Les triangles semblables

Les triangles semblables
Les triangles semblables
• 2 triangles sont semblables lorsque:
– Ils ont les mêmes angles.
– Leurs côtés correspondants sont dans un
même rapport.
Les triangles semblables
• Des triangles sont semblables lorsqu’un
des 3 cas est respecté:
Les triangles semblables
• 1er cas:
Deux triangles ABC et
A’B’C’ ayant deux
angles
correspondants sont
semblables.
Les triangles semblables
• 1er cas: démonstration
Les triangles semblables
• Hypothèses:
1) Angle A = Angle A’
2) Angle B = Angle B’
• Thèses:
1) Angle C = Angle C’
2) |AB|/|A’B’|
=|AC|/|A’C’|
=|BC|/|B’C’|
Les triangles semblables
• Démo:
1) Construire E sur [AC]
Les triangles semblables
2) Construire DE//BC, on obtient un triangle ADE
isométrique au triangle A’B’C’
Les triangles semblables
|AE| = |A’C’|
|AD| = |A’B’|
|ED| = |C’B’|
Or, par le théorème de Thalès et ses
conséquences:
|AB|/|AD| = |BC|/|DE| = |AC|/|AE|
On peut donc remplacer les dénominateurs et
nous obtenons:
|AB|/|A’B’| = |AC|/|A’C’| = |BC|/|B’C’| (thèse)
Les triangles semblables
• 2ème cas:
Deux triangles ABC et
A’B’C’ ayant les côtés
correspondants
proportionnels sont
semblables.
Les triangles semblables
• 2ème cas: démonstration
Les triangles semblables
•
Hypothèse:
|AB|/|A’B’| = |AC|/|A’C’| = |BC|/|B’C’| = r
•
Thèses:
1) Angle A = Angle A’
2) Angle B = Angle B’
3) Angle C = Angle C’
Les triangles semblables
• Démo:
Construire D sur [AB], on obtient |AD|=|A’B’|
Les triangles semblables
- DE//BC donc par le théorème de Thalès et ses
conséquences:
|AC|/|AE| = r
|BC|/|DE| = r
- Les triangles A’B’C’ et AXY sont isométriques
donc:
Angle A = Angle A’
Angle B = Angle B’
Angle C = Angle C’ (thèse)
Les triangles semblables
• 3ème cas:
Deux triangles ABC et
A’B’C’ ayant un angle
de même amplitude
bordé par deux côtés
correspondants
proportionnels sont
semblables.
Les triangles semblables
• 3ème cas: démonstration
Les triangles semblables
•
Hypothèses:
1) Angle A = Angle A’
2) |AB|/|A’B’| = |AC|/|A’C’| = r
•
Thèses:
1) Angle B = Angle B’
2) Angle C = Angle C’
3) |BC|/|B’C’| = r
Les triangles semblables
• Démo:
Construire D sur [AB], on obtient:
|AD| = |A’B’|
|AE| = |A’C’|
Les triangles semblables
- Par la réciproque du théorème de Thalès,
XY//BC car |AB|/|AD| = |AC|/|AE| = r
- On a donc:
Angle D = Angle B
Angle E = Angle C
- Les triangles A’B’C’ et AXY sont isométriques:
Angle B = Angle B’
Angle C = Angle C’
|BC|/|B’C’| = |BC|/|DE| = |AB|/|AD| = |AC|/|AE| = r
(thèse)