21%
0,66%
100,00%
On trie le tableau par ordre décroissant du
nombre d'anomalies et on calcule les
pourcentages par rapport au nombre total
d'anomalies
Digramme de Pareto
et courbe ABC
Effectif
% de anomalies % Cumulé
Dossier comportant des pièces non "signées"
180
39,74%
39,74%
Délai de la lettre de sortie non respecté
150
33,11%
72,85%
Absence d'une pièce réglementaire
80
17,66%
90,51%
Doosier ne permettant pas de retrouver la démarche clinique
30
6,62%
97,13%
Dossier comportant des pièces sans identification du patient
10
2,21%
99,34%
Dossiers non retrouvés
3
0,66%
100,00%
Total
453
100,00%
100,00%
90,00%
80,00%
70,00%
60,00%
50,00%
40,00%
30,00%
20,00%
10,00%
0,00%
Dos s ie r
c om p orta n t d e s
p ié c e s n on
"s ig n é e s "
Dé la i d e la le ttre
d e s ortie n oin
re s p e c té
Ab s e n c e d ' u n e
p ié c e
ré g le m e n ta ire
Doos ie r n e
p e rm e tta n t p a s
d e re trou ve r la
d é m a rc h e
c lin iq u e
Dos s ie r
c om p orta n t d e s
p ié c e s s a n s
id e n tific a tion d u
p a tie n t
Dos s ie rs n on
re trou vé s
Les paramètres statistiques
• Paramètres de position
Paramètres de l’échantillon
• Moyenne arithmétique
• Les autres moyennes
– géométrique
– harmonique
– quadratique
• Médiane
• Mode
• Médiale
Le + souvent
– Les fractiles
• Quartiles
• Percentiles
• Paramètres de dispersion
–
–
–
–
Amplitude ou étendue
Ecart interquartiles
Variance, Ecart type
Coefficient de variation
• Paramètre d'aplatissement et de symétrie
E
s
t
i
m
a
t
i
o
n
E
s
t
i
m
a
t
i
o
n
– Valeurs centrales
Paramètres de la population
Moyenne Arithmétique
Population m (mean)
Echantillon x (average)
• Appelée moyenne notée x
– Paramètre central qui concerne bien évidemment
uniquement des variables quantitatives.
– Dans l’unité de la variable.
– Calculable quelque soit la loi qui régit la distribution.
– Somme des valeurs (T) divisée par le nombre de mesures (n).
– Suivant la forme de présentation des observations, différentes
formules de calcul peuvent être employées.
Moyenne arithmétique
• On note :
n : Nombre total de
mesures.
p : Nombre de valeurs
différentes
observées.
ni : Nombre
d’occurrences de la
valeur observée i.
fi : Fréquence
(pourcentage) de la
valeur observée i.
p
n   ni
i 1
ni
fi 
n
p
f
i 1
i
1
n
p
p
i 1
i 1
i 1
T   x i   n i x i  n fi x i
p
T
x    fi x i
n
i 1
Moyenne arithmétique
• Propriétés :
– Centre de gravité de la distribution.
– La somme des écarts à la moyenne est nulle.
– Affectée par les changements de variable.
• Si y = ax + b; on a : y = ax + b
– La moyenne contrairement à la médiane est très sensible
aux valeurs extrêmes.
– La moyenne d'un groupe résultant de la fusion d'autres
groupes n'est égale à la moyenne des moyennes que si
tous les groupes ont le même effectif.
– Dans une distribution en cloche, unimodale et symétrique,
moyenne, mode et médiane sont confondus.
Distribution des moyennes de
plusieurs échantillons
• La moyenne de l'échantillon est le meilleur
estimateur de la moyenne de la population.
• La distribution des moyennes de petits
échantillons (n<30) indépendants tirés de la
même population suit une loi normale si la
distribution de la variable est normale.
• Au-delà de 30, la distribution des moyennes suit
une loi normale sans condition sur la distribution
de la variable.
Exemple
• Soit la série correspondant aux tailles en cm
de 6 étudiants : 160,170,180,180, 190, 200.
n = 6; T = 160+170+180+180+190+200 = 1080
1080
x
 180 cm
6
Exemple
nombre nombre de
d'enfants familles
(xi)
(ni)
0
10
1
20
2
15
3
5
4
3
Total
53
ni*xi
0
20
30
15
12
77
Le nombre de familles enquêtées
est de 53.
Le nombre total d’enfants est
de 77.
La moyenne du nombre d’enfants
par famille est de 77/53 = 1,45.
Attention aux arrondis ici si on
arrondit à une décimale la
moyenne est de 1,5 enfants par
famille.
Exemple
• Les étudiants de première année de L1 santé sont répartis
dans 3 amphithéâtres avec les données ci-dessous. Quelle est
la moyenne de l’âge en L1 santé ?
Effectifs
Amphi 1
1000
Amphi 2
500
Amphi 3
1000
Moyenne
de l'âge
en années
18,1
19,5
18,3
Les effectifs étant différents dans les 3
groupes, la moyenne recherchée n’est pas la
moyenne des moyennes.
• On calcule le total de l’âge des 3 groupes
réunis : T = 18,1*1000+ 500*19,5+
18,3*1000 =46 150.
• L’effectif total est de 2 500.
• La moyenne recherchée est 46150/2500
=18,5 ans
Les autres moyennes
• Moyenne géométrique d'une série de valeurs
positives est la racine nième du produit des n
valeurs. Elle est toujours inférieure ou égale à la
moyenne arithmétique.
• Moyenne harmonique d'une série de valeurs
positives est égale à l'inverse de la moyenne des
inverses.
• Moyenne quadratique est la racine carré de la
moyenne arithmétique des carrés.
La médiane

• La médiane notée x (tilde) est telle que la moitié des
observations lui sont inférieure (ou égale) et la
moitié supérieure (ou égale) : xi tel que Fi = 0,5.
– Sur les distributions symétriques unimodales en cloche
(normales par exemple) la médiane est égale à la moyenne
et au mode.
– Paramètre peu sensible aux valeurs extrêmes.
– Peut être utilisée pour des données ordinales.
La médiane : calcul
• Sur une distribution non groupée :
– Si n impair, la médiane est l'observation de rang (N+1)/2
– Si n est pair, tout nombre entre xN/2 et xN/2+1
convient. On prend la moyenne (pondérée en cas d'ex-aequo)
entre ces deux valeurs.
• Sur une distribution groupée, la classe médiane
est celle qui contient la médiane.
– Détermination graphique.
– En admettant que les observations soient réparties
uniformément dans cette classe, on réalise une approximation
linéaire.
Exemple
Classe
[140-160[
[160-165[
[165-170[
[170-175[
[175-180[
[180-185[
[185-190[
[190-200[
Total
ni
10
20
30
45
40
35
15
5
200
Ni
10
30
60
105
145
180
195
200
Fi
0,05
0,15
0,30
0,53
0,73
0,90
0,98
1,00
• La classe qui contient la
médiane est [170-[175.
• On pose les 2 équations :
0,53 = a*175 +b
0,30 = a*170+b
• =>
0,23 = a*(175-170)
a = 0,046 et b= -7,52
• => y = 0,046x – 7,52
• Cherchons x tel que y = 0,5
Médiane = 174,35
Mode
• Mode encore appelé valeur dominante :
– Correspond à la valeur la plus fréquente. xi
correspondant au ni (ou fi)maximum.
– Il peut y avoir un ou plusieurs modes.
• Rappel :
– Dans les distributions en cloche, unimodales
symétriques, mode, médiane et moyenne sont
confondus.
Fractiles
• Quartiles
– Q1: xi tel que Fi = 0,25 => 1/4 des valeurs lui sont
inférieures, 3/4 lui sont supérieures.
– Q2 = Médiane.
– Q3 : xi tel que Fi = 0,75 => 3/4 des valeurs lui sont
inférieures, 1/4 lui sont supérieures.
• Détermination graphique.
• Interpolation linéaire (cf médiane).
• Percentiles
– 10ième percentile : xi tel que Fi = 0,10
Remarques
• On a :
– 50% des individus qui ont des valeurs en dehors de
l’intervalle Q1-Q3 et 50% à l’intérieur.
– 25% des individus qui ont des valeurs comprises entre
Q1 et médiane.
– 25% des individus qui ont des valeurs comprises entre
médiane et Q3.
– 25% des individus qui ont des valeurs inférieure à Q1
– 25% des individus qui ont des valeurs supérieures à
Q3
– Ceci permet rapidement de se rendre compte si la
distribution est symétrique ou non.
Paramètres de dispersion
•
•
•
•
Amplitude ou étendue.
Ecart interquartiles.
Variance et écart type.
Coefficient de variation.
Amplitude ou étendue
• Ecart entre la valeur de l'observation maximale et celle de
l'observation minimale.
• Non définie pour les distributions groupées (tolérance pour
les variables quantitatives continues de la précision de la
mesure).
• On montre que l'écart type est toujours inférieur ou égal à la
moitié de l'amplitude.
• Dans les distributions unimodales en cloche l'écart type est
égal :
–
–
–
–
au tiers de l'amplitude pour n de l'ordre de 10,
au quart de l'amplitude pour n entre 15 et 50,
au cinquième pour des effectifs de 50 à 200,
au sixième pour des effectifs de 200 à 1000.
Ecart interquartiles (EIQ)
• EIQ = Q3 -Q1.
• Englobe 50% des observations.
• On utilise parfois l'écart semi-interquartile
(Q3-Q1)/2.
Variance et écart type
• La variance (variance) d'une série ou d'une
distribution de fréquences est la moyenne
arithmétique des carrés des écarts à la moyenne
n
S2 
 (x
i 1
i
n
 x) 2
• C'est par rapport à la moyenne que la somme des
carrés des écarts est la plus faible.
• La variance de l'échantillon est souvent notée S2.
• Ce n'est pas un bon estimateur de la variance de la
population souvent notée s2.
^ 2.
• L’estimation de la variance est notée s
Variance et écart type
• Le numérateur de la variance est appelé somme des
carrés des écarts et noté SCE.
• L'écart type est la racine carré de la variance. On
l'appelle également déviation standard (standard
deviation). Il est dans l'unité de la variable.
• Variance et écart type sont indépendants des
translations (changement d ’origine) mais pas des
multiplications (changement d'unité).
– Si y = a * x + b, on a Sy = |a| * Sx
• Pour les distributions en cloche, la variance calculée
à partir des classes est surestimée, certain réalise la
correction de Sheppard.
Formules
p
n   ni
i 1
T
n
x
i 1
U 

i
x
T
x

n
2
i
f
i 1
p
n x
i
i 1
n
i 1
p
n
fi  i
n

i
1
p
i
 n fi
i 1
p
n x
i 1
i
2
i
p
f x
i 1
i
i
T2
SCE   (x i  x)  U 
n
i 1
N
2
S
SCE
n
σ̂ 
SCE
n 1
Ecart type de la moyenne
• Si l’on considère plusieurs échantillons indépendants,
issus d’une population, on obtient plusieurs
moyennes.
• La distribution des moyennes a un écart type appelé
écart type de la moyenne ou erreur standard de la
moyenne (ESM) (standard deviation of the mean –
SDM).
σ̂
ES M̂ 
n
Représentation en Box Plot
• Résume la distribution en terme de
paramètres de position et de dispersion.
Coefficient de variation
• CV est le rapport écart type divisé par la
moyenne.
• CV est un nombre pur, sans unités.
• CV est totalement indépendant des unités.
• Le CV permet de comparer la variabilité de
distributions de variables qui ne sont pas dans
les mêmes unités.
Moments centrés d’ordre k.
Symétrie et aplatissement
• Moments centrés d'ordre k
– moyenne arithmétique des écarts à la moyenne élevée à la
puissance k.
– si k pair => paramètre de dispersion.
– si k impair => paramètre de symétrie.
• Coefficient de Pearson et de Fisher
– b1 pour caractériser la symétrie de la courbe; b2 pour caractériser
l'aplatissement.
– b1 = M32 / M23 : est voisin de 0 si la distribution est symétrique.
– b2 = M4 / M22 : est voisin de 3 si la distribution suit une loi normale
(plus aplatie qu'elle si b2 < 3).
– cf Loi Normale.
Statistique descriptive
à 2 dimensions
• Objectif : mettre en évidence les relations qui existent
entre deux séries d'observations.
– Nature des variables : les deux variables peuvent être
quantitatives, qualitatives ou l'une quantitative et l'autre
qualitative.
– Deux variables mesurées chez le même individu par exemple poids
et taille; poids et couleur des yeux, présence d’un cancer et
éthylisme...
• Situations :
– Séries appariées : même variable mesurée dans deux
circonstances :
• Avant - Après traitement.
• Cas - Témoins on apparie un témoin dépourvu de la maladie que l'on veut
étudier sur différents points que l'on sait lier au phénomène étudié (par
exemple pour une étude de la mortalité on apparie sur âge, sexe, ...
– Séries non appariées :
• Même variable mesurée dans des groupes différents.
Tableaux à 2 dimensions
• Série, distribution de fréquences : tables de
contingence.
Sujet Poids Taille
1
70
170
2
80
180
3
65
165
4
75
175
5
90
182
6
73
170
7
60
162
8
68
165
9
83
180
….
…
…
Taille 60
162
1
165
170
175
180
182
Tot.
1
65
68
1
1
Poids
70 73
1
1
5
80
83 90
10
15
1
25
1
2
1
3
12
4
1
75
12
1
Tot.
1
2
13
10
22
1
48
Table de contingence
•
•
•
•
•
Nombre de mesures totale n
Total de chaque ligne = li
Total de chaque colonne = cj
Effectif d'une cas = nij
Fréquences relatives:
–
–
–
–
–
nij / li : % en ligne
nij / cj % en colonne
nij / n %
li / n
cj / n
Yeux
Cheveux
Blonds Bruns Autres
Tot. (li)
Clairs
50
20
30
100
Foncés
60
80
60
200
Tot. (cj)
110
100
90
300
Attention
Cheveux
Yeux
300 = Nombre total de mesures.
Blonds Bruns Autres
Tot. (li)
Clairs
50
20
30
100
Foncés
60
80
60
200
Tot. (cj)
110
100
90
300
100 = Nombre d'individus ayant les yeux clairs.
110 = Nombre d'individus ayant les cheveux blonds.
50 / 300 = % d'individus ayant les cheveux blonds et les yeux clairs.
50 / 110 = % d'individus parmi les blonds ayant les yeux clairs.
50 / 100 = % d'individus parmi les yeux clairs ayant les cheveux blonds.
Représentation graphique 2
variables quantitatives
• Nuage de points
90
85
80
75
70
65
60
55
160 165 170 175 180 185
Covariance
Covariance
• Calcul
N
S
Cov (x,y) =
i=1
x * y i
i
Tx
*
T
N
N
N
S
xi * y
i=1
i
= Txy = somme des produits
y
Table de contingence de 2
caractères binaires
• Très utilisées en santé :
– Recherche de facteur de risque : exemple
enquêtes exposés/non exposés.
– Evaluation d’un test diagnostic.
Recherche de facteurs de
risques : paramètres utilisés
Cancer du poumon
et éthylisme.
Fréquences relatives :
Risques :
- Cancer chez les
éthyliques :
R1 = 73/1000
- Cancer chez les
non éthyliques:
R0 = 37/1000
Cancer +
Cancer -
Total
Ethylisme +
73
927
1 000
Ethylisme -
37
963
1 000
Total
110
1 890
2 000
Risque relatif et odds ratio
• RR est le rapport du risque chez les exposés (R1) sur
le risque des non exposés (R0).
– RR = R1/R0 = 0,073/0,037 =1,97
• Cote (Odds) (cf course de chevaux).
– Chez les éthyliques R1/(1-R1) = 0,79
– Chez les non éthyliques R0/(1-R0) = 0,038
• Odds ratio (OR) ou rapport de cotes.
– OR = 0,79/0,038 = 2,05
• L’OR est souvent utilisé en épidémiologie. Si la
fréquence de la maladie est faible, les valeurs de OR
et de RR sont très proches.
Recherche de facteurs
de confusion
• On a montré que l’on avait 1,97 fois plus de chance
de faire un cancer du poumon si l’on boit que si l’on
ne boit pas… Mais ?
• Un facteur de confusion est simultanément facteur
de risque pour la maladie et est une variable
associée à l'exposition.
– Les facteurs de confusion potentiels sont le tabagisme et
le sexe.
• La première variable à considérer est le
« tabagisme ».
Table de contingence
à 3 variables
Cancer du
poumon +
Tabagisme
+
Tabagisme
-
Total
Cancer du
poumon -
Total
Ethylisme +
70
630
700
Ethylisme -
30
270
300
Total
100
900
1 000
Ethylisme +
3
297
300
Ethylisme -
7
693
700
Total
10
990
1 000
110
1 890
2 000
Calcul des différents risques
Chez les fumeurs, la fréquence du cancer est de 100/1000 =
0,1 contre 10/1000 = 0,01; RR = 10
Cancer +
Tabagisme +
Tabagisme -
Total
Cancer -
Total
Ethylisme
+
70
630
700
Ethylisme
-
30
270
300
Total
100
900
1 000
Ethylisme
+
3
297
300
Ethylisme
-
7
693
700
Total
10
990
1 000
110
1 890
2 000
Le tabagisme est un facteur de risque pour le cancer du poumon,
car les fumeurs ont 10 fois plus de risque de développer un
cancer du poumon que les non-fumeurs.
Quel est le RR d'être alcoolique pour les fumeurs par rapport
aux non fumeurs ?
RR = 700/1000 / 300/1000 = 2,3
Il existe une association entre le tabagisme et l'éthylisme. Les
fumeurs ont 2,3 fois plus de chance d'être alcooliques que les
non-fumeurs.
Le tabagisme est un facteur de confusion dans cette étude,
les données doivent être analysées en tenant compte de cette
variable.
Calculer le RR (éthylisme) dans chaque strate
Tabagisme+ RR = 70/700 / 30/300 = 1
Tabagisme - RR = 3/300 / 7/700 = 1
L'association entre éthylisme et cancer du poumon dans les
données brutes (RR = 1,97) est le produit d'un biais de
confusion. Car à l'intérieur des différentes strates du
"tabagisme" il n'existe aucune association entre éthylisme et
le cancer du poumon : RR = 1.
Quelques indicateurs utilisés
en statistiques hospitalières
•
•
•
•
Lits.
Entrées et Sorties.
Durée moyenne de séjour : DMS.
Coefficient (taux d’occupation) des lits, Lits
occupés.
• Effectifs et équivalents temps pleins.
Lits
• Comment compter les lits dans un hôpital ?
– Lits Installés au 1er janvier.
– Lits disponibles pendant un période :
• Comment comptabiliser l’indisponibilité ?
–
–
–
–
Fermeture pour désinfection,
Fermeture par manque d’effectifs soignants,
Fermeture par manque de malades,
…..
Entrées, sorties,
malades présents
• On parle d’entrées ou de sorties pendant une
période donnée.
Date de début
2
4
Date de fin
10
3
4
4
1
3
1
30
4
Chaque trait représente
un malade.
- 3 entrées
- 4 sorties
- 6 présents
Et pour les journées ?
- 21 j (entrants)
- 23 J (sortants)
- 52 J (présents)
Durée moyenne de séjours :
• Durée de séjour PMSI = DS-DE + 1 si décès.
• DMS :
Journées des entrants
DMS 
Entrées
Journées des sortants
DSM 
Sorties
Journées des présents
DMS 
Présents
Taux d’occupation des lits et
lits occupés
Journées réalisées
Taux d' occupation 
Nombre de lits * durée de la période
Journées réalisées
Lits occupés 
Durée de la période
Effectifs,
Equivalents temps plein
• Les effectifs correspondent au nombre de
personnes employées par la structure.
• Les équivalents temps plein (ETP)
représentent la force de travail. Une personne
travaillant à temps partiel est comptabilisée
en fonction de son temps de travail.
• Par exemple un hospitalo-universitaire compte pour 0,5
ETP.